胡軍浩，晏 磊

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

映射動力系統(tǒng)具有比常微分方程系統(tǒng)更復雜的動力學性質(zhì)，例如，一維Logistics映射就可產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，而三維自治常微分系統(tǒng)才能產(chǎn)生混沌[1,2]. 在經(jīng)濟學和生物學中，許多數(shù)學模型可以用可化為疊映射的動力系統(tǒng)來表示，而其中一大類模型均可利用具有參數(shù)零化的不完整結構形式的二階二次差分方程來描述[2-5]. 文獻[2]基于一定的假設對二階二次差分方程進行簡化，應用二維連續(xù)不可逆映射系統(tǒng)的關鍵集理論重點探討一類二階二次差分方程的全局動力學性質(zhì). 本文將在文獻[2]的基礎上，運用動力學理論，重點探討一類二維動力系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性與分叉性質(zhì)，揭示系統(tǒng)的局部動力學行為，為系統(tǒng)在特定參數(shù)取值下混沌行為存在性的證明打下基礎.

1 模型重述

考慮如下二階二次差分方程

當a00=0，a01≠0，a10≠0，a02≠0，a20≠0，x=xn，y=xn-1時，可以將其簡化為：

2 不動點的穩(wěn)定性與分叉

考慮文獻[2]中提出的二維動力系統(tǒng)模型：

(1)

系統(tǒng)(1)的Jacobian矩陣

J(x,y)=

(2)

特征多項式為：

f(λ)=λ2+(2a1x+a1y-a1)λ+

(a1x+2a2y-a2).

(3)

根據(jù)Jury條件和二維系統(tǒng)分叉定理[6]，關于系統(tǒng)(1)的2個不動點的局部穩(wěn)定性，有如下定理1.

定理1 (E0的局部穩(wěn)定性)

(1)當a2>-1且a1<|1-a2|時，系統(tǒng)(1)在不動點E0=(0,0)處漸近穩(wěn)定；

(2)當a1=1-a2時，系統(tǒng)在E0處產(chǎn)生Fold分叉；

(3)當a1=a2-1時，系統(tǒng)在E0處產(chǎn)生Flip分叉;

(4)當a2=-1且-2

證明系統(tǒng)(1)在邊界平衡點E0=(0,0)處的Jacobian矩陣

(4)

對應的特征多項式f(λ)=λ2-a1λ-a2. 根據(jù)Jury條件[6]：

當參數(shù)取值使得f(1)=1-a1-a2>0，f(-1)=1+a1-a2>0，1-f(0)=1+a2>0時，平衡點E0穩(wěn)定，即有定理1中的(1)；

當f(1)=1-a1-a2=0時，系統(tǒng)在E0處產(chǎn)生Fold分叉，即有定理1中的(2)；

當f(-1)=1+a1-a2=0時，系統(tǒng)在E0處產(chǎn)生Flip分叉，即有定理1中的(3)；

定理2(E1的局部穩(wěn)定性)

(2)當a1+a2=1時，系統(tǒng)在E1處產(chǎn)生Fold分叉；

證明證明過程同定理1，故省略.

3 數(shù)值模擬

首先驗證不動點E0的穩(wěn)定性和分叉. 固定參數(shù)a2=0.5，根據(jù)定理1的結論，系統(tǒng)(1)在a1=-0.5時發(fā)生Flip分叉，在a1=0.5時發(fā)生Fold分叉，在a1∈(-0.5,0.5)時漸近穩(wěn)定. 如圖1(a)所示，當-0.50.5時，由于Fold分叉，我們看到的是不動點E1的分叉情況，圖1(a)顯示的結果與定理1相符合.

固定參數(shù)a2=-1，根據(jù)定理1的結論，當-2

圖1 系統(tǒng)(1)的變量x關于參數(shù)a1的分叉圖(因為y′=x，所以圖1僅顯示變量x的分叉圖，下同)Fig.1 The bifurcation diagrams of the variable x in the system (1) with respect to the parameter a1(since y′=x, so the Fig.1 only show the bifurcation diagrams of the variable x,and the same below)

需要說明的是，由定理2可知，當a1=-2.5時系統(tǒng)在不動點E1處產(chǎn)生Flip分叉，而當a1=-0.89時，系統(tǒng)已經(jīng)在E1處由于Neimark-Sacker分叉產(chǎn)生周期波動，因此在該參數(shù)取值下不會產(chǎn)生Flip分叉.

圖2 系統(tǒng)(1)的變量x關于參數(shù)a1的分叉圖Fig.2 The bifurcation diagrams of the variable x in the system (1) with respect to the parameter a1

4 不動點在Flip分叉的臨界穩(wěn)定性

4.1 不動點E0在Flip分叉的穩(wěn)定性

從定理1可以知道當a1=a2-1時，系統(tǒng)在E0處產(chǎn)生Flip分叉;這一部分我們將利用中心流形定理[7]來研究在不動點E0=(0,0)處的穩(wěn)定性.

當a1=a2-1時，在原點(0,0)處可以將系統(tǒng)(1)寫為：

(5)

(6)

通過中心流形定理可知，系統(tǒng)(6)存在一個中心流形，表示為：

Wc(0)={(u,v)∈R2|v=h(u),h(0)=h′(0)=0,|u|<δ}.

(7)

其中δ是一個足夠小的正常數(shù).

令v=h(u)=b1u2+b2u3+O(u4)，則有：

h(-u+f(u,h(u)))2-a2h(u)-g(u,h(u))=0.

(8)

(9)

那么系統(tǒng)(5)在中心流形上由映射

(10)

限制，而f1的Schwarzian導數(shù)為：

(11)

定理3 當系統(tǒng)(1)的參數(shù)滿足a1=a2-1，關于不動點E0=(0,0)的穩(wěn)定性有：

(3)當a2∈(1,+∞)時，系統(tǒng)(1)的不動點E0是一個不穩(wěn)定結點.

4.2 不動點E1在Flip分叉的穩(wěn)定性

利用坐標變換：

將系統(tǒng)(1)的正不動點E1轉移到原點(0,0)，得到：

(12)

(13)

(14)

(14)式中f(N,Q)=g(N,Q)=AN2-BQ2-CNQ，且

通過中心流形定理可知，系統(tǒng)(6)存在一個中心流形，表示為：

Wc={(N,Q)∈R2|Q=h(N),h(0)=h′(0)=0,|N|<δ},

(15)

其中δ是一個足夠小的正常數(shù). 令Q=h(N)=c1N2+c2N3+O(N4)，則有：

(16)

(17)

那么(5)式在中心流形上由映射

f1:N|→-N+f(N,h(N))=-N+AN2-

(18)

限制，而f1的Schwarzian導數(shù)為：

(19)

5 結語

本文考慮了一類二階二次差分方程經(jīng)過簡化后得到的二維動力系統(tǒng)，應用非線性動力學的相關理論，研究了該系統(tǒng)不動點的穩(wěn)定性與分叉情況，并利用中心流形定理就不動點在Flip分叉時的穩(wěn)定性進行了探討，揭示了該系統(tǒng)復雜的動力學現(xiàn)象.

眾所周知，F(xiàn)lip分叉(倍周期分叉)是一條通向混沌的典型道路[8]，在一定的Flip分叉參數(shù)取值下，系統(tǒng)(1)的分叉圖產(chǎn)生的混亂(如圖1(b))是真的混沌還是準周期行為，限于篇幅本文沒有進行深入討論，拓撲馬蹄理論則是證明混沌的強有力的工具[9,10]，在后續(xù)研究中，我們將利用該理論證明系統(tǒng)(1)的混沌性并對混沌進行控制.

參 考 文 獻

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