王 碩， 王 萍， 郭 迎， 王興華

（1．中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙410083；2．懷德第一中學(xué)， 吉林 公主嶺136100）

通過差分非高斯操作連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)

王 碩1， 王 萍1， 郭 迎1， 王興華2

（1．中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長沙410083；2．懷德第一中學(xué)， 吉林 公主嶺136100）

人們發(fā)現(xiàn)非高斯操作可以用來提升高斯糾纏態(tài)的的糾纏度，本文提出了一種通過使用非高斯差分操作來進(jìn)行放射性的基于糾纏(Entanglement-based,EB)的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)(CVQKD)的方法，其中糾纏源產(chǎn)生于中間而不是合法的通信兩端.這個(gè)被提出的放射性的結(jié)構(gòu)方案對(duì)分析在有損信道中光子如何丟失是非常有用的，這種分析可以提高量子通信的性能.它可以在當(dāng)前技術(shù)條件下實(shí)現(xiàn).為了提高通信的安全距離和基于EB協(xié)議和PM協(xié)議的噪聲容限，這個(gè)技術(shù)采用一種在色散潮流中新的成熟的和通用的非高斯操作.

量子密鑰分發(fā)；連續(xù)變量；非高斯操作；光子減法

量子密鑰分發(fā)通常為兩個(gè)遠(yuǎn)距離參與者，Alice和Bob提供一種方法，來建立一個(gè)安全密鑰序列[1].其中存在三個(gè)主要的標(biāo)準(zhǔn)來衡量一個(gè)量子密鑰分發(fā)方案，即為：實(shí)用性，性能和安全性[2].

連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)通過光子場x和p的正交性進(jìn)行編碼并使用零差或外差檢測來提取它，對(duì)于最初選擇離散變量量子密鑰分發(fā)是因?yàn)樗峁└叩臋z測效率，現(xiàn)成的激光源和更加方便地集成到當(dāng)前的通信系統(tǒng).在過去的十年中連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)已經(jīng)產(chǎn)生重大進(jìn)展.許多最近的成果包括無條件的安全性證明抵抗任意潛在攻擊策略[4]，以及基于糾纏的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)試驗(yàn)性的展示[5]和改進(jìn)的調(diào)制[6]或者具有高效率甚至在低信噪比中解碼[7].然而，安全性分析過多的依賴于量子信道是線性的假設(shè)[7].最近，Guo以及其他人已經(jīng)提出一個(gè)改進(jìn)四態(tài)EB CVQKD方案，其中合法參與者在信道不是線性的假設(shè)下計(jì)算出協(xié)方差矩陣[8].不幸的是，這兩個(gè)合法通信端正交的相關(guān)性不能達(dá)到一個(gè)EPR態(tài)，這明顯的限制了實(shí)際運(yùn)用中的CVQKD的密鑰率.

有趣是，它已經(jīng)被從理論和實(shí)踐上證明了非高斯操作[9]如光子減法和光子加法運(yùn)算，可以被用來增加和提高在高斯糾纏態(tài)的糾纏度[10]，由此提高量子線性放大器[11]和量子通信的性能[12].在本文中，我們關(guān)注在非高斯態(tài)操作基礎(chǔ)上的一種放射性的EB CVQKD的設(shè)計(jì),從而提高系統(tǒng)性能，這種非高斯操作即為：減法運(yùn)算.其中的糾纏源通過一個(gè)中立的通信端Fred而放射的,來自中心的竊聽者Eve位于Fred和合法參與者之間，其目的是為了完全控制高斯糾纏態(tài).它通過使用原始的分析技術(shù)[13]表明非高斯差分可以在當(dāng)前技術(shù)下[3]實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)，也可以增加在合法參與者之間正交的相關(guān)性.這個(gè)協(xié)方差矩陣可以在不使用線性信道的假設(shè)下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中直接評(píng)估.相應(yīng)的，它對(duì)應(yīng)的制備與測量方案在當(dāng)前的技術(shù)下是不難實(shí)現(xiàn)的.它允許在長距離的情況下密鑰的分發(fā)還是有好的抵抗與最初高斯調(diào)制有關(guān)的額外噪聲性能，這也說明了這個(gè)方案和原始的方案的不同，尤其是，在研究非理想的信道中光子丟失對(duì)連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)的性能產(chǎn)生的影響.

本文的結(jié)構(gòu)如下，第二部分致力于通過差分的非高斯操作進(jìn)行放射性的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)方法的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu).第三部分證明提出的EB CVQKD的密鑰率，它位于中間的竊聽者是基于傳統(tǒng)的分析技術(shù).最后在第四部分得出結(jié)論.

1 非高斯操作下的放射性的EB CVQKD

這個(gè)提出的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)可以在制備與測量方案中實(shí)施，為了使理論分析簡單一些，我們認(rèn)為它的效率等價(jià)于使用高斯調(diào)制的基于糾纏方案[4].以設(shè)計(jì)一個(gè)放 射的基于糾纏的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)方案為開始，它對(duì)于理解一個(gè)使用高斯調(diào)制的傳統(tǒng)的EB CVQKD協(xié)議是很有幫助.通過中立參與者，F(xiàn)red，一個(gè)糾纏的高斯源，在兩個(gè)遠(yuǎn)距離參與者之間的建立起糾纏源，Alice和Bob，為了在一個(gè)放射的量子網(wǎng)絡(luò)中（例如下圖1）產(chǎn)生一個(gè)密鑰率加密.

圖1 非高斯操作下的放射性的EB CVQKD的原理示意圖.在這里的PNRD代表光子數(shù)分辨探測器

假設(shè)Fred準(zhǔn)備了一個(gè)雙模真空壓縮態(tài)ρa(bǔ)b，具有方差V0+1，其中V0=2α2代表調(diào)制方差.態(tài)ρa(bǔ)b的一半發(fā)送給Alice同時(shí)另外一半的態(tài)通過具有傳送效率T和額外噪聲ε的光子信道發(fā)送給Bob.在Alice（或者Bob）接收這個(gè)態(tài)時(shí)，她（或者他）就使用一個(gè)理想探測器選擇外差或者零差探測器來檢測.同時(shí)，我們假設(shè)Alice當(dāng)Bob應(yīng)用零差或者外差檢測時(shí)采用外差檢測，這是為了共享兩個(gè)相關(guān)的高斯變量從而可以被進(jìn)一步用于提取私鑰加密.因?yàn)閷?shí)際的量子信道和探測器并不是理想的，增加的信道噪聲被指為信道輸入記為Xline=1/T-1+ε.

我們想到的是考慮到一個(gè)在非高斯操作下非高斯操作下的EB CVQKD通過光子減法操作來實(shí)現(xiàn).如上圖1所示，F(xiàn)red首先為了每一個(gè)模結(jié)合一個(gè)分束器和一個(gè)光子數(shù)分辨探測器.在兩個(gè)光線在模式a0和b0同時(shí)的被兩個(gè)具有相同傳輸器的分束器所利用之后，例如：μa=μb=μ，結(jié)果態(tài)可以被表示為：

其中pk代表歸一化因子，糾纏的非高斯態(tài)由下式給出：

例如，當(dāng)k∈{1,2}，它可以由下面的式子計(jì)算得出：

我們注意前面所提到的減法操作對(duì)于μ=1是不存在的.很容易的證明，光子k態(tài)在k≥1時(shí)，比原始的輸入態(tài)有一個(gè)更大的糾纏度，如圖2表示.有很多的糾纏態(tài)使用一個(gè)合適的傳輸條件μ∈(0,1).此外，更大數(shù)量的減去光子k意味著雙向態(tài)的更大的糾纏.它表明基于減法的非高斯操作可以增加雙向態(tài)的兩種模式的相關(guān)性.我們也注意光子數(shù)分辨探測器應(yīng)該被作為有效的檢測[18]，這導(dǎo)致了一個(gè)對(duì)糾纏源處理后產(chǎn)生了非高斯混合態(tài).

圖2 |φ〉ab和的糾纏比較.這里因?yàn)棣獭蕒0.5,0.8}和k∈{1,2}，所以E0=E(|φ〉ab)和1具有 α∈(0,1)

在下文中，我們嘗試證明由Fred所帶來的糾纏性能的提高，F(xiàn)red在傳送糾纏態(tài)給遠(yuǎn)距離的參與者之前完成了基于光子減法的非高斯操作，它會(huì)提高在放射光子網(wǎng)絡(luò)中的基于糾纏的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)的性能.

2 放射性的基于糾纏的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)的密鑰率

在這部分，我們表明如何估計(jì)在基于光子減法的非高斯操作下的放射的EB CVQKD的密鑰率.所以我們集中于分析直接協(xié)商，因?yàn)榉聪騾f(xié)商可以用類似的方法得到.基于高斯調(diào)制的EB CVQKD，這個(gè)密鑰率可以有下面的式子計(jì)算出來[10]：

其中S是馮·諾伊曼熵，ρe是竊聽者的局部態(tài)，ma代表Alice隨著P(ma)的可能性實(shí)現(xiàn)的測量結(jié)果代表竊聽者的輔助態(tài)，它是在Alice的測量結(jié)果的ma條件下得到的.由

于竊聽者可以提供一個(gè)Alice的純態(tài)和Bob的密度矩陣，我們得到)和)，如圖1所示.因此，Holevo數(shù)量可以寫為[8]：

而且，根據(jù)一個(gè)有益的協(xié)方差矩陣如下[4]：

其中I2是2×2的單位矩陣，σz是以1和-1為對(duì)角線的對(duì)角矩陣，同時(shí)a，b和c代表有效的參數(shù)，由下面的式子得出：

舉例，當(dāng)k=1時(shí)，我們得到：

圖3 z1和z0的相關(guān)性對(duì)比.這里z0表示高斯EPR態(tài)的關(guān)系，同時(shí)z1對(duì)于隨著α∈{0,1}的變化μ∈{0.5,0.8}.

我們注意基于減法的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)當(dāng)μ=1時(shí)不存在，這和原始的具有糾纏源在中間的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)有關(guān).如圖3所示，熟悉矩陣的關(guān)系對(duì)于適當(dāng)?shù)膮?shù)μ和α可以制成比高斯EPR態(tài)更大.它表明對(duì)于被減去的雙向態(tài)提出的方案的無條件安全性受μ和α值的限制，當(dāng)α趨近于0的時(shí)候它變成高斯EPR態(tài)的下界.然而，當(dāng)α的值變得非常小的時(shí)候，在實(shí)際中它就變得無效了.這就是我們?cè)谔岢龅姆桨钢兴瓿傻牟坏貌贿x擇合適的μ和α值的原因.

因?yàn)橛筛`聽者執(zhí)行的最具有攻擊力的策略是高斯攻擊，我們假設(shè)存在一個(gè)等價(jià)的高斯態(tài)ρa(bǔ)1b1具有相同的協(xié)方差矩陣作為以光子減法為基礎(chǔ)的基于糾纏的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)，例如和之間的關(guān)系在Ref.中被討論[17].接下來，我們考慮在以代替被減態(tài)基礎(chǔ)的提出的方案的效率.

假設(shè)Alice執(zhí)行外差檢測，通過在一個(gè)平衡的分束器中結(jié)合她的模和一個(gè)真空附屬d0來產(chǎn)生一個(gè)相干態(tài).在原始態(tài)上的交互執(zhí)行可以被描述為繼續(xù)通過他的模式采用零差或者外差檢測.隨后，為了零差檢測在Alice和Bob之間共享的信息可由下式計(jì)算得出：

外差檢測由下式給出：

接下來，我們考慮的是計(jì)算竊聽者和Alice的的共有信息，例如作為Alice零差測量的條件.使用提純方法，我們有，它是相關(guān)的方差矩陣的辛本征值λ3,4的函數(shù)，具體式子如下：

注意到一個(gè)外差檢測在本質(zhì)上是一個(gè)通過相干態(tài)的推測，外差測量結(jié)果在協(xié)方差矩陣中如下：

然后，辛本征值直接的表示為：

因此，通過外差檢測的馮·諾伊曼熵就可以如下表示了：

由此，對(duì)于基于光子減法的放射性的連續(xù)變量量子密鑰率的下界由下式給出：

其中pk代表了在非高斯操作下成功實(shí)施的可能性.也就是，零差檢測下的密鑰率由下式計(jì)算出來：

同時(shí)外差檢測由下式得出：

在放射的基于糾纏的連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)在光子信道中不具有非高斯操作，原始的高斯態(tài)ρ0的協(xié)方差矩陣ΓG

并且協(xié)方差矩陣ΓG0的辛本征值再Bob的外差測量上是有條件的：

3 結(jié)論

我們提出一個(gè)方法來提高在非高斯的操作下的基于糾纏的連續(xù)變量量子密鑰方案的性能，尤其是，光子減法操作.這個(gè)提出的光子減法操作在當(dāng)前的技術(shù)下很容易的實(shí)現(xiàn).由于被調(diào)制的態(tài)是非高斯的，我們預(yù)測出密鑰率和信道過剩噪聲的可容忍度在高斯定理的協(xié)助下對(duì)抗一般的集體攻擊.結(jié)果表示這個(gè)提出的方案比原始的方案允許更長的安全距離，并且在抵抗信道過剩噪聲中有更好的性能.此外，因?yàn)榭捎玫恼{(diào)制方差VA的區(qū)域可以是開放的，所以這個(gè)提出的方案有一個(gè)更加靈活的應(yīng)用.而且，我們表明減法操作也可能等同于準(zhǔn)備—措施方案.總之，我們已經(jīng)證明光子減法不僅能被用于提高量子態(tài)的糾纏度，也能提高連續(xù)變量量子密鑰分配的性能，包括更長的安全距離，更大的過剩噪聲可容忍度，和更加靈活的調(diào)制方差的選擇.

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