劉中樹

摘要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，在初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中已把它列入基礎(chǔ)知識(shí)的范疇.數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生獲取知識(shí)、解決問(wèn)題、建立合理而又迅速的思維結(jié)構(gòu)的有效工具，是把數(shù)學(xué)知識(shí)、技能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的紐帶.突出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，是當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的必然要求也是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要體現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)形結(jié)合；圖形變換；分類討論；數(shù)學(xué)建模；化歸思想；數(shù)學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）19-0138-03

所謂數(shù)學(xué)思想，就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行有效的滲透；數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問(wèn)題.通?；旆Q為“數(shù)學(xué)思想方法”.常見(jiàn)的數(shù)學(xué)四大思想為：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、函數(shù)與方程.數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的；一是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由數(shù)助形、以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，具有可以使問(wèn)題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，有利于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的識(shí)記和理解；在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)生分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，引發(fā)聯(lián)想，迅速找到解決問(wèn)題的方法.抓住數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)，不僅能夠提高學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，還可以提高學(xué)生遷移思維能力.

等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種重要的思想方法.通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡(jiǎn)單的問(wèn)題.歷年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不見(jiàn)，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺(jué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧.轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化.等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問(wèn)題的結(jié)果.非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過(guò)程是充分或必要的，我們?cè)趹?yīng)用時(shí)一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性與非等價(jià)性的不同要求，實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)確保其等價(jià)性，保證邏輯上的正確.要對(duì)結(jié)論進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性.在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行.它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，普通語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說(shuō)的恒等變形.消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問(wèn)題等等，都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.可以說(shuō)，等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變.由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型.化歸思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法.化歸的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題來(lái)解.實(shí)現(xiàn)新問(wèn)題向舊問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化、未知問(wèn)題向已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象問(wèn)題向具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化等.這是運(yùn)用化歸思想解題的真諦.隨著問(wèn)題的解決，認(rèn)知的不斷拓展，促進(jìn)了知識(shí)的正遷……分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在中考、高考試題中占有重要的位置.解答分類討論問(wèn)題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒(méi)有重復(fù)）；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題.方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程問(wèn)題.宇宙世界，充斥著等式和不等式.我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的……不等式問(wèn)題也與方程是近親，密切相關(guān).列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的.函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究.它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn).在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵.對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型.另外，方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題.數(shù)學(xué)建模思想方法作為數(shù)學(xué)的一種基本方法，滲透在初中數(shù)學(xué)教材的各種知識(shí)板塊當(dāng)中，在方程、不等式、函數(shù)和三角函數(shù)等內(nèi)容篇章中呈現(xiàn)更為突出，學(xué)生學(xué)習(xí)掌握這種思想方法是完成學(xué)習(xí)任務(wù)和繼續(xù)深造學(xué)習(xí)必備的基本能力.此外，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教育要重視學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)，而這種能力的核心就是掌握數(shù)學(xué)建模思想方法，但是實(shí)際情況是，普遍學(xué)生對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題都感到困難，他們的難中之難是如何將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力是提高學(xué)生分析解決實(shí)際問(wèn)題能力的根本途徑.同時(shí)，數(shù)學(xué)建模思想方法蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思維，是多種數(shù)學(xué)方法的綜合.數(shù)學(xué)建模過(guò)程是思維訓(xùn)練過(guò)程，也是觀察、抽象、歸納、作圖、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)等多種能力訓(xùn)練和加強(qiáng)的過(guò)程.數(shù)學(xué)中的建模思想是解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題用得最多的思想方法之一，所謂的建模思想就是找到一種解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法.初中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)模型有：方程模型、函數(shù)模型、幾何模型、三角模型、不等式模型和統(tǒng)計(jì)模型等等.所謂思想方法，就是客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是從大量的思維活動(dòng)中獲得的產(chǎn)物，經(jīng)過(guò)反復(fù)提煉和實(shí)踐，證明為正確、可以反復(fù)被應(yīng)用到新的思維活動(dòng)中，并產(chǎn)生出新的結(jié)果.或者說(shuō)思想方法就是那些顛撲不破思維產(chǎn)物.所謂數(shù)學(xué)思想方法，就是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論（概念、定理、公式、法則等）的本質(zhì)認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)作為對(duì)客觀事物的一種認(rèn)識(shí)，與其他科學(xué)認(rèn)識(shí)一樣，其認(rèn)識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程遵循實(shí)踐—認(rèn)識(shí)—再實(shí)踐的認(rèn)識(shí)路線.但是，數(shù)學(xué)對(duì)象（量）的特殊性和抽象性，又產(chǎn)生與其他科學(xué)不同的、特有的認(rèn)識(shí)方法和理論形式.由此產(chǎn)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論的特有問(wèn)題.認(rèn)識(shí)論是研究認(rèn)識(shí)的本質(zhì)以及認(rèn)識(shí)發(fā)生、發(fā)展一般規(guī)律的學(xué)說(shuō)，它涉及認(rèn)識(shí)的來(lái)源、感性認(rèn)識(shí)與理性認(rèn)識(shí)的關(guān)系、認(rèn)識(shí)的真理性等問(wèn)題.數(shù)學(xué)作為對(duì)客觀事物的一種認(rèn)識(shí)，其認(rèn)識(shí)論也同樣需要探討這些問(wèn)題；其認(rèn)識(shí)過(guò)程，與其他科學(xué)認(rèn)識(shí)一樣，也必然遵循實(shí)踐—認(rèn)識(shí)—再實(shí)踐這一辯證唯物論的認(rèn)識(shí)路線.事實(shí)上，數(shù)學(xué)史上的許多新學(xué)科都是在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的實(shí)踐中產(chǎn)生的.最古老的算術(shù)和幾何學(xué)產(chǎn)生于日常生活、生產(chǎn)中的計(jì)數(shù)和測(cè)量，這已是不爭(zhēng)的歷史事實(shí).數(shù)學(xué)家應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)在解決生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)提出的新的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)試探或試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出解決新問(wèn)題的具體方法，歸納或概括出新的公式、概念和原理；當(dāng)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題積累到一定程度后，便形成數(shù)學(xué)研究的新問(wèn)題（對(duì)象）類或新領(lǐng)域，產(chǎn)生解決這類新問(wèn)題的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套經(jīng)驗(yàn)知識(shí).這樣，有了新的問(wèn)題類及其解決問(wèn)題的新概念、新方法等經(jīng)驗(yàn)知識(shí)后，就標(biāo)志著一門新的數(shù)學(xué)分支學(xué)科的產(chǎn)生，例如，17世紀(jì)的微積分.由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)是通過(guò)實(shí)踐而獲得的，表現(xiàn)為一種經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的積累.這時(shí)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)是零散的感性認(rèn)識(shí)，概念尚不精確，有時(shí)甚至導(dǎo)致推理上的矛盾.因此，它需要經(jīng)過(guò)去偽存真、去粗取精的加工制作，以便上升為有條理的、系統(tǒng)的理論知識(shí).數(shù)學(xué)知識(shí)由經(jīng)驗(yàn)知識(shí)形態(tài)上升為理論形態(tài)后，數(shù)學(xué)家又把它應(yīng)用于實(shí)踐，解決實(shí)踐中的問(wèn)題，在應(yīng)用中檢驗(yàn)理論自身的真理性，并且加以完善和發(fā)展.同時(shí)，社會(huì)實(shí)踐的發(fā)展，又會(huì)提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，迫使數(shù)學(xué)家創(chuàng)造新的方法和思想，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，即新的數(shù)學(xué)分支學(xué)科.由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)作為一種認(rèn)識(shí)，與其他科學(xué)認(rèn)識(shí)一樣，遵循著感性具體—理性抽象—理性具體的辯證認(rèn)識(shí)過(guò)程.這就是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一般性.

科學(xué)的區(qū)分在于研究對(duì)象的特殊性.數(shù)學(xué)研究對(duì)象的特殊性就在于，它是研究事物的量的規(guī)定性，而不研究事物的質(zhì)的規(guī)定性；而“量”是抽象地存在于事物之中的，是看不見(jiàn)的，只能用思維來(lái)把握，而思維有其自身的邏輯規(guī)律.所以數(shù)學(xué)對(duì)象的特殊性決定了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方法的特殊性.這種特殊性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)由經(jīng)驗(yàn)形態(tài)上升為理論形態(tài)的特有的認(rèn)識(shí)方法——公理法或演繹法，以及由此產(chǎn)生的特有的理論形態(tài)——公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng).因此，它不能像自然科學(xué)那樣僅僅使用觀察、歸納和實(shí)驗(yàn)的方法，還必須應(yīng)用演繹法.同時(shí)，作為對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)概括的公理系統(tǒng)，是否正確地反映經(jīng)驗(yàn)知識(shí)呢？數(shù)學(xué)家解決這個(gè)問(wèn)題與自然科學(xué)家不盡相同.特別是，他們不是被動(dòng)地等待實(shí)踐的裁決，而是主動(dòng)地應(yīng)用形式化方法研究公理系統(tǒng)應(yīng)該滿足的性質(zhì)：無(wú)矛盾性、完全性和公理的獨(dú)立性.為此，數(shù)學(xué)家進(jìn)一步把公理系統(tǒng)抽象為形式系統(tǒng).因此，演繹法是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)特殊性的表現(xiàn).endprint