韓林山 閃修洋

（華北水利水電大學(xué)機(jī)械學(xué)院，河南 鄭州 450011）

基于非線性理論的2K-V型減速機(jī)動(dòng)力學(xué)建模技術(shù)

韓林山 閃修洋

（華北水利水電大學(xué)機(jī)械學(xué)院，河南 鄭州 450011）

以2k-v型減速機(jī)為研究對(duì)象，利用等價(jià)力學(xué)模型的方法，考慮各零件的制造誤差、轉(zhuǎn)矩、間隙、慣性載荷和接觸變形等因素的作用，對(duì)2k-v型減速機(jī)的關(guān)鍵零件進(jìn)行了受力分析，并根據(jù)D'Alembert原理，建立了該傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度的非線性動(dòng)力學(xué)模型。

2k-v型減速機(jī)；誤差因素；非線性動(dòng)力學(xué)模型

2k-v型傳動(dòng)裝置是一種新穎的擺線針輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有傳動(dòng)精度高、傳動(dòng)比大、傳動(dòng)效率高、抗沖擊能力強(qiáng)、剛度大、回差小等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于印刷機(jī)械、機(jī)器人、自動(dòng)化設(shè)備、起重運(yùn)輸、石油化工等領(lǐng)域。2K-V型減速機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖 1 2K-V型減速機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

日高照晃教授[1-3]通過(guò)建立質(zhì)量彈簧等價(jià)模型來(lái)分析和研究2k-v型傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度；國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)該傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)精度的研究?jī)H限于靜態(tài)或幾何領(lǐng)域，本文在充分分析2k-v型減速機(jī)的組成結(jié)構(gòu)、工作原理及傳動(dòng)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，在考慮制造誤差、間隙、轉(zhuǎn)矩等因素的影響下，對(duì)其受力情況進(jìn)行了全面的分析，從動(dòng)力學(xué)的角度建立了動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度的數(shù)學(xué)模型。

1 建立質(zhì)量彈簧等價(jià)模型

本文所研究的2k-v型減速機(jī)包括1個(gè)太陽(yáng)輪、3個(gè)行星輪、3個(gè)曲柄軸、2個(gè)擺線輪、針輪和行星架等。

由于擺線針輪系統(tǒng)中存在齒輪嚙合間隙、零件加工誤差、零件彈性變形和軸承間隙等影響因素，導(dǎo)致零件質(zhì)心的實(shí)際位置位置及其轉(zhuǎn)角與理想位置產(chǎn)生了偏差。根據(jù)日高照晃的相關(guān)研究，通過(guò)線位移、角位移來(lái)表示理想位置與實(shí)際位置的偏差，并把這些線位移、角位移都叫作微位移。研究減速機(jī)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度的力學(xué)模型如圖2所示。由于擺線針輪傳動(dòng)裝置的各零件在制造和裝配環(huán)節(jié)中存在齒輪嚙合間隙、加工誤差、軸承間隙及零件彈性變形等影響因素的存在，在受力分析中零件的相對(duì)轉(zhuǎn)角及實(shí)際質(zhì)心位置都會(huì)與其理想位置發(fā)生偏差。在2K-V傳動(dòng)系統(tǒng)受力研究中，將各零件的彈性變形、制造誤差，裝配誤差和軸承間隙等影響因素統(tǒng)一到一個(gè)質(zhì)量彈簧等價(jià)模型中。在這個(gè)質(zhì)量彈簧等價(jià)模型中，每個(gè)元件看作一個(gè)剛體，并用彈簧表示各個(gè)零件之間的接觸強(qiáng)度，那么各個(gè)零件的裝配誤差、制造誤差、間隙及微小位移等都可以換算到等價(jià)彈簧上，稱之為“等價(jià)誤差”。這樣，通過(guò)等價(jià)誤差和等價(jià)彈簧就可以表示出個(gè)零件上的力。各零件間的剛度系數(shù)，如太陽(yáng)輪與行星輪間的嚙合剛度系數(shù)kj、行星架與針輪間的軸承支承剛度系數(shù)kca、曲柄軸與擺線輪軸孔間的軸承支承剛度系數(shù)kji、針齒與擺線輪間的嚙合剛度系數(shù)kjk和太陽(yáng)輪的支承剛度系數(shù)ks、曲柄軸和行星架軸孔間的軸承支承剛度系數(shù)kbi，其中ki通過(guò)輪齒彎曲變形來(lái)確定[4]，ks采用計(jì)算太陽(yáng)輪軸的彎曲變形求得，而kji、kbi、kca、kjk采用Palmgren公式[5]確定。

其次是相關(guān)的靜、動(dòng)坐標(biāo)系的確定方法。把固定針輪中心O設(shè)為原點(diǎn)，與其軸線垂直的斷面設(shè)為平面靜坐標(biāo)系（x，y）；從太陽(yáng)輪端即輸入端開始，依次對(duì)兩個(gè)擺線輪進(jìn)行編號(hào)j=1，2，并把擺線輪的理論質(zhì)心Oj設(shè)作原點(diǎn)，以擺線輪的偏心方向?yàn)棣莏軸，以其公轉(zhuǎn)角方向轉(zhuǎn)動(dòng)90°做ξj軸，建立擺線輪的動(dòng)坐標(biāo)系（ηj，ξj）。在建模過(guò)程中，設(shè)定擺線輪j=1的ηj軸的初始位置與靜坐標(biāo)系x軸方向一致。同時(shí)，在動(dòng)力學(xué)模型中，將各等價(jià)彈簧安置在各零件輪齒嚙合處或坐標(biāo)軸的正方向接觸處，且設(shè)定各因素使彈簧受拉為正，受壓為負(fù)；?i表示擺線輪上的曲柄軸軸孔的相對(duì)位置，取?i=2π（i-1）/3，i=1，2，3，ψj表示兩擺線輪的理論質(zhì)心Oj的相對(duì)位置，取ψj＝（j-1）π（j=1，2）。

圖 2 2k-v型減速機(jī)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度計(jì)算的力學(xué)模型

2 各零件的受力分析

2.1 太陽(yáng)輪的受力分析

太陽(yáng)輪的受力情況如圖3所示。圖中，ωs為太陽(yáng)輪的自轉(zhuǎn)方向，xs、ys為太陽(yáng)輪的微位移，Rsx、Rsy、Rgi為由于轉(zhuǎn)矩Ts的作用在O處及嚙合處產(chǎn)生的作用力；Fsx、Fsy、Fspi為由于太陽(yáng)輪和第i個(gè)行星輪的基園偏心誤差（Es，βs）、（Epi，βpi）和太陽(yáng)輪的裝配誤差（As，γs）的影響在O處及嚙合處產(chǎn)生的彈性力。

圖3 太陽(yáng)輪的受力

設(shè)esx、esy為裝配誤差（As，γs）在支承處x、y方向上所產(chǎn)生的位移。其大小為：esx=Ascosγs，esy=Assinγs。

則Fsx=ks（xs-esx） Fsy=ks（ys-esy）

設(shè)Si為微位移xs、ys在嚙合處產(chǎn)生的位移，si=xscosAi+yssinAi；Spi為行星輪的微位移xpi、ypi、θpi-θp在輪齒嚙合處產(chǎn)生的位移Spi=-xpicosAi-ypisinAi-Rbp（θpi-θp）；

esi、epi為太陽(yáng)輪基圓偏心誤差在嚙合處產(chǎn)生的位移

esi=-Escos（θs+βs-Ai），epi=Epicos（βpi-θp-Ai）

則：Fspi=ki（Si+Spi+esi+epi）

Fgi=TS/3rsb（rsb為太陽(yáng)輪的基圓半徑）

2.2 擺線輪的受力分析

圖 4 擺線輪的受力

令擺線輪的3個(gè)微位移分別為ηdj、θdj-θc和θoj-θp，其中ηdj表示擺線輪的線微位移，θdj-θc表示擺線輪的自轉(zhuǎn)角微位移，θoj-θp表示擺線輪的公轉(zhuǎn)角微位移。

式中±號(hào)是依據(jù)擺線輪與曲柄軸接觸處的變形量大小進(jìn)行確定。

④Fijk是由于誤差、間隙等因素產(chǎn)生的擺線輪輪齒與針齒間的作用力Fijk=kjk(Sjk+eRk+ePk+eRjk+ePjk+ej+ejk)。

式中，Sjk是擺線輪的3個(gè)微位移在輪齒嚙合處所產(chǎn)生的位移

圖 5 曲柄軸及其固聯(lián)的行星輪的受力

eRK是針輪齒槽偏差RK所引起的位移eRk=-Rkcos(αjk-?jk)

式中，αjk是第kr個(gè)針齒的中心與第j個(gè)擺線輪的節(jié)點(diǎn)連線和ηj軸正方向和ηj軸正方向間的夾角（°），其中kr=1，2，…Zr；?jk——第j個(gè)擺線輪ηj軸正方向和第kr個(gè)針齒半徑方向之間的夾角（°）。

epk是針輪在其圓周方向具有的齒距累積偏差Pk所產(chǎn)生的位移eRk=-Rkcos（αjk-?jk）

eRjk是擺線輪齒槽具有的偏差Rjk產(chǎn)生的位移eRjk=Rjkcos(αjk-?djk)式中，?djk是第kr個(gè)針齒中心與第j個(gè)擺線輪的中心連線和軸ηj正方向之間的夾角。

epjk是擺線輪齒距累積偏差pjk產(chǎn)生的位移ePjk=Pjksin(αjk-?djk)。

2.2 曲柄軸及其固聯(lián)的行星輪的受力分析（見圖5）

①圖中，Rit、RiF為擺線輪對(duì)曲柄軸承的作用力Ri的兩個(gè)分力，與上文的擺線輪受力中的曲柄軸對(duì)擺線輪的力是一對(duì)作用力與反作用力，這里不再詳細(xì)介紹。

④設(shè)Sbix、Sbiy是行星架的三個(gè)微位移xca、yca和θca-θc在曲柄軸支承處x、y方向上產(chǎn)生的位移；Six、Siy是行星輪的微位移xpi、ypi和θpi-θp在行星架接觸處x、y方向上產(chǎn)生的位移；ecaxi、ecayi是行星架的曲柄軸孔偏心誤差為（Ecai，βcai）在x、y方向上所產(chǎn)生的位移；exi是行星架上的曲柄軸孔處的軸承間隙δxi在支承處產(chǎn)生的位移，則由于誤差等因素的作用產(chǎn)生的行星架與曲柄軸接觸處x、y方向上的作用力：

圖 6 行星架的受力圖

式中±號(hào)是根據(jù)行星架與曲柄軸接觸處的變形量多少來(lái)確定。

其具體判斷方法為：若Sbix+Six+ecaxi≥-exi，取+號(hào)；若Sbix+Six+ ecaxi≤exi，取-號(hào)；若-exi≤Sbix+Six+ecaxi≤exi，表明行星架曲柄軸孔處沒(méi)有接觸載荷即Fcix、Fciy的值為零。

2.3 行星架的受力分析

行星架的受力如圖6所示，由于建模時(shí)傳動(dòng)系統(tǒng)是垂直放置的，所以不考慮由于重力而使行星架所受得支承力。

設(shè)行星架的三個(gè)微位移為xca、yca和θca-θc，其在殼體支承處x、y方向上產(chǎn)生的位移分別為：Scax=xca,Scay=yca

行星架與減速機(jī)殼體間的軸承間隙為δca，則其在支承處所產(chǎn)生的位移為：eca=-δca

綜上所述，由于誤差的影響使行星架殼體支承處x、y方向上產(chǎn)生的作用力為：Fcax=kca(Scax-ecx±eca)=kca(xca-ecx±eca)

Fcay=kca(Scay-ecy±eca)=kca(yca-ecy±eca)

式中±號(hào)是依據(jù)行星架殼體支承處變形量的大小來(lái)確定。具體判定方法為：若Scax-ecx≥-eca，取+號(hào)；若Scax-ecx≤-eca，則去-號(hào)；若-eca≤Scax-ecx≤eca，表明行星架殼體支承處沒(méi)有接觸載荷，即Fcax、Fcay的值為零。

3 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立

首先對(duì)零件處于理想位置時(shí)進(jìn)行受力狀況，然后根據(jù)D'Alembert原理建立動(dòng)態(tài)傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。

在動(dòng)力學(xué)建模過(guò)程中，特別考慮了行星輪、擺線輪及曲柄軸的科氏加速度，系統(tǒng)中的摩擦阻力給予忽略。在嚙合過(guò)程中，由于輪齒的加工誤差、間隙、裝配誤差以及微位移的作用，其嚙合力的方向都會(huì)與其理想的嚙合方向產(chǎn)生偏移，但是，考慮這些作用都比較小，所以在建模時(shí)，可以按照在理想狀態(tài)時(shí)的行星齒輪機(jī)構(gòu)確定其嚙合力作用方向，從而忽略嚙合力方向的細(xì)微改變。

經(jīng)過(guò)整理，2k-v型傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度動(dòng)力學(xué)模型為：

式中:ms——太陽(yáng)輪質(zhì)量（kg）

msp——曲柄軸及行星輪的質(zhì)量總和（kg）

mbx——擺線輪質(zhì)量（kg）

JOP——曲柄軸及行星輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·m2）

JOj——擺線輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·m2）

ωc——行星架的理論轉(zhuǎn)動(dòng)角速度（rad/s）

ωP——行星輪理論自轉(zhuǎn)角速度（rad/s）

TO——外界負(fù)載轉(zhuǎn)矩N·m

式中M、C、K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，矩陣階數(shù)均為20×20；X為位移向量

X=（xs，ys，xp1，yp1，θp1，xp2，yp2，θp2，xp3，yp3，θp3，ηd1，θo1，θd1，ηd2，θo2，θd2，xca，yca，θca）；Q是廣義力矢量。

由于剛度系數(shù)kji，kbi，kca，kjk可以用位移的函數(shù)表示，而且存在間隙，所以該系統(tǒng)式非線性的。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在2K-V型減速機(jī)的工作原理及傳動(dòng)特性的基礎(chǔ)上，對(duì)2K-V型傳動(dòng)系統(tǒng)典型零部件做了全面的力學(xué)分析?？紤]各零件的制造誤差、裝配誤差、轉(zhuǎn)矩、間隙和彈性變形等因素時(shí)的受力情況，利用彈簧“等價(jià)模型”方法，建立了雙擺線輪、三曲柄、圓盤式輸出類型2K-V型減速機(jī)的彈簧等價(jià)力學(xué)模型，為提高2K-V的綜合性能等方面的研究打下了基礎(chǔ)。

[1]日高照晃ほか.サイクロイド齒車を用ぃたK-H-V形遊星齒車裝置の回轉(zhuǎn)傳達(dá)誤差に開する研究（第1報(bào)，解析方法）.日本耭械學(xué)會(huì)論文集（C編），Vol.60，No.570，1994.

[2]石田武ほか.サイクロイド齒車を用ぃたK-H-V形遊星齒車裝置の回轉(zhuǎn)傳達(dá)誤差に開する研究（第2報(bào)，各種加工誤差、組立誤差が回轉(zhuǎn)傳達(dá)誤差に及ほす影響）.日本耭械學(xué)會(huì)論文集（C編），Vol.60，No.578，1994.

[3]石田武ほか.サイクロイド齒車を用ぃたK-H-V形遊星齒車裝置の回轉(zhuǎn)傳達(dá)誤差に開する研究（第3報(bào)，各種誤差にほす相互影響）.日本耭械學(xué)會(huì)論文集（C編），Vol.60，No.578，1994.

[4]李潤(rùn)方，王建軍.齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，1997.

[5]丁長(zhǎng)安（導(dǎo)師：朱均，周福章）.滾動(dòng)軸承-主軸系統(tǒng)靜動(dòng)特性研究[D].西安：西安交通大學(xué)，2003.

[6]李充寧，孫濤，劉繼巖.2k-v型行星傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)和力的分析[J].機(jī)械傳動(dòng),2000（2）：7-9.

[7]鄭州工學(xué)院機(jī)械原理及機(jī)械零件教研室.擺線針輪行星傳動(dòng)[M].北京：科學(xué)出版社，1978.

[8]韓林山（導(dǎo)師：沈允文）.2K-V型擺線針輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度的研究[D].西安：西北工業(yè)大學(xué)，2008.

TH132.4

A

1671-0037（2014）12-97-4

韓林山（1964-），男，工學(xué)博士，教授，研究方向：機(jī)械設(shè)計(jì)及理論研究。

閃修洋（1989-），男，在讀研究生，研究方向：機(jī)械設(shè)計(jì)及理論。