霍元山

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；正弦定理；余弦定理；數(shù)學(xué)思想

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）12—009３—０1

正弦定理、余弦定理的應(yīng)用極為廣泛，它將三角形的邊與角有機(jī)地聯(lián)系起來，從而為解三角形、判斷三角形形狀、證明三角形邊角關(guān)系提供了重要的依據(jù).在運(yùn)用正余弦定理解題時(shí)，往往涉及許多數(shù)學(xué)思想.

一、 化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想就是化未知為已知，化繁為簡，化難為易.在解決三角形邊角關(guān)系時(shí)經(jīng)常用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而化難為易.

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊的長分別是a、b、c，求證：■=■.

分析：由于所求證的結(jié)論是三角形的邊角關(guān)系，很自然地我們就會聯(lián)想到用正余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

證明：由正弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.

所以a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

整理，得■=■

由正弦定理，得■=■，■=■.

所以■=■=■，

故所求證的等式成立.

評注：本題在求解過程中，充分利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化，從而使問題獲得解決.

二、 分類與整合思想

分類與整合思想就是當(dāng)一個(gè)問題因?yàn)槟撤N量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時(shí)，需要對這個(gè)量或圖形的各種情況進(jìn)行分類討論.當(dāng)已知三角形兩邊和其中一邊的對角時(shí)，常常用到分類與整合的思想.

例2在△ABC中，已知a=2■，b=2■，A=45°，求c，B，C.

分析：由于已知三角形兩邊a，b及一邊的對角A，所以先用正弦定理求另一邊的對角B（有兩解），得到兩種情況，在依角B的值進(jìn)行分類求解.

解：由■=■，得sinB=■=■

=■.

∵bsinA﹤a﹤b.

∴這個(gè)三角形有兩解.

∴B=60°或B=120°，∴C=75°或C=15°，

當(dāng)B=60°，C=75°時(shí)，由■=■，得c=■

=■=■+■.

當(dāng)B=120°，C=15°時(shí)，由■=■，得c=■

=■=■-■.

故c=■＋■，B=60°，C=75°或，c=■－■， B=120°，C=15°.

評注：本題在求解過程中按角B的大小進(jìn)行了分類討論.

三、 函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程的思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.

例3在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對邊的長，且a=4，b+c=5，tanA+tanB=■（tanAtanB-1），求△ABC的面積.

分析：用兩角和的正切公式求出特殊角的函數(shù)值，再利用正弦定理、余弦定理列出方程組、通過解方程組求出三角形的邊長，進(jìn)而求得三角形的面積.

解：由tanA+tanB=■（tanAtanB-1），得■=tan（A+B）=-■，

∵A+B+C=180°，∴tan(A+B)=-tanC=-■，即tanC=■ .

∵0°﹤C﹤180°，∴C=60°，∴cosC=■.

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，即c2= a2+b2-ab.

又∵a=4，b+c=5，以上三個(gè)方程組成方程組解得a=4，b=■，c=■. ∴S△ABC=absinC÷2=4×■×■÷2=■.

評注：本題在求解過程中，充分利用兩角和的正切公式的變形，求出特殊角的函數(shù)值，然后利用余弦定理得到a，b，c之間的關(guān)系，再與已知條件聯(lián)立組成方程組求出a，b，c，從而使問題獲得解決.

編輯：謝穎麗

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〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；正弦定理；余弦定理；數(shù)學(xué)思想

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）12—009３—０1

正弦定理、余弦定理的應(yīng)用極為廣泛，它將三角形的邊與角有機(jī)地聯(lián)系起來，從而為解三角形、判斷三角形形狀、證明三角形邊角關(guān)系提供了重要的依據(jù).在運(yùn)用正余弦定理解題時(shí)，往往涉及許多數(shù)學(xué)思想.

一、 化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想就是化未知為已知，化繁為簡，化難為易.在解決三角形邊角關(guān)系時(shí)經(jīng)常用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而化難為易.

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊的長分別是a、b、c，求證：■=■.

分析：由于所求證的結(jié)論是三角形的邊角關(guān)系，很自然地我們就會聯(lián)想到用正余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

證明：由正弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.

所以a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

整理，得■=■

由正弦定理，得■=■，■=■.

所以■=■=■，

故所求證的等式成立.

評注：本題在求解過程中，充分利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化，從而使問題獲得解決.

二、 分類與整合思想

分類與整合思想就是當(dāng)一個(gè)問題因?yàn)槟撤N量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時(shí)，需要對這個(gè)量或圖形的各種情況進(jìn)行分類討論.當(dāng)已知三角形兩邊和其中一邊的對角時(shí)，常常用到分類與整合的思想.

例2在△ABC中，已知a=2■，b=2■，A=45°，求c，B，C.

分析：由于已知三角形兩邊a，b及一邊的對角A，所以先用正弦定理求另一邊的對角B（有兩解），得到兩種情況，在依角B的值進(jìn)行分類求解.

解：由■=■，得sinB=■=■

=■.

∵bsinA﹤a﹤b.

∴這個(gè)三角形有兩解.

∴B=60°或B=120°，∴C=75°或C=15°，

當(dāng)B=60°，C=75°時(shí)，由■=■，得c=■

=■=■+■.

當(dāng)B=120°，C=15°時(shí)，由■=■，得c=■

=■=■-■.

故c=■＋■，B=60°，C=75°或，c=■－■， B=120°，C=15°.

評注：本題在求解過程中按角B的大小進(jìn)行了分類討論.

三、 函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程的思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.

例3在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對邊的長，且a=4，b+c=5，tanA+tanB=■（tanAtanB-1），求△ABC的面積.

分析：用兩角和的正切公式求出特殊角的函數(shù)值，再利用正弦定理、余弦定理列出方程組、通過解方程組求出三角形的邊長，進(jìn)而求得三角形的面積.

解：由tanA+tanB=■（tanAtanB-1），得■=tan（A+B）=-■，

∵A+B+C=180°，∴tan(A+B)=-tanC=-■，即tanC=■ .

∵0°﹤C﹤180°，∴C=60°，∴cosC=■.

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，即c2= a2+b2-ab.

又∵a=4，b+c=5，以上三個(gè)方程組成方程組解得a=4，b=■，c=■. ∴S△ABC=absinC÷2=4×■×■÷2=■.

評注：本題在求解過程中，充分利用兩角和的正切公式的變形，求出特殊角的函數(shù)值，然后利用余弦定理得到a，b，c之間的關(guān)系，再與已知條件聯(lián)立組成方程組求出a，b，c，從而使問題獲得解決.

編輯：謝穎麗

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〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；正弦定理；余弦定理；數(shù)學(xué)思想

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）12—009３—０1

正弦定理、余弦定理的應(yīng)用極為廣泛，它將三角形的邊與角有機(jī)地聯(lián)系起來，從而為解三角形、判斷三角形形狀、證明三角形邊角關(guān)系提供了重要的依據(jù).在運(yùn)用正余弦定理解題時(shí)，往往涉及許多數(shù)學(xué)思想.

一、 化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想就是化未知為已知，化繁為簡，化難為易.在解決三角形邊角關(guān)系時(shí)經(jīng)常用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而化難為易.

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊的長分別是a、b、c，求證：■=■.

分析：由于所求證的結(jié)論是三角形的邊角關(guān)系，很自然地我們就會聯(lián)想到用正余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

證明：由正弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.

所以a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

整理，得■=■

由正弦定理，得■=■，■=■.

所以■=■=■，

故所求證的等式成立.

評注：本題在求解過程中，充分利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化，從而使問題獲得解決.

二、 分類與整合思想

分類與整合思想就是當(dāng)一個(gè)問題因?yàn)槟撤N量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時(shí)，需要對這個(gè)量或圖形的各種情況進(jìn)行分類討論.當(dāng)已知三角形兩邊和其中一邊的對角時(shí)，常常用到分類與整合的思想.

例2在△ABC中，已知a=2■，b=2■，A=45°，求c，B，C.

分析：由于已知三角形兩邊a，b及一邊的對角A，所以先用正弦定理求另一邊的對角B（有兩解），得到兩種情況，在依角B的值進(jìn)行分類求解.

解：由■=■，得sinB=■=■

=■.

∵bsinA﹤a﹤b.

∴這個(gè)三角形有兩解.

∴B=60°或B=120°，∴C=75°或C=15°，

當(dāng)B=60°，C=75°時(shí)，由■=■，得c=■

=■=■+■.

當(dāng)B=120°，C=15°時(shí)，由■=■，得c=■

=■=■-■.

故c=■＋■，B=60°，C=75°或，c=■－■， B=120°，C=15°.

評注：本題在求解過程中按角B的大小進(jìn)行了分類討論.

三、 函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程的思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.

例3在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對邊的長，且a=4，b+c=5，tanA+tanB=■（tanAtanB-1），求△ABC的面積.

分析：用兩角和的正切公式求出特殊角的函數(shù)值，再利用正弦定理、余弦定理列出方程組、通過解方程組求出三角形的邊長，進(jìn)而求得三角形的面積.

解：由tanA+tanB=■（tanAtanB-1），得■=tan（A+B）=-■，

∵A+B+C=180°，∴tan(A+B)=-tanC=-■，即tanC=■ .

∵0°﹤C﹤180°，∴C=60°，∴cosC=■.

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，即c2= a2+b2-ab.

又∵a=4，b+c=5，以上三個(gè)方程組成方程組解得a=4，b=■，c=■. ∴S△ABC=absinC÷2=4×■×■÷2=■.

評注：本題在求解過程中，充分利用兩角和的正切公式的變形，求出特殊角的函數(shù)值，然后利用余弦定理得到a，b，c之間的關(guān)系，再與已知條件聯(lián)立組成方程組求出a，b，c，從而使問題獲得解決.

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