賈美娥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

談行式與列式

賈美娥

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文主要討論了行（列）式的展開(kāi)與證明.

行列式；行式；列式

通常的行列式，其行數(shù)與列數(shù)必須相等，而行式與列式的行數(shù)與列數(shù)未必相等.

是一個(gè)m×n(m≤n)行式，則

其中i1i2…im是1,2,…,m中n個(gè)數(shù)碼的選排列. π(i1i2…im)是排列i1i2…im的反序數(shù).

注：本文均用π(i1i2…im)表示排列i1i2…im的反序數(shù).

設(shè)D是形如（1）的一個(gè)m×n(m≥n)的列式，則

其中j1j2…jn是1,2,…,m,中nT數(shù)碼的選排列.

不難證明，行式與行列式有相同的有關(guān)行的性質(zhì).列式與行列式有相同的有關(guān)列的性質(zhì)，但對(duì)于行式的列和列式的行這些性質(zhì)未必滿(mǎn)足.在此這些性質(zhì)就不一一列舉.本文著重于行式、列式的展開(kāi)式，只討論行式，列式的有關(guān)性質(zhì)同理可得.

定義1 設(shè)D是形如（1）的一個(gè)m×n行（列）式，D的元素aij的余子行（列）式，Nij指的是在D中劃去元素aij所在的行及列后，剩下的元素構(gòu)成的(m-1)×(n-1)行(列)式.Nij的元素ast(s=1,…,i-1,i+1… m;t=1,…,j-1,j+1,…,n)帶上符號(hào)(-1)π(is)+π(jt)后構(gòu)成的(m-1)×(n-1)行（列）式稱(chēng)為元素aij的代數(shù)余子行（列）式，記做Bij.

不難驗(yàn)證，當(dāng)m=n時(shí)，Bij就是行列式D的元素aij的代數(shù)余子式.下面注明，行式與行列式一樣也可以依行展開(kāi).首先證明如下定理1.

定理1若在形如（1）的m×n行式D的第i行的元素除aij外都是零，即MD等于aij與它的代數(shù)余子行式Bij的乘積：

證明 10首先假定D的第一行元素除aij外都是零，這時(shí)，

要證D=a1jB1j因

所以Bij的每一項(xiàng)都可寫(xiě)做：

其中j2…jm是1,…j-1,j+1,…,n中m-1個(gè)數(shù)碼的選排列，而且j2…jm恰有r個(gè)小于j.這一項(xiàng)在B1j中的符號(hào)為(-1)π(j2…jm)，因此a1jB1j的每一項(xiàng)都可寫(xiě)做：a1ja2j2a3j3…amjm，其中jj2…jm是1,2…,n中mT數(shù)碼的選排列.這一項(xiàng)在a1jB1j中的符號(hào)為(-1)r+π(j2…jm).由于j2,j3,…,jm，因此

故（1）在a1jB1j中的符號(hào)為：(-1)n(jj2…jjn)

顯然（1）也是D的項(xiàng)，而且D的每一項(xiàng)都可寫(xiě)成（1）的形式.（1）在D中的符號(hào)為

20證明一般情形，設(shè)

的第i行元素除aij外都是零，將D的第i行依次與i-1,…2,1交換，因交換行式的兩行，行式改變符號(hào)，所以

顯然D1=(-1)i-1Bij，所以D=aijBij

定理2 m×n行式D等于它的任意一行的所有元素與它們的對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子行式的乘積的和.

換言之，行式有依行的展開(kāi)式：

因行式對(duì)于行可拆項(xiàng)，所以定理的結(jié)論顯然這里就不證了.下面的定理也是顯然的.

定理3 行式的某一行元素與另一行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子行式的乘積的和等于零.設(shè)D是形如(1)的一個(gè)m×n行列式，則有

利用這一結(jié)果可求一些矩陣的廣義逆.

設(shè)A=(aij)是一個(gè)m×n矩陣，稱(chēng)形如（1）中的D為矩陣A的行（列）式.稱(chēng)

為矩陣A的廣義伴隨矩陣，其中Bij是D的元素aij的代數(shù)余子行（列）式，因?yàn)?/p>

〔1〕張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)第四版[M].高等教育出版社，1999.

O151.2

A

1673-260X（2014）04-0012-02