李可，孫曉東，楊澤斌

(江蘇大學 a.電氣信息工程學院；b.汽車工程研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

無軸承永磁同步電動機(bearingless permanent magnet synchronous motor，BPMSM)具有體積小、重量輕、效率高、功率因數(shù)高、控制特性好等優(yōu)點，還具有磁軸承無摩擦、無磨損、不需潤滑、高轉(zhuǎn)速和高精度等優(yōu)點，因此在航空航天、生物醫(yī)藥、半導體制造等特殊領域具有廣泛的應用前景[1-5]。

為了保證BPMSM的穩(wěn)定懸浮運行，必須對徑向力進行實時控制，因此徑向力的精確計算是電動機本體設計和控制策略研究的基礎。文獻[6]對表貼式BPMSM的數(shù)學模型進行試驗研究，在得到電感系數(shù)的前提下，采用虛位移原理確定了BPMSM徑向力模型，該方法必須依賴試驗數(shù)據(jù)，因此計算較為復雜，影響徑向力模型的準確性。文獻[7-8]分別對插入式、埋入式BPMSM的數(shù)學模型進行了深入研究，首先得到轉(zhuǎn)矩和懸浮兩套繞組交鏈的磁鏈方程，在此基礎上求得電磁能方程，再根據(jù)虛功原理求得徑向力方程。文獻[6-8]對BPMSM的徑向力模型進行研究時并沒有對轉(zhuǎn)子偏心情況下的徑向力進行深入分析研究，是一種比較理想的徑向力方程，但在實際運行過程中，BPMSM定轉(zhuǎn)子之間的偏心是存在的。針對現(xiàn)有模型的不足，結(jié)合麥克斯韋張量法及磁路法，建立考慮偏心位移的BPMSM徑向力模型，并運用有限元分析對其進行仿真。

1 BPMSM徑向力產(chǎn)生原理

BPMSM定子中疊繞著轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組，由于懸浮力繞組產(chǎn)生的磁場打破了原有轉(zhuǎn)矩繞組(包括永磁體，下同)建立的氣隙磁場的平衡，從而產(chǎn)生作用在轉(zhuǎn)子側(cè)的徑向力。設BPMSM的懸浮力繞組和轉(zhuǎn)矩繞組的極對數(shù)分別為PB和PM(下標B，M分別表示懸浮力繞組和轉(zhuǎn)矩繞組的相關(guān)參數(shù))，BPMSM要同時實現(xiàn)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)和懸浮運行，必須滿足3個條件：(1)兩套繞組的極對數(shù)相差1，即PB=PM±1；(2)兩套繞組產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場方向相同；(3)通入兩套繞組中的電流頻率相同[9]。

BPMSM的徑向力產(chǎn)生原理如圖1所示。圖中，PM=1且PB=2；NBa和NBb為懸浮力繞組，NMa和NMb為轉(zhuǎn)矩繞組，兩者疊壓在BPMSM的定子槽中。懸浮力繞組通電后產(chǎn)生四極氣隙磁通Ψ4，原本由永磁體產(chǎn)生的二極磁通Ψ2的平衡被四極氣隙磁通Ψ4打破，由于氣隙磁通的不均勻分布進而產(chǎn)生徑向力。如果BPMSM轉(zhuǎn)子位于中心位置，二極氣隙磁通Ψ2主要由BPMSM轉(zhuǎn)子表面的永磁體產(chǎn)生，當BPMSM空載懸浮運轉(zhuǎn)，對應的轉(zhuǎn)矩繞組中的電流很小，由轉(zhuǎn)矩繞組電流產(chǎn)生的磁通可以忽略不計。如果NBa和NBb中不通入電流，二極磁通Ψ2保持平衡，此時徑向力為0。當繞組NBa中通正向電流，產(chǎn)生的四極氣隙磁通Ψ4使轉(zhuǎn)子右側(cè)氣隙1處磁通密度增加，轉(zhuǎn)子左側(cè)氣隙3處磁通密度減小，從而產(chǎn)生沿x軸正方向的徑向力；當繞組NBa中通反向電流，則會產(chǎn)生沿x軸負方向的徑向力。同理，沿y軸方向的徑向力可以通過在繞組NBb中通入電流獲得。因此，通過控制懸浮力繞組NBa和NBb中的電流就可以控制懸浮力的大小和方向，從而實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。

圖1 徑向力產(chǎn)生原理

2 徑向力模型

根據(jù)麥克斯韋張量法，BPMSM轉(zhuǎn)子表面dS面積上沿機械角θ受到的法向力和切向力分別為[10]

(1)

bt(θ,t)=-Btcos(ωt-PMθ-γM)，

(2)

式中：bn(θ,t)和bt(θ,t)分別為轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組的合成氣隙磁密的法向和切向分量；θ為沿定子內(nèi)表面逆時針機械角度；μ0為真空磁導率；Bt為切向氣隙磁密幅值；γM為PM對極氣隙磁動勢基波的空間初始相位角；ω為電角頻率。

由(1)式可得徑向力在α和β方向上的分量為

，(3)

式中：r為轉(zhuǎn)子外半徑；l為轉(zhuǎn)子鐵芯有效長度。

BPMSM定、轉(zhuǎn)子之間偏心位移如圖2所示。圖中，O′(α,β)為偏心轉(zhuǎn)子軸心的坐標；g0為BPMSM定、轉(zhuǎn)子之間的平均氣隙長度；R為定子的內(nèi)半徑。定、轉(zhuǎn)子之間的氣隙長度g(θ)為

圖2 轉(zhuǎn)子偏心位移

g(θ)=g0-g1=g0-(αcosθ+βsinθ)，

(4)

式中：g1為定、轉(zhuǎn)子之間的偏心氣隙長度；α和β分別為轉(zhuǎn)子沿α和β方向的徑向位移。

由于BPMSM在穩(wěn)定懸浮工況下運轉(zhuǎn)，定、轉(zhuǎn)子之間的偏心氣隙長度g1與平均氣隙長度g0相比較小，因此可以忽略，則氣隙長度倒數(shù)為

(5)

單位面積內(nèi)的氣隙磁導分布函數(shù)為

(6)

由BPMSM中PM對極轉(zhuǎn)矩繞組電流與轉(zhuǎn)子永磁體磁場共同建立的合成氣隙磁動勢的基波分量，以及PB對極懸浮力繞組建立的氣隙磁動勢的基波分量分別為

(7)

式中：FM，F(xiàn)B分別為PM對極和PB對極氣隙磁動勢基波幅值；γB為PB對極氣隙磁動勢基波的空間初始相位角。由兩套繞組共同產(chǎn)生的氣隙磁通密度分別為

(8)

從而可得BPMSM氣隙磁密的法向分量為

bn(θ,t)=bM(θ,t)+bB(θ,t) 。

(9)

假設均勻氣隙下PM對極和PB對極氣隙磁通密度幅值分別為

(10)

式中：NM，NB分別為轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組每相串聯(lián)有效匝數(shù)；IM，IB分別為轉(zhuǎn)矩繞組勵磁電流(包括轉(zhuǎn)子永磁體激勵的磁場等效至轉(zhuǎn)矩繞組中的電流部分)和懸浮力繞組電流幅值。

將(2)式和(8)式代入(3)式進行積分，可得α，β方向上轉(zhuǎn)子受到的徑向力?？紤]到徑向位移α和β，以及氣隙磁通密度幅值BM的數(shù)值較小，故忽略其平方項，可得

。(11)

轉(zhuǎn)矩繞組每相氣隙磁鏈值為

(12)

又有

ψM=LMIM，

(13)

式中：ΦM為每相氣隙磁通值；LM為轉(zhuǎn)矩繞組互感。則(11)式可以化簡為

(14)

由(14)式可知，BPMSM的徑向力由3部分組成：(1)不計偏心時，由轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁場與懸浮力繞組電流相互作用產(chǎn)生的可控徑向力(徑向力的主要組成部分)；(2)定、轉(zhuǎn)子偏心引起的單邊磁拉力；(3)由于氣隙磁密沿氣隙圓周在轉(zhuǎn)子表面切向分布不均而產(chǎn)生的徑向力。

3 仿真與分析

為了驗證所建徑向力模型的正確性和有效性，采用有限元方法進行仿真分析。有限元分析參數(shù)采用試驗樣機參數(shù)：定子外徑140 mm，定子內(nèi)徑77 mm，轉(zhuǎn)子外徑75 mm，永磁鐵厚度2 mm，定子槽數(shù)24，氣隙1 mm，鐵芯長度100 mm，懸浮力繞組匝數(shù)80，轉(zhuǎn)矩繞組匝數(shù)80，永磁鐵剩余磁感應強度1.2 T，矯頑力900 kA/m，轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)2，功率2 kW，電動機氣隙2 mm，36槽，電動機轉(zhuǎn)矩繞組電阻3.24 Ω，直軸和交軸電感0.012 H，轉(zhuǎn)動慣量0.015 8 kg·m2，懸浮力繞組極對數(shù)3，懸浮力繞組電阻2.32 Ω，輔助機械軸承氣隙0.5 mm。

轉(zhuǎn)矩繞組電流為額定值3 A，懸浮力繞組電流分別為1，3和5 A，且定、轉(zhuǎn)子在x軸方向偏心位移為α時，徑向力與懸浮力繞組電流的關(guān)系如圖3所示。

由圖3可知，徑向力的理論計算值直線的斜率均相同，即當定、轉(zhuǎn)子偏心的變化量相同時，徑向力的變化量也相同，說明當轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組中通入的電流大小一定時，由于機械軸承氣隙(最大可偏距離)遠小于電動機氣隙，徑向力與定、轉(zhuǎn)子偏心之間的非線性關(guān)系不明顯，可近似為線性關(guān)系。當定、轉(zhuǎn)子在x軸方向偏心時，x方向徑向力的變化要比y方向徑向力的變化顯著，說明x方向的偏心主要影響x方向的徑向力。當電流較小(磁路未嚴重飽和)時，徑向力的有限元計算值與理論值非常吻合，隨著磁路達到飽和，徑向力的有限元計算值雖然開始偏離理論值，但是兩者基本吻合，說明考慮定、轉(zhuǎn)子偏心位移的徑向力模型能夠較為準確地描述BPMSM的徑向力。

圖3 x方向偏心時徑向力與懸浮力繞組電流關(guān)系

4 結(jié)束語

在對BPMSM徑向力進行深入分析的基礎上，運用麥克斯韋張量法和磁路法，建立了一種較為精確的BPMSM徑向力數(shù)學模型。該模型充分考慮了定、轉(zhuǎn)子偏心位移，為BPMSM懸浮運行控制的研究和電動機本體設計提供了可靠的理論依據(jù)。利用有限元分析方法驗證了該模型的計算精度，為進一步深入研究BPMSM高精度的控制系統(tǒng)打下了基礎。