劉保國(guó), 孟華

(河南工業(yè)大學(xué)，鄭州 450000)

隨著機(jī)械工業(yè)的發(fā)展，對(duì)滾動(dòng)軸承的精度、性能、壽命和可靠性要求越來(lái)越高，其中對(duì)軸承動(dòng)態(tài)性能的研究尤為重要，為此，下文對(duì)軸承動(dòng)力學(xué)模型研究進(jìn)展進(jìn)行論述。

1 軸承動(dòng)力學(xué)模型研究

1.1 發(fā)展歷程

軸承力學(xué)模型經(jīng)歷靜力學(xué)分析模型、擬靜力學(xué)分析模型、動(dòng)力學(xué)分析模型3個(gè)發(fā)展階段。早期僅根據(jù)理想的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)關(guān)系建立靜力學(xué)分析模型，很難準(zhǔn)確預(yù)測(cè)和描述軸承運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。擬靜力學(xué)分析模型相對(duì)完善，可有效預(yù)測(cè)滾動(dòng)體轉(zhuǎn)速、軸承疲勞壽命、軸承變形和剛度等運(yùn)動(dòng)參數(shù)，可基本滿足工程需要，但不能分析軸承瞬態(tài)不穩(wěn)定現(xiàn)象，也不能完整描述軸承動(dòng)態(tài)性能。動(dòng)力學(xué)分析模型不僅可有效分析軸承的載荷和轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化時(shí)的工作狀態(tài)及滾動(dòng)體和保持架的穩(wěn)定性等，而且可更真實(shí)準(zhǔn)確地描述軸承的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，所以近些年動(dòng)力學(xué)分析方法的研究開(kāi)始得到重視。

高速軸承動(dòng)態(tài)性能分析始于20世紀(jì)60年代，文獻(xiàn)[1-2]最早對(duì)軸承擬靜力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行討論和分析，在傳統(tǒng)靜力學(xué)分析的基礎(chǔ)上提出套圈滾道控制理論，假設(shè)滾動(dòng)體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是純滾動(dòng)，無(wú)自旋運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在對(duì)高速轉(zhuǎn)動(dòng)下的軸承進(jìn)行受力分析時(shí)考慮陀螺力矩和離心率的作用，但模型中未考慮彈性潤(rùn)滑的作用，不能正確預(yù)測(cè)軸承的內(nèi)部滑動(dòng)。隨著彈流理論的發(fā)展，文獻(xiàn)[3]在擬靜力學(xué)模型的基礎(chǔ)上考慮潤(rùn)滑和慣性力的作用，建立軸承擬動(dòng)力學(xué)分析模型，可分析軸承的變形、滾動(dòng)體的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)速度等穩(wěn)定性參數(shù)，但仍不能分析軸承瞬時(shí)不穩(wěn)定性及時(shí)變參數(shù)的影響等動(dòng)態(tài)性能，故在此基礎(chǔ)上研究和探索軸承動(dòng)力學(xué)模型。文獻(xiàn)[4]最早建立4自由度球軸承動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)球軸承各組件間的相互作用力進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，隨后建立6自由度軸承保持架模型，開(kāi)創(chuàng)性地分析保持架與滾動(dòng)體的動(dòng)態(tài)變化，利用四階Runge-Kutta法計(jì)算滾動(dòng)體與保持架的瞬時(shí)位移、轉(zhuǎn)速及軸承的內(nèi)部滑動(dòng)等，但模型中未考慮油膜潤(rùn)滑和保持架的彈性問(wèn)題。文獻(xiàn)[5-6]考慮潤(rùn)滑狀態(tài)下軸承載荷變化及保持架上的滑移，建立3自由度軸承保持架動(dòng)力學(xué)模型，但由于當(dāng)時(shí)對(duì)彈流潤(rùn)滑理論的研究不夠成熟，模型有待完善。文獻(xiàn)[7-12]較全面地分析影響軸承動(dòng)態(tài)性能的各種因素，系統(tǒng)地研究滾動(dòng)體的運(yùn)動(dòng)和受力狀態(tài)，建立6自由度軸承動(dòng)力學(xué)模型，并分別建立軸承各零部件的運(yùn)動(dòng)微分方程，此模型適用于各類軸承，主要用于分析軸承在變速和變載時(shí)的瞬時(shí)動(dòng)態(tài)特性。

1.2 典型模型

文獻(xiàn)[11]將軸承-雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的中介軸承簡(jiǎn)化為彈簧和阻尼，利用傳遞矩陣法研究雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速振型和不平衡響應(yīng)問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]建立的軸承模型如圖1所示。圖中，e為偏心距；Fu為不平衡力；Nb為滾動(dòng)體個(gè)數(shù)；ωc為保持架轉(zhuǎn)速；t為時(shí)間；W為垂直方向上的恒定力。

圖1 軸承模型

此模型假設(shè)滾動(dòng)體等距分布在軸承內(nèi)部進(jìn)行純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，不考慮潤(rùn)滑油膜的作用。通過(guò)分析得

Fx=K∑(xcosθi+ysinθi-γo)1.5+cosθi，

(1)

Fy=K∑(xcosθi+ysinθi-γo)1.5+sinθi，

(2)

式中：Fx為x向分量的復(fù)合彈簧力；Fy為y向分量的復(fù)合彈簧力；K為Hertz接觸剛度；θi為第i個(gè)滾動(dòng)體處的角位置；γo為軸承徑向游隙。

以此建立軸承-轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)的二階非線性微分方程為

cosθi=W+Fucos(ωt)，

(3)

sinθi=Fusin(ωt)，

(4)

式中：m為由軸承支承的轉(zhuǎn)子及軸承內(nèi)圈質(zhì)量；C為阻尼；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

圖2 軸承簡(jiǎn)化模型

此模型假設(shè)滾動(dòng)體的質(zhì)心在保持架軌道中心線上滑動(dòng)，將其簡(jiǎn)化為一個(gè)黏性滑動(dòng)阻尼，將滾動(dòng)體與保持架間的相互作用簡(jiǎn)化為接觸表面的法向力和滑動(dòng)摩擦力作用的阻尼彈簧系統(tǒng)。

軸承的滑動(dòng)摩擦力為

(5)

(6)

力平衡方程為

(7)

力矩平衡方程為

(8)

此模型可用于軸承流體潤(rùn)滑分析，但對(duì)軸承內(nèi)部各零部件間的潤(rùn)滑及作用力分析較少，模型相對(duì)較簡(jiǎn)單。文獻(xiàn)[7-16]介紹3自由度圓柱滾子軸承模型建立方法，并建立6自由度和3自由度的滾子、套圈、保持架的碰磨模型，提出建立軸承動(dòng)力學(xué)模型的一般方法和步驟。文獻(xiàn)[17]提出6自由度深溝球軸承動(dòng)力學(xué)模型，模型中考慮Hertz接觸變形、彈性流體動(dòng)力學(xué)及軸承徑向游隙等因素，還考慮軸承缺陷的影響，如內(nèi)、外圈的波紋度和局部缺陷等。文獻(xiàn)[18-19]提出一種建立含徑向游隙參數(shù)的深溝球軸承支承的平面多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的一般方法，模型中對(duì)深溝球軸承引入非線性動(dòng)態(tài)力，考慮球與溝道之間接觸剛度及接觸體的幾何變形和材料變形的影響，并將建立的深溝球軸承模型應(yīng)用于曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中驗(yàn)證，為軸承動(dòng)力學(xué)模型的研究提供有益參考。

1.3 缺陷軸承動(dòng)力學(xué)模型

軸承在制造和使用過(guò)程中難免會(huì)出現(xiàn)各種缺陷，有時(shí)雖不影響使用，但在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)和力學(xué)性能產(chǎn)生一定影響。文獻(xiàn)[20]分析軸承打滑引起的接觸表面損傷及有關(guān)軸承零部件間相互作用的動(dòng)力學(xué)特性，建立軸承動(dòng)力學(xué)模型。文獻(xiàn)[21]建立軸承-轉(zhuǎn)子多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，模型中考慮軸承各零部件間的接觸剛度，同時(shí)研究缺陷軸承的振動(dòng)頻率問(wèn)題，對(duì)含徑向游隙及內(nèi)、外圈局部缺陷的軸承進(jìn)行建模，并利用模型對(duì)缺陷軸承進(jìn)行分析和試驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)[22]研究存在局部表面缺陷的軸承的載荷分布、油膜特性、結(jié)構(gòu)彈性及軸承零部件間的滑動(dòng)摩擦等問(wèn)題，建立軸承的3自由度耦合模型，用于局部缺陷對(duì)軸承產(chǎn)生激勵(lì)響應(yīng)的分析。文獻(xiàn)[23]建立內(nèi)、外圈表面存在多個(gè)表面缺陷的深溝球軸承動(dòng)力學(xué)模型，采用Runge-Kutta法求解耦合運(yùn)動(dòng)控制方程，分析含表面缺陷的保持架、套圈和球的瞬時(shí)振動(dòng)頻率，該模型在分析軸承缺陷振動(dòng)時(shí)得到廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[24]改進(jìn)球軸承的二維振動(dòng)模型，考慮離心載荷、徑向游隙及非線性Hertz接觸問(wèn)題，采用Newmark時(shí)域積分方法對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程求解，研究表面缺陷和局部變形對(duì)軸承的影響。文獻(xiàn)[25]為得到缺陷軸承的振動(dòng)響應(yīng)，提出一種可用于診斷軸承多種缺陷的3自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，此模型中假設(shè)軸承的油膜潤(rùn)滑作用是線性的，可用于診斷內(nèi)、外圈及滾動(dòng)體上的局部缺陷。文獻(xiàn)[25]建立的軸承動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型如圖3所示。圖中，KOR，KOF，KIF，KIR，COF和CIF分別為軸承各零部件間的剛度和阻尼；MIR和MOR分別為內(nèi)、外圈質(zhì)量；MB為滾動(dòng)體質(zhì)量。

圖3 軸承動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型

2 軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的研究及應(yīng)用

軸承不再作為單獨(dú)的研究個(gè)體，而是同轉(zhuǎn)子之間的相互作用共同研究，即可更真實(shí)可靠地描述軸承性能。軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)又分為軸承-單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和軸承-多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在軸承-單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中軸承主要起支承作用，而在軸承-多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中軸承還起連接作用，比如航空發(fā)動(dòng)機(jī)的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的低壓轉(zhuǎn)子與高壓轉(zhuǎn)子間是由軸承連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。

2.1軸承-單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

文獻(xiàn)[26]對(duì)深溝球軸承支承的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，并對(duì)比分析支承系統(tǒng)分別為剛性支承和柔性支承時(shí)對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)性能的影響，并且考慮非線性Hertz接觸力、球的離心載荷、角接觸力及軸向力對(duì)模型的影響。文獻(xiàn)[27]提出一種用于研究軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的軸承動(dòng)力學(xué)模型，主要針對(duì)軸承的內(nèi)部游隙和波紋度而建立，重點(diǎn)討論波紋度、徑向游隙和預(yù)緊力對(duì)保持架速度的影響。文獻(xiàn)[28-29]在之前研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮轉(zhuǎn)子不平衡力對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，將軸承單元簡(jiǎn)化為質(zhì)量-彈簧模型，滾動(dòng)體和內(nèi)、外圈間的接觸被認(rèn)為是非線性的彈性接觸，其剛度運(yùn)用Hertz接觸變形理論得到，建立軸承支承的高速轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析模型。在建立動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，假設(shè)軸承的塑性變形小到可忽略，僅考慮Hertz理論下的彈性變形的影響，假設(shè)保持架的角速度為常量，內(nèi)、外圈及轉(zhuǎn)子在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，軸承各零部件及轉(zhuǎn)子均為剛體，文獻(xiàn)[28-29]建立的軸承質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型如圖4所示。圖中，R為外圈半徑；r為內(nèi)圈半徑；min和mout分別為內(nèi)、外圈質(zhì)量；rin和rout分別為內(nèi)、外圈質(zhì)量中心位置；ρj為滾動(dòng)體徑向位置；θj為滾動(dòng)體角位置；θx為滾動(dòng)體與軸承內(nèi)圈接觸點(diǎn)的角位置；χj為第j個(gè)滾動(dòng)體中心與軸承內(nèi)圈中心的偏角；(kin)j和(kout)j分別為滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈的剛度。

圖4 軸承的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

波紋度是影響軸承性能的重要因素，文獻(xiàn)[28-29]建立的軸承內(nèi)、外圈波紋度動(dòng)力學(xué)模型如圖5所示。圖中，∏0為波紋度的原始振幅；∏p為波紋度的最大振幅；j為轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)的滾動(dòng)體個(gè)數(shù)；ωc為內(nèi)圈角速度；ωy為滾動(dòng)體公轉(zhuǎn)角速度。

圖5 軸承內(nèi)、外圈波紋度動(dòng)力學(xué)模型

軸承內(nèi)、外圈波紋度的振幅為

(9)

式中：L為弧長(zhǎng)；λ為波長(zhǎng)。

2.2軸承-雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

作為連接航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中內(nèi)、外轉(zhuǎn)子的中介軸承，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及受力與普通支承軸承有所不同。文獻(xiàn)[30-32]在軸承動(dòng)力學(xué)和轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)上考慮中介軸承處的耦合特性，建立雙轉(zhuǎn)子Hertz軸承耦合系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，用Newmark-β積分法和Newton-Raphson迭代法對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)微分方程求解，分析轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、中介軸承游隙和滾子個(gè)數(shù)及支承軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[33-40]深入研究航空發(fā)動(dòng)機(jī)的雙轉(zhuǎn)子模型，把軸承作為航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的重要零部件，建立其動(dòng)力學(xué)模型，充分考慮軸承游隙、滾動(dòng)體與滾道的非線性Hertz接觸力及變?nèi)嵝哉駝?dòng)等因素，對(duì)軸承-雙轉(zhuǎn)子耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題研究作出貢獻(xiàn)，并且建立軸承-轉(zhuǎn)子-機(jī)匣間耦合作用的動(dòng)力學(xué)模型，在航空發(fā)動(dòng)機(jī)軸承動(dòng)力學(xué)模型方面取得一系列成果。文獻(xiàn)[41]建立一個(gè)4自由度航空發(fā)動(dòng)機(jī)主軸雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型，該系統(tǒng)中雙轉(zhuǎn)子由2套角接觸球軸承和2套深溝球軸承支承，在建立模型時(shí)考慮軸承的接觸力、非線性位移和彈性變形等因素，并將其與文獻(xiàn)[11]建立的3自由度模型及文獻(xiàn)[42]建立的5自由度動(dòng)力學(xué)模型相比，闡述軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的自由度對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)模型及系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真結(jié)果的影響。文獻(xiàn)[43]在研究球軸承支承的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性響應(yīng)時(shí)，研究帶浮環(huán)的擠壓油膜阻尼器的球軸承動(dòng)力學(xué)模型，此模型假設(shè)內(nèi)圈固定于軸上，外圈與擠壓油膜阻尼器或帶浮環(huán)的擠壓油膜阻尼器相連，并對(duì)基于這2種油膜阻尼模型建立的不同的軸承-轉(zhuǎn)子模型進(jìn)行對(duì)比分析。

3 軸承動(dòng)力學(xué)分析軟件

利用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)對(duì)軸承動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析研究非常有效。仿真技術(shù)用于軸承性能分析始于20世紀(jì)50年代末，至今已取得很大進(jìn)展。

目前在三維軸承零部件間相互作用力瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析方面取得重大進(jìn)展，F(xiàn)AG, NSK和SKF等均為公司內(nèi)部的軸承開(kāi)發(fā)和設(shè)計(jì)提供驗(yàn)證的程序包，如BEAST三維分析軟件[44]是SKF開(kāi)發(fā)的軸承動(dòng)力學(xué)模擬軟件，可分析保持架上的力及其運(yùn)動(dòng)、滾子歪斜與球上的摩阻力等，并用實(shí)例驗(yàn)證軟件的可靠性。SKF又與PELAB合作開(kāi)發(fā)BEAST軸承仿真軟件包，采用每個(gè)滾動(dòng)體都有6個(gè)自由度的全三維模型，該軟件包可進(jìn)行大多數(shù)類型軸承的動(dòng)力學(xué)仿真試驗(yàn)，使軸承動(dòng)力學(xué)仿真設(shè)計(jì)成為現(xiàn)實(shí)[45-46]。文獻(xiàn)[47]參考SKF美國(guó)技術(shù)中心SHABERTH的分析模型，建立油潤(rùn)滑球軸承動(dòng)力學(xué)分析模型，利用VB和Fortran 77 語(yǔ)言開(kāi)發(fā)高速陶瓷球軸承的動(dòng)力學(xué)分析程序，可計(jì)算軸承的變形、剛度、壽命、發(fā)熱和摩擦力矩等動(dòng)態(tài)性能參數(shù)。文獻(xiàn)[15]使用Fortran 90編寫(xiě)軸承動(dòng)力學(xué)分析軟件包BA的程序架構(gòu)，運(yùn)用此軟件包可得到滾子的運(yùn)動(dòng)速度，滾子與內(nèi)、外圈間的接觸載荷與保持架質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡等，但是分析結(jié)果建立在很多假設(shè)的基礎(chǔ)上，所以對(duì)滾子的受力和瞬態(tài)運(yùn)動(dòng)分析存在很大誤差。

4 存在的問(wèn)題和發(fā)展趨勢(shì)

研究軸承動(dòng)力學(xué)必須考慮彈性流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，早期由于彈性流體動(dòng)力學(xué)理論研究不夠成熟，制約軸承動(dòng)力學(xué)的研究和發(fā)展。文獻(xiàn)[48]簡(jiǎn)化彈性流體動(dòng)力學(xué)模型，使模型更緊湊和簡(jiǎn)便，計(jì)算速度較快，可廣泛應(yīng)用于含彈流問(wèn)題的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)中，將對(duì)軸承動(dòng)力學(xué)研究產(chǎn)生較大影響。

隨著旋轉(zhuǎn)裝備朝高速、重載方向發(fā)展，軸承與高速、重載轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合振動(dòng)、非線性動(dòng)力學(xué)、故障診斷都是今后值得重點(diǎn)關(guān)注的研究課題。

軸承動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果目前與實(shí)際差距較大，國(guó)內(nèi)的仿真分析軟件主要針對(duì)擬靜態(tài)分析模型，可參考一些較成熟的仿真軟件開(kāi)發(fā)經(jīng)驗(yàn)，利用智能優(yōu)化計(jì)算理論、并行設(shè)計(jì)及虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)等當(dāng)代前沿技術(shù)，使仿真結(jié)果更精確。