岳之光　鐘宏志

摘要：針對(duì)薄板非線性迭代計(jì)算量很大的問(wèn)題，依據(jù)von Kárman薄板非線性理論構(gòu)造能量泛函，并用數(shù)值積分和數(shù)值微分進(jìn)行離散，得到非線性方程組，從而利用求積元法（Quadrature Element Method，QEM）求解薄板的中等撓度的彎曲和非線性屈曲問(wèn)題，得到可信的結(jié)果.算例表明：在處理薄板幾何非線性問(wèn)題上，QEM計(jì)算效率很高，應(yīng)用潛力很大.

關(guān)鍵詞：von Kárman薄板理論； 幾何非線性分析； 求積元法； 后屈曲

中圖分類號(hào)： TB115.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

0 引 言

不同于傾向于使用大量低階單元的有限元法，求積元法[1]（Quadrature Element Method，QEM）是可以使用少量高階單元解決問(wèn)題的數(shù)值工具.QEM針對(duì)用變分形式描述的問(wèn)題進(jìn)行必要的單元?jiǎng)澐?，在每個(gè)單元上利用定義在相同節(jié)點(diǎn)集上的數(shù)值微分和數(shù)值積分對(duì)泛函的積分式進(jìn)行離散近似，然后利用變分原理得到代數(shù)方程組進(jìn)行求解.

QEM與有限元法的差別在于如何離散能量泛函.有限元法使用形函數(shù)描述單元位移場(chǎng)并在計(jì)算積分點(diǎn)處計(jì)算位移的導(dǎo)數(shù)；QEM則直接利用數(shù)值積分和微分獲得積分點(diǎn)處位移的導(dǎo)數(shù).常規(guī)的位移型有限元模型對(duì)問(wèn)題進(jìn)行物理離散，而QEM則進(jìn)行數(shù)學(xué)離散.除此之外，在單元組集、邊界條件施加和方程組求解等過(guò)程中，QEM與有限元法基本相同.若使用二節(jié)點(diǎn)數(shù)值積分，構(gòu)造出的求積元薄板單元與MZC薄板單元[2-3]幾乎相同.

數(shù)學(xué)離散過(guò)程比物理離散更加直接，而且可以利用高階的數(shù)值積分構(gòu)造多節(jié)點(diǎn)高階單元，這也是QEM效率較高的原因.QEM不需要形函數(shù)，使單元構(gòu)造過(guò)程更靈活.數(shù)值積分與數(shù)值微分有很多種，在構(gòu)造求積元單元時(shí)可以任意選擇，甚至在一個(gè)單元內(nèi)可以根據(jù)需要采取多種不同的數(shù)值微分和數(shù)值積分.求積元的靈活性還體現(xiàn)在能夠引入十分復(fù)雜的幾何變換.構(gòu)造的薄板求積元單元還有一個(gè)性質(zhì)就是隨著使用的數(shù)值積分階數(shù)的升高，單元的協(xié)調(diào)性越來(lái)越好，不像有限元中協(xié)調(diào)單元那樣性能偏硬.當(dāng)階數(shù)較低時(shí)求積元單元是非協(xié)調(diào)的，而高階的求積元單元可被視為協(xié)調(diào)元.協(xié)調(diào)元的優(yōu)點(diǎn)是能夠保證收斂.一旦QEM所得到的結(jié)果收斂，那必然滿足最小勢(shì)能原理的真實(shí)解，這也說(shuō)明QEM可靠.因?yàn)镼EM高效、靈活、可靠，所以其應(yīng)用價(jià)值很高.在許多線性問(wèn)題[1，4-8]以及一維非線性問(wèn)題[9-10]中QEM都體現(xiàn)出很高的計(jì)算效率.

應(yīng)該指出，QEM的優(yōu)勢(shì)并不是任何時(shí)候都能發(fā)揮出來(lái)的，其高效、靈活和可靠的前提是所解決的問(wèn)題允許使用高階單元；但是對(duì)于連續(xù)性較差的問(wèn)題，QEM相比常規(guī)有限元法的優(yōu)勢(shì)就會(huì)減弱，此時(shí)有必要用大量低階小單元離散結(jié)構(gòu).薄板的幾何非線性問(wèn)題的位移場(chǎng)連續(xù)性很好，且需要進(jìn)行非線性迭代，計(jì)算量較大，非常適宜使用QEM進(jìn)行計(jì)算以提高效率.

摘要：針對(duì)薄板非線性迭代計(jì)算量很大的問(wèn)題，依據(jù)von Kárman薄板非線性理論構(gòu)造能量泛函，并用數(shù)值積分和數(shù)值微分進(jìn)行離散，得到非線性方程組，從而利用求積元法（Quadrature Element Method，QEM）求解薄板的中等撓度的彎曲和非線性屈曲問(wèn)題，得到可信的結(jié)果.算例表明：在處理薄板幾何非線性問(wèn)題上，QEM計(jì)算效率很高，應(yīng)用潛力很大.

關(guān)鍵詞：von Kárman薄板理論； 幾何非線性分析； 求積元法； 后屈曲

中圖分類號(hào)： TB115.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

0 引 言

不同于傾向于使用大量低階單元的有限元法，求積元法[1]（Quadrature Element Method，QEM）是可以使用少量高階單元解決問(wèn)題的數(shù)值工具.QEM針對(duì)用變分形式描述的問(wèn)題進(jìn)行必要的單元?jiǎng)澐郑诿總€(gè)單元上利用定義在相同節(jié)點(diǎn)集上的數(shù)值微分和數(shù)值積分對(duì)泛函的積分式進(jìn)行離散近似，然后利用變分原理得到代數(shù)方程組進(jìn)行求解.

QEM與有限元法的差別在于如何離散能量泛函.有限元法使用形函數(shù)描述單元位移場(chǎng)并在計(jì)算積分點(diǎn)處計(jì)算位移的導(dǎo)數(shù)；QEM則直接利用數(shù)值積分和微分獲得積分點(diǎn)處位移的導(dǎo)數(shù).常規(guī)的位移型有限元模型對(duì)問(wèn)題進(jìn)行物理離散，而QEM則進(jìn)行數(shù)學(xué)離散.除此之外，在單元組集、邊界條件施加和方程組求解等過(guò)程中，QEM與有限元法基本相同.若使用二節(jié)點(diǎn)數(shù)值積分，構(gòu)造出的求積元薄板單元與MZC薄板單元[2-3]幾乎相同.

數(shù)學(xué)離散過(guò)程比物理離散更加直接，而且可以利用高階的數(shù)值積分構(gòu)造多節(jié)點(diǎn)高階單元，這也是QEM效率較高的原因.QEM不需要形函數(shù)，使單元構(gòu)造過(guò)程更靈活.數(shù)值積分與數(shù)值微分有很多種，在構(gòu)造求積元單元時(shí)可以任意選擇，甚至在一個(gè)單元內(nèi)可以根據(jù)需要采取多種不同的數(shù)值微分和數(shù)值積分.求積元的靈活性還體現(xiàn)在能夠引入十分復(fù)雜的幾何變換.構(gòu)造的薄板求積元單元還有一個(gè)性質(zhì)就是隨著使用的數(shù)值積分階數(shù)的升高，單元的協(xié)調(diào)性越來(lái)越好，不像有限元中協(xié)調(diào)單元那樣性能偏硬.當(dāng)階數(shù)較低時(shí)求積元單元是非協(xié)調(diào)的，而高階的求積元單元可被視為協(xié)調(diào)元.協(xié)調(diào)元的優(yōu)點(diǎn)是能夠保證收斂.一旦QEM所得到的結(jié)果收斂，那必然滿足最小勢(shì)能原理的真實(shí)解，這也說(shuō)明QEM可靠.因?yàn)镼EM高效、靈活、可靠，所以其應(yīng)用價(jià)值很高.在許多線性問(wèn)題[1，4-8]以及一維非線性問(wèn)題[9-10]中QEM都體現(xiàn)出很高的計(jì)算效率.

應(yīng)該指出，QEM的優(yōu)勢(shì)并不是任何時(shí)候都能發(fā)揮出來(lái)的，其高效、靈活和可靠的前提是所解決的問(wèn)題允許使用高階單元；但是對(duì)于連續(xù)性較差的問(wèn)題，QEM相比常規(guī)有限元法的優(yōu)勢(shì)就會(huì)減弱，此時(shí)有必要用大量低階小單元離散結(jié)構(gòu).薄板的幾何非線性問(wèn)題的位移場(chǎng)連續(xù)性很好，且需要進(jìn)行非線性迭代，計(jì)算量較大，非常適宜使用QEM進(jìn)行計(jì)算以提高效率.

摘要：針對(duì)薄板非線性迭代計(jì)算量很大的問(wèn)題，依據(jù)von Kárman薄板非線性理論構(gòu)造能量泛函，并用數(shù)值積分和數(shù)值微分進(jìn)行離散，得到非線性方程組，從而利用求積元法（Quadrature Element Method，QEM）求解薄板的中等撓度的彎曲和非線性屈曲問(wèn)題，得到可信的結(jié)果.算例表明：在處理薄板幾何非線性問(wèn)題上，QEM計(jì)算效率很高，應(yīng)用潛力很大.

關(guān)鍵詞：von Kárman薄板理論； 幾何非線性分析； 求積元法； 后屈曲

中圖分類號(hào)： TB115.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

0 引 言

不同于傾向于使用大量低階單元的有限元法，求積元法[1]（Quadrature Element Method，QEM）是可以使用少量高階單元解決問(wèn)題的數(shù)值工具.QEM針對(duì)用變分形式描述的問(wèn)題進(jìn)行必要的單元?jiǎng)澐?，在每個(gè)單元上利用定義在相同節(jié)點(diǎn)集上的數(shù)值微分和數(shù)值積分對(duì)泛函的積分式進(jìn)行離散近似，然后利用變分原理得到代數(shù)方程組進(jìn)行求解.

QEM與有限元法的差別在于如何離散能量泛函.有限元法使用形函數(shù)描述單元位移場(chǎng)并在計(jì)算積分點(diǎn)處計(jì)算位移的導(dǎo)數(shù)；QEM則直接利用數(shù)值積分和微分獲得積分點(diǎn)處位移的導(dǎo)數(shù).常規(guī)的位移型有限元模型對(duì)問(wèn)題進(jìn)行物理離散，而QEM則進(jìn)行數(shù)學(xué)離散.除此之外，在單元組集、邊界條件施加和方程組求解等過(guò)程中，QEM與有限元法基本相同.若使用二節(jié)點(diǎn)數(shù)值積分，構(gòu)造出的求積元薄板單元與MZC薄板單元[2-3]幾乎相同.

數(shù)學(xué)離散過(guò)程比物理離散更加直接，而且可以利用高階的數(shù)值積分構(gòu)造多節(jié)點(diǎn)高階單元，這也是QEM效率較高的原因.QEM不需要形函數(shù)，使單元構(gòu)造過(guò)程更靈活.數(shù)值積分與數(shù)值微分有很多種，在構(gòu)造求積元單元時(shí)可以任意選擇，甚至在一個(gè)單元內(nèi)可以根據(jù)需要采取多種不同的數(shù)值微分和數(shù)值積分.求積元的靈活性還體現(xiàn)在能夠引入十分復(fù)雜的幾何變換.構(gòu)造的薄板求積元單元還有一個(gè)性質(zhì)就是隨著使用的數(shù)值積分階數(shù)的升高，單元的協(xié)調(diào)性越來(lái)越好，不像有限元中協(xié)調(diào)單元那樣性能偏硬.當(dāng)階數(shù)較低時(shí)求積元單元是非協(xié)調(diào)的，而高階的求積元單元可被視為協(xié)調(diào)元.協(xié)調(diào)元的優(yōu)點(diǎn)是能夠保證收斂.一旦QEM所得到的結(jié)果收斂，那必然滿足最小勢(shì)能原理的真實(shí)解，這也說(shuō)明QEM可靠.因?yàn)镼EM高效、靈活、可靠，所以其應(yīng)用價(jià)值很高.在許多線性問(wèn)題[1，4-8]以及一維非線性問(wèn)題[9-10]中QEM都體現(xiàn)出很高的計(jì)算效率.

應(yīng)該指出，QEM的優(yōu)勢(shì)并不是任何時(shí)候都能發(fā)揮出來(lái)的，其高效、靈活和可靠的前提是所解決的問(wèn)題允許使用高階單元；但是對(duì)于連續(xù)性較差的問(wèn)題，QEM相比常規(guī)有限元法的優(yōu)勢(shì)就會(huì)減弱，此時(shí)有必要用大量低階小單元離散結(jié)構(gòu).薄板的幾何非線性問(wèn)題的位移場(chǎng)連續(xù)性很好，且需要進(jìn)行非線性迭代，計(jì)算量較大，非常適宜使用QEM進(jìn)行計(jì)算以提高效率.