黃麗瓊

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛726000)

離散正奇異切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性

黃麗瓊

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛726000)

通過(guò)分析離散正奇異切換系統(tǒng)解的結(jié)構(gòu)和解的正性要求，運(yùn)用一個(gè)輔助的正標(biāo)準(zhǔn)切換系統(tǒng)，給出離散正奇異切換系統(tǒng)在任意切換信號(hào)下是穩(wěn)定的兩個(gè)充分條件。并給出數(shù)值算例驗(yàn)證結(jié)論的可行性。

正系統(tǒng)；奇異系統(tǒng)；切換系統(tǒng)；穩(wěn)定性

切換系統(tǒng)是混合系統(tǒng)的一種，切換系統(tǒng)是由一系列的動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)和一種切換策略構(gòu)成，該策略協(xié)調(diào)子系統(tǒng)之間的運(yùn)行。離散正奇異切換系統(tǒng)是指切換系統(tǒng)中的每一個(gè)子系統(tǒng)都是正系統(tǒng)?，F(xiàn)實(shí)生活中有很多動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)都是這類奇異切換系統(tǒng)，例如，通信系統(tǒng)，化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)，電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。1999—2006年，Liberzon和Morsc等眾多學(xué)者對(duì)一般奇異切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可穩(wěn)定性進(jìn)行了大量的研究[1-8]。2006—2010年，Robert Cimochowski對(duì)離散正標(biāo)準(zhǔn)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究[9-11]，2011年，Ettore Fornasini對(duì)離散正標(biāo)準(zhǔn)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可穩(wěn)定性進(jìn)行了系統(tǒng)的分析和整理。Cimochowski對(duì)離散正標(biāo)準(zhǔn)時(shí)滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究[12]。本文主要討論了離散正奇異切換系統(tǒng)在任意切換下的穩(wěn)定性問(wèn)題。

本文用到的記號(hào)基本都是標(biāo)準(zhǔn)的。具體地，Rn為n維實(shí)向量空間，為n維非負(fù)實(shí)向量空間，C為復(fù)數(shù)集，N為正整數(shù)集，N0為非負(fù)整數(shù)，AT為矩陣的轉(zhuǎn)置，rank(A)為矩陣A的秩，A-1為矩陣A的逆矩陣，AD為矩陣A的Drazin逆,即滿足下列3個(gè)式子：1)ADAAD=AD，2)ADA=AAD，3)Ak+1AD=Ak，k≥ind(A)，A＞0表示矩陣A是正定的，A＜0表示矩陣A是負(fù)定的，表示矩陣A是正的，即A的每一個(gè)元素都是正的。

1 定義

考慮離散正奇異切換系統(tǒng)

其中x(k)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)，映射δ：N0→M是任意切換信號(hào)，M={1，2，…，m}是一個(gè)指標(biāo)集，設(shè)系統(tǒng)(Ei，Ai)為系統(tǒng)(1)的第i個(gè)子系統(tǒng)，δ(k)∈i，i∈M表示第i個(gè)子系統(tǒng)激活，rank(Ei)=r＜n，i∈M。

定義1[10]如果存在一系列λi∈C，i∈1，2，…，m，使得det(λiEi-Ai)≠0，則稱系統(tǒng)(1)是正則的。

考慮離散正奇異系統(tǒng)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]知，如果系統(tǒng)(2)是正則的，則存在兩個(gè)非奇異矩陣M，N，使得

其中撰為冪零的,J為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。

如果系統(tǒng)(2)是正則的,則系統(tǒng)(2)的解能夠唯一表示為

定義2[13]如果對(duì)每一個(gè)可容許初始狀態(tài)，系統(tǒng)(2)的狀態(tài)軌跡都是非負(fù)的,即，則稱系統(tǒng)(2)是正系統(tǒng)。

定義3[12]奇異切換系統(tǒng)(1)是正系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(1)的所有子系統(tǒng)都是正系統(tǒng)。

定義4[9]奇異系統(tǒng)(2)是漸近穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)(3)式滿足條件。

定義5[13]如果系統(tǒng)(2)是正則的且，則系統(tǒng)(2)是正系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)。

2 引理與定理及其證明

假設(shè)1離散正奇異切換線性系統(tǒng)(1)滿足。

引理1假設(shè)1成立，則離散正奇異切換系統(tǒng)(1)的解可由一個(gè)可容許的初始狀態(tài)x(0)唯一給出

證明在考慮切換系統(tǒng)(1)的唯一解時(shí)，由于一個(gè)狀態(tài)跳躍會(huì)出現(xiàn)在切換瞬間，導(dǎo)致在上一個(gè)切換下系統(tǒng)最后所到達(dá)的狀態(tài)或許不是下一個(gè)子系統(tǒng)激活狀態(tài)下的可容許初始條件，因此，首先考慮一個(gè)在k步內(nèi)沒(méi)有切換的系統(tǒng)，給出一個(gè)可容許初始狀態(tài)x(0)，則這個(gè)系統(tǒng)在k步的解為，則x(k)必須是第k+1步處子系統(tǒng)的可容許初始狀態(tài)，即

而(5)中所給出的條件和假設(shè)1是等價(jià)的，所以假設(shè)1成立，系統(tǒng)(1)的解可由(4)式唯一給出。

定理1設(shè)假設(shè)1對(duì)系統(tǒng)(1)成立，如果存在m個(gè)向量滿足條件，則稱系統(tǒng)(1)在任意切換下是穩(wěn)定的。

證明假設(shè)1對(duì)系統(tǒng)(1)成立，x(0)是的一個(gè)可容許初始條件，則由(4)式得到φ(k，0)滿足遞歸方程，則系統(tǒng)(1)在假設(shè)1下能轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

切換系統(tǒng)(6)是穩(wěn)定的，則切換系統(tǒng)(1)就是穩(wěn)定的，定義，則系統(tǒng)(6)可寫(xiě)為，選擇李亞普諾夫函數(shù)

由于V(x，x(k))滿足任意的切換率，

所以對(duì)(7)式的特殊配置也是成立的。

則得到V(x，x(k))≥0且為遞減的，因此切換線性系統(tǒng)(6)是穩(wěn)定的，即原奇異切換線性系統(tǒng)(1)是穩(wěn)定的。

引理2[14]若系統(tǒng)(1)是正系統(tǒng)，任意固定一個(gè)切換信號(hào)σ，xa(·)，xb(·)是系統(tǒng)(1)的解，xa(0)，xb(0)是系統(tǒng)(1)的初始狀態(tài)，如果，則xb(·)。

引理3[14]設(shè)假設(shè)1成立，如果存在m個(gè)向量滿足

證明假設(shè)條件(8)成立，對(duì)任意的i，j∈M，存在一個(gè)足夠小的mij＞0，則

則(10)式是成立的。

定理2設(shè)假設(shè)1對(duì)系統(tǒng)(1)成立，如果存在m個(gè)向量滿足條件(8)，則稱系統(tǒng)(1)在任意切換下是穩(wěn)定的。

證明由于假設(shè)1對(duì)系統(tǒng)(1)成立，如果存在m個(gè)正向量滿足條件(8)，任意給定一個(gè)切換σ：N0→M，則對(duì)任意給定的一個(gè)常數(shù)ε＞0，總存在一個(gè)常數(shù)v＞0使得||vλi||＜ε，(i∈M)，選擇， i∈M根據(jù)引理3則存在一個(gè)0＜u＜1，使得

其中xvλ是系統(tǒng)(1)在初始狀態(tài)vλ下的解。

設(shè)初始條件x(0)滿足||x(0)||＜σ=v min{τ1，τ2，…，τn}，τi是λ的第i個(gè)元素，則

其中xx(0)是系統(tǒng)(1)在初始狀態(tài)x(0)下的一個(gè)解，因此得到

注定理1與定理2中的條件為相互補(bǔ)充的條件，不能被相互替換，可參看例題。

例1考慮具有如式(11)參數(shù)的正奇異切換系統(tǒng)

存在兩個(gè)向量λ1=[98.3405,81.9584,76.3041]，λ2=[100.8940,78.7394,83.2246]使得定理2中的條件，?i，j∈M成立，通過(guò)定理2可知正奇異切換系統(tǒng)是穩(wěn)定的。然而不存在向量λ1，λ2使得定理1中的條件， j∈M，成立。

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（責(zé)任編輯：李堆淑）

The Stability of the Discrete Positive Singular Switched System

HUANG Li-qiong
(College of Mathematics and Computer Application,Shangluo University,Shangluo 726000,Shaanxi)

Through analysis of the solution structure and the positivity of the positive singular switched system,an auxiliary positive standard switched system is adopted to explore two sufficient conditions for stability under arbitrary switching.And a numerical example is given to illustrate the validity of the proposed conditions.

positive system;positive singular system;switched system;stability

O231

：A

：1674-0033（2014）06-0016-03

10.13440/j.slxy.1674-0033.2014.06.006

2014-05-10

商洛學(xué)院科研基金項(xiàng)目(14SKY008)

黃麗瓊，女，陜西洛南人，碩士，助教