畢 雁，張新華

（煙臺(tái)職業(yè)學(xué)院， 山東 煙臺(tái) 264000）

數(shù)學(xué)建模一般認(rèn)知過程及教學(xué)策略

畢 雁，張新華

（煙臺(tái)職業(yè)學(xué)院， 山東 煙臺(tái) 264000）

為了適應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需求，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化及綜合應(yīng)用能力，必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué).從學(xué)生數(shù)學(xué)建模認(rèn)知過程的研究入手，對數(shù)學(xué)建模一般認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行了探討，并提出了相應(yīng)的教學(xué)策略，以期不斷提高數(shù)學(xué)建模的教學(xué)效果.

數(shù)學(xué)建模；一般認(rèn)知過程；教學(xué)策略

從數(shù)學(xué)發(fā)展史可知，數(shù)學(xué)在社會(huì)、自然科學(xué)及現(xiàn)實(shí)生活等各個(gè)領(lǐng)域均有十分重要的應(yīng)用，也成為推動(dòng)數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的強(qiáng)大推動(dòng)力，而采用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行模型構(gòu)建，以解決實(shí)踐問題的數(shù)學(xué)建模法恰恰是充分發(fā)揮數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用功能的主要手段之一，在數(shù)學(xué)建模方法的應(yīng)用過程中，不僅可以使人深深體會(huì)到數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用價(jià)值，逐步培養(yǎng)起完善的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，樹立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀，還可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、方法有效解決實(shí)際問題的能力，以便更好地為數(shù)學(xué)教學(xué)、科研工作及日常生活服務(wù).

1 數(shù)學(xué)建模一般認(rèn)知過程分析

1.1 數(shù)學(xué)建模的一般過程

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模行為具有相同的一般過程.具體而言，包括如下方面：

1.1.1 實(shí)際問題情境信息

所謂的“情境信息”，主要包括學(xué)生數(shù)學(xué)建模測試中所遇到的實(shí)際建模問題的信息，包括學(xué)生對所遇及感覺到的實(shí)際情境所進(jìn)行的觀察、抽象、分析及提煉的原始實(shí)際問題信息.

1.1.2 問題情境分析，合理假設(shè)以簡化問題

學(xué)生在對實(shí)際問題情境的信息進(jìn)行感知的過程中，對實(shí)際問題的背景、脈絡(luò)進(jìn)行梳理，正確理解實(shí)際問題的條件、關(guān)鍵術(shù)語及狀態(tài)，對實(shí)際問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)及相關(guān)關(guān)系進(jìn)行解析，建立初步的假設(shè)，以便對變量個(gè)數(shù)進(jìn)行控制，從而對實(shí)際問題進(jìn)行簡化.

1.1.3 數(shù)學(xué)語言表述問題

數(shù)學(xué)語言表述問題是從對實(shí)際問題情境的解析及假設(shè)簡化所得的，就形式而言，同傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題相似，但是，其條件及結(jié)論表述仍存在一定的模糊性，是采用數(shù)學(xué)文字對實(shí)際問題情境進(jìn)行表達(dá).

1.1.4 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

對數(shù)學(xué)文字所表述的問題進(jìn)行深入分析，盡可能數(shù)量化、符號化，對問題內(nèi)在結(jié)構(gòu)及關(guān)系進(jìn)行分析，并利用數(shù)學(xué)思想及方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，對問題條件及結(jié)構(gòu)的關(guān)系進(jìn)行科學(xué)表述.在這一過程需要采用附加假設(shè)及語言轉(zhuǎn)換等操作，需對原有假設(shè)根據(jù)數(shù)學(xué)模型的相關(guān)要求進(jìn)行科學(xué)地調(diào)整.

1.1.5 數(shù)學(xué)模型

該數(shù)學(xué)模型指的是一種經(jīng)過符號化與圖形化了的數(shù)學(xué)問題，具有確定的目標(biāo)、要求及條件，是對實(shí)際問題建立假設(shè)、逐步明確條件的結(jié)果，是對數(shù)學(xué)語言表述問題明確而又近似的表述，也是對實(shí)際問題明確而又近似的表述.

1.1.6 模型求解

數(shù)學(xué)模型是一種基于數(shù)學(xué)形式的表達(dá)，模型顯化需要在系統(tǒng)內(nèi)進(jìn)行邏輯性分析，并采用科學(xué)的數(shù)學(xué)思想及方法進(jìn)行求解.

1.1.7 簡化問題后的理論結(jié)果

對模型進(jìn)行求解，所得出的結(jié)論即對實(shí)際問題簡化之后的理論結(jié)果，并不是原有實(shí)際問題情境的精確性結(jié)論，采用該模型對原有實(shí)際問題進(jìn)行解釋，可能會(huì)有偏差.

1.1.8 對理論結(jié)果的分析、檢驗(yàn)及解釋

經(jīng)簡化之后的問題，其理論結(jié)果是否同實(shí)際問題相吻合，能否科學(xué)解釋所需解決實(shí)際問題，是否對實(shí)際問題均適用，這還需要對理論結(jié)果進(jìn)行情境分析、檢驗(yàn)及評估.經(jīng)檢驗(yàn)與評估，若確認(rèn)可以解釋原有實(shí)際問題，則該數(shù)學(xué)建模行為就此結(jié)束，若確認(rèn)結(jié)果并不滿意，則需要返回建模操作其他，重新進(jìn)行操作.具體返回哪一操作環(huán)節(jié)，需要根據(jù)所采取的建模監(jiān)控策略進(jìn)行判斷.

1.2 數(shù)學(xué)建模的一般認(rèn)知過程

本文以數(shù)學(xué)建模中學(xué)生的行為表現(xiàn)為基礎(chǔ)，對建模行為進(jìn)行了深入分析，從認(rèn)知角度進(jìn)行解析，對數(shù)學(xué)建模一般認(rèn)知過程進(jìn)行了初步提煉，如圖1所示.為了明確各個(gè)環(huán)節(jié)的作用，以數(shù)學(xué)建模的一般過程作為基礎(chǔ)，并對其操作及作用方式進(jìn)行明確.

圖1 數(shù)學(xué)建模一般認(rèn)知過程模式圖

當(dāng)學(xué)生面臨著實(shí)際問題或情境時(shí)，會(huì)啟動(dòng)相應(yīng)的知覺機(jī)制，并對實(shí)際問題情境信息進(jìn)行全方位感知.實(shí)際問題情境信息直接決定了建模實(shí)際問題的結(jié)構(gòu)及其類型，并對實(shí)際問題的表征及加工進(jìn)行了規(guī)定；知覺啟動(dòng)使得學(xué)生對問題情境信息進(jìn)行全面感知，從而增強(qiáng)對于有關(guān)信息的敏感性，而這一過程離不開學(xué)生認(rèn)知體系的支撐.特別是實(shí)際問題圖式中的類型及模式作為變量，對影響情境信息的可覺察性進(jìn)行調(diào)節(jié)，并對無關(guān)信息進(jìn)行剔除，手機(jī)、比較、整合相關(guān)信息，從而獲取實(shí)際問題表征；問題表征主要依賴學(xué)生的知識及經(jīng)驗(yàn)，在形成問題表征時(shí)，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否存在足夠數(shù)量的問題類型及其知識貯存方式，對于學(xué)生逐步深入地理解實(shí)際問題、并形成科學(xué)的問題表征具有十分重要的意義；當(dāng)獲取問題表征之后，學(xué)生進(jìn)行判斷，若不滿意，需要重新回到知覺啟動(dòng)環(huán)節(jié)，重新獲取情境信息，并同學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行交互，對實(shí)際問題的內(nèi)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及類型進(jìn)行深入理解，從而形成連續(xù)的概念轉(zhuǎn)換，逐步逼近表征.若滿意，則認(rèn)知結(jié)構(gòu)將被激活，并形成建模策略的選擇、識別、對比與生成；此時(shí)，學(xué)生將所感知的實(shí)際問題情境及認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)在信息予以對比，若相互匹配，則作為該認(rèn)知系統(tǒng)的實(shí)例，并形成和其原認(rèn)知系統(tǒng)建模問題相對應(yīng)的模型，若不匹配，需進(jìn)行聯(lián)想，激發(fā)相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，形成新的匹配樣例，形成建模策略；獲取模型后，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的相互作用之下，生產(chǎn)模型求解思路，并對模型進(jìn)行求解；以學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，采用觀察、對比等方法，采用模型及求解對實(shí)際問題予以分析、檢驗(yàn)和解釋，判斷是否同個(gè)人預(yù)期相適應(yīng)，若適應(yīng)，則建模認(rèn)知過程結(jié)束，若不適應(yīng)，需要返回其他認(rèn)知環(huán)節(jié)進(jìn)行自我監(jiān)控，并重新開展認(rèn)知操作.

2 數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略分析

本文以數(shù)學(xué)建模一般認(rèn)知過程為基礎(chǔ)，對兩種數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略進(jìn)行了分析，一種是試?yán)虒W(xué)、變式教學(xué)、開放式教學(xué)相結(jié)合策略；另一種是一般性解題思維、數(shù)學(xué)建模與建模方法相結(jié)合策略，以下具體進(jìn)行分析.

2.1 試?yán)虒W(xué)、變式練習(xí)、開放式訓(xùn)練相互結(jié)合

2.1.1 試?yán)虒W(xué)

試?yán)虒W(xué)的意義在于減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，將學(xué)習(xí)重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)建模原理、方法以及結(jié)構(gòu)特征等，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)建模問題圖式的認(rèn)知.與書面例題教學(xué)相比，試?yán)虒W(xué)的注重點(diǎn)在于數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略的運(yùn)用，而不是簡單的書面解答，故更容易被學(xué)生所接受.

2.1.2 變式練習(xí)

不同的數(shù)學(xué)建模問題需要不同的方法來解決.通過數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)換、組合和更新等變式練習(xí)，增加數(shù)學(xué)建模遷移、實(shí)際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型以及建模能力等學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而有效提高學(xué)生對數(shù)學(xué)建模問題圖式認(rèn)知能力和表征能力.

2.1.3 開放式訓(xùn)練

結(jié)構(gòu)不良是數(shù)學(xué)建模的特征之一，在具體的數(shù)學(xué)建模問題中要設(shè)定多個(gè)假設(shè)、多個(gè)解決方法、多個(gè)情境分析以及多個(gè)結(jié)果分析，這就決定了建模問題圖式應(yīng)采取開放式訓(xùn)練的教學(xué)策略，幫助學(xué)生在建模過程中形成靈活性高、系統(tǒng)性強(qiáng)的圖式認(rèn)知.

試?yán)虒W(xué)是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的基礎(chǔ)，變式練習(xí)建模過程中問題圖式的鞏固，開放式訓(xùn)練則是試?yán)虒W(xué)和變式練習(xí)的進(jìn)一步拓展.上述三者在建模教學(xué)中是相輔相成、循序漸進(jìn)的關(guān)系.因此，在實(shí)際的數(shù)學(xué)建模問題圖式教學(xué)中，只有充分運(yùn)用三種方法才能發(fā)揮出數(shù)學(xué)建模教學(xué)的最佳效果.

2.2 一般性解題思維、數(shù)學(xué)建模與建模方法相互結(jié)合

2.2.1 一般性解題思維策略

一般性解題思維策略適用于任何一種解決問題的思維活動(dòng)中，其過程如下：（1）解題時(shí)需要對題意進(jìn)行準(zhǔn)確地理解，切忌匆忙進(jìn)行解答；（2）從整體結(jié)構(gòu)上對題意進(jìn)行把握，并對復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行梳理，對深層次地結(jié)構(gòu)關(guān)系進(jìn)行挖掘；（3）對題目的整體意義進(jìn)行把握，并以此為基礎(chǔ)對解題思路及方向進(jìn)行明確；（4） 對已知條件及情境信息進(jìn)行充分利用；（5）正向推理與反向推理相結(jié)合；（6）轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)思維定勢，開展發(fā)散性思維；（7）解題之后需要對解題思路進(jìn)行總結(jié)，充分發(fā)揮一般性解題思維策略對于解決實(shí)際問題的指導(dǎo)性作用.實(shí)踐顯示：僅僅解決量的積累，并不一定會(huì)提高學(xué)生解決問題能力的“質(zhì)”，優(yōu)秀和中等學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題能力方面的差異性，并非存在于基礎(chǔ)知識方面的差異，而是問題解決策略方面的差異.

2.2.2 數(shù)學(xué)建模策略

數(shù)學(xué)建模的策略有許多，可以建模過程的不同階段為依據(jù)，對建模策略進(jìn)行分類，包括表征、假設(shè)、構(gòu)建、求解、檢驗(yàn)、調(diào)整、自我監(jiān)控等策略.而且，可將上述不同階段的策略進(jìn)行進(jìn)一步細(xì)化，成為更加具體的策略.數(shù)學(xué)建模不同的策略特點(diǎn)也不同，教學(xué)過程中應(yīng)根據(jù)各策略的特點(diǎn)組織和實(shí)施各類策略.如，利用表征策略進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生采用合適的表征形式，注重暴露自身的思維，以外在形式對建模問題進(jìn)行表征，有意識地使學(xué)生暴露于思維活動(dòng)中，培養(yǎng)其表征習(xí)慣，反復(fù)進(jìn)行表征練習(xí)，并采用各種形式進(jìn)行相同問題的表征，同時(shí)，注重學(xué)生間的相互交流.

2.2.3 建模方法策略

建模方法指的是先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，并研究模型，尋求解決問題的方法.應(yīng)采用如下策略：（1）注重多層面建模方法，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模方法的各環(huán)節(jié)及步驟.對不同步驟的特點(diǎn)、作用及相互間的協(xié)同作用機(jī)制進(jìn)行分析，并對問題分析、假設(shè)、模型建立、求解、驗(yàn)證及評價(jià)等環(huán)節(jié)從方法層面予以研究；（2） 注重將建模方法逐層分化與相互貫通進(jìn)行結(jié)合，以建模方法體系為依據(jù)，對建模方法進(jìn)行逐層分化，并形成具體方法，通過學(xué)習(xí)實(shí)際問題，對建模方法進(jìn)行掌握，經(jīng)融會(huì)貫通對數(shù)學(xué)建模方法體系進(jìn)行全面把握；（3） 采用遞進(jìn)的方法順序，選取的問題難易程度，也應(yīng)由簡至繁、由易至難地對問題進(jìn)行梯級設(shè)計(jì)；（4）采用建模方法進(jìn)行多維表征及多角度分析，以更全面地反映其綜合性質(zhì)，采用多角度分析可使所隱含的潛在關(guān)鍵性因素逐步凸顯，有助于學(xué)生掌握并遷移至新的情境中來，以更好地提高學(xué)生的認(rèn)知靈活性；（5）采用建模方法和情境問題相結(jié)合的方式，一方面，將某建模方法運(yùn)用于不同的問題情境案例中，以增強(qiáng)學(xué)生對其的理解與遷移，另一方面，所選取的問題均能夠采用多種建模方法予以解決，并體現(xiàn)了各種建模方法的表征.

3 結(jié)束語

綜上所述，數(shù)學(xué)建模在解決問題方面具有特殊性，它不同于一般的數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用解決方法.數(shù)學(xué)建模一般認(rèn)知過程的開放性更強(qiáng)、創(chuàng)造性更好且思維性更靈活，因此，一般理論、數(shù)學(xué)應(yīng)用理論以及數(shù)學(xué)問題理論不能代替數(shù)學(xué)建模來解決相應(yīng)的問題，其結(jié)果更不能運(yùn)用到數(shù)學(xué)建模情形中.此外，在數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)過程中，要將高層次教學(xué)思維和教學(xué)策略融入到實(shí)際課程和研究，以順應(yīng)時(shí)代教育改革發(fā)展的步伐，逐步提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、解決問題能力以及綜合素養(yǎng).

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〔2〕程素萍.問題解決中的元認(rèn)知研究綜述[J].教育理論與實(shí)踐,2010(3):16-19.

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1673-260X（2014）08-0004-03