殷紅燕

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北武漢430074)

一類非線性系統(tǒng)的周期擾動(dòng)Hopf分支

殷紅燕

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北武漢430074)

研究了小周期擾動(dòng)對(duì)一類存在Hopf分支的非線性系統(tǒng)的影響.特別是應(yīng)用平均法討論了擾動(dòng)頻率與Hopf分支固有頻率在共振及二階次調(diào)和共振的情形周期解分支的存在性.表明了在某些參數(shù)區(qū)域內(nèi),系統(tǒng)存在調(diào)和解分支和次調(diào)和解分支,并進(jìn)一步討論了二階次調(diào)和分支周期解的穩(wěn)定性.

Hopf分支;平均法;調(diào)和解分支;次調(diào)和解分支;穩(wěn)定性

1 引言

周期擾動(dòng)分支所考慮的問題是:當(dāng)一個(gè)非線性動(dòng)力系統(tǒng)正在經(jīng)歷著某種分支狀態(tài)時(shí),給它加上小周期擾動(dòng),研究其變化情況.其中周期擾動(dòng)Hopf分支尤為引起人們的興趣.文獻(xiàn)[1-3]主要應(yīng)用多重尺度法研究了周期擾動(dòng)對(duì)一個(gè)分支系統(tǒng)的影響,文獻(xiàn)[4]用更替法對(duì)此類問題進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[5]使用規(guī)范型及平均法研究了周期擾動(dòng)Hopf分支問題的首次分支與二次分支現(xiàn)象.平均法是研究含小參數(shù)周期系統(tǒng)解的性質(zhì)的一種比較方便簡捷的方法,此方法不僅用于研究常微分方程的周期擾動(dòng)Hopf分支,還可用來研究滯后型泛函微分方程,相關(guān)結(jié)果可見文獻(xiàn)[6-7].本文主要使用平均法對(duì)常微分方程中的一類非線性系統(tǒng)的周期擾動(dòng)Hopf分支情況進(jìn)行研究,詳細(xì)給出了分支周期解存在的參數(shù)區(qū)域,并表明在不同的參數(shù)范圍內(nèi)存在的周期解的個(gè)數(shù)是不同的.

所研究的系統(tǒng)為:

和

這里μ是分支參數(shù),ε,a,b是實(shí)的參數(shù),并且0<ε?1,進(jìn)一步,引進(jìn)一個(gè)去諧參數(shù)η,它由等式?=ω(1?η)所定義.

當(dāng)ε=0時(shí),系統(tǒng)(1)和(2)為:

當(dāng)μ=0時(shí),系統(tǒng)(3)以(0,0)為唯一的平衡點(diǎn),平衡點(diǎn)是中心型的,且容易驗(yàn)證此平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的,當(dāng)μ>0時(shí),系統(tǒng)(3)以(0,0)為不穩(wěn)定焦點(diǎn).因此,當(dāng)ε=0時(shí),系統(tǒng)(1)和(2)在μ=0時(shí)存在Hopf分支,且分支發(fā)生在μ>0方向(上臨界),并且分支周期解是穩(wěn)定的.

在第二節(jié)中,研究系統(tǒng)(1)在ε/=0的情形.主要討論周期擾動(dòng)頻率?接近于臨界固有Hopf分支頻率ω0的情形.表明在某些參數(shù)范圍內(nèi),系統(tǒng)(1)存在調(diào)和解分支,并且隨著參數(shù)的變化,分支周期解的個(gè)數(shù)也會(huì)發(fā)生變化.

在第三節(jié)中,討論系統(tǒng)(2)在ε/=0的情形.主要討論周期擾動(dòng)頻率?接近于臨界固有Hopf分支頻率ω0在二階次調(diào)和共振的情形.表明在某些參數(shù)范圍內(nèi),系統(tǒng)(2)存在次調(diào)和解分支,并且討論了次調(diào)和解的穩(wěn)定性.

2 調(diào)和解分支

首先,對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行尺度變換,令

則系統(tǒng)(1)化為:

再引入新的時(shí)間變量τ=?t,做變換

下面討論k=1的情形(共振情形),忽略O(shè)(ε2)項(xiàng),對(duì)(5)式進(jìn)行積分平均得到:

由平均定理[8],系統(tǒng)(6)的非平凡常數(shù)解對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(4)的周期解.在系統(tǒng)(6)中令解得r所滿足的方程為:

1.當(dāng)μ2?32≤0時(shí),對(duì)任意b2>0,方程只有一個(gè)正實(shí)根(包含有三重根情形).

2.當(dāng)μ2?32>0,μ>0時(shí),若b2∈C0,則方程(7)恰有三個(gè)正實(shí)根;若b2∈?C,則方程(7)恰有兩個(gè)正實(shí)根(其中有一個(gè)是二重根);若b2∈CC,則方程(7)只有一個(gè)正實(shí)根.這里C={x∈R|0

這樣就得到了:

定理2.1若系統(tǒng)(1)的參數(shù)μ>0,且那么當(dāng)ε充分小時(shí)系統(tǒng)(1)存在調(diào)和解分支,而且調(diào)和解的個(gè)數(shù)隨著參數(shù)b的變化而不同.

3 次調(diào)和解分支和穩(wěn)定性

對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行尺度變換,令

則系統(tǒng)(2)化為:

由方程(10)可看出其正根的分布情況:

1.當(dāng)時(shí),方程(10)有兩個(gè)正實(shí)根,從方程(10)中可求得這兩個(gè)正實(shí)根為:

2.當(dāng)時(shí),方程(10)只有一個(gè)正根,取(11)式中符號(hào)為正的.

下面來考慮非平凡解的穩(wěn)定性.令r=r0+ν1,?=?0+ν2,得到關(guān)于非平凡解的線性變分

方程為:

設(shè)方程(12)有形如exp(ρετ/ω)的解,那么ρ所滿足的特征方程為:

容易看出,當(dāng)條件P(1)成立時(shí),系統(tǒng)(9)的兩個(gè)非平凡解中,

是穩(wěn)定的,而

是不穩(wěn)定的.當(dāng)條件P(2)成立時(shí),若a>0,則系統(tǒng)(9)唯一的非平凡解為此解是穩(wěn)定的;若a<0,則系統(tǒng)(9)唯一的非平凡解為此解是不穩(wěn)定的.于是得到如下結(jié)論:

定理3.1若系統(tǒng)(2)的參數(shù)μ>0,且μ=O(ε),η=O(ε),那么當(dāng)ε充分小時(shí)系統(tǒng)(2)存在二階次調(diào)和解.且當(dāng)條件P(1)成立時(shí),系統(tǒng)(2)存在兩個(gè)次調(diào)和解,其中一個(gè)為穩(wěn)定的,一個(gè)為不穩(wěn)定的.當(dāng)條件P(2)成立時(shí),若a>0,則系統(tǒng)(2)存在唯一的穩(wěn)定的次調(diào)和解;若a<0,則系統(tǒng)(2)存在唯一的不穩(wěn)定的次調(diào)和解.

參考文獻(xiàn)

[1]Rosenblat S,Cohen D S.Periodically perturbed bifurcation.I.Simple bifurcation[J].Stud.Appl.Math., 1980,63:1-23.

[2]Rosenblat S,Cohen D S.Periodically perturbed bifurcation.II.Hopf bifurcation[J].Stud.Appl.Math., 1981,64:143-175.

[3]Kath W L.Resonance in periodically perturbed Hopf bifurcation[J].Stud.Appl.Math.,1981,65:95-112.

[4]Bajaj A K.Resonant parametric perturbations of the Hopf bifurcation[J].J.Math.Anal.Appl.,1986, 115:214-224.

[5]Namachchivaya N S,Ariaratnam S T.Periodically perturbed Hopf bifurcation[J].Siam.J.Appl.Math., 1987,47:15-39.

[6]殷紅燕,陳作清,胡智全.周期擾動(dòng)對(duì)具有限時(shí)滯Lienard方程的Hopf分支的影響[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,44(3):361-364.

[7]呂堂紅,周林華.一類物價(jià)瑞利模型在小周期擾動(dòng)下的Hopf分支[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012, 15(4):20-24.

[8]韓茂安.動(dòng)力系統(tǒng)的周期解與分支理論[M].北京:科學(xué)出版社,2002.

Periodically perturbed Hopf bifurcation of a kind of nonlinear systems

Yin Hongyan
(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities, Wuhan430074,China)

The in fl uence of small periodic perturbations on a kind of nonlinear systems exhibiting Hopf bifurcation is studied.In particular,we discuss the existence of bifurcating periodic solutions in the case that the excitation frequency and the critical natural frequency of Hopf bifurcation is resonance and subharmonic resonance.In this work,the ideas related method of averaging.It is shown that in some parameter regions the systems exhibit harmonic solution bifurcation and subharmonic solution bifurcation.Furthermore,the stability of subharmonic solutions is discussed.

Hopf bifurcation,method of averaging,harmonic solution bifurcation, subharmonic solution bifurcation,stability

O175

A

1008-5513(2014)03-0240-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.004

2014-02-28.

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(CZQ13016).

殷紅燕(1978-),碩士,講師,研究方向：微分方程定性理論.

2010 MSC:34C23