達(dá)買力汗·胡爾曼哈吉， 郭清偉

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

Bézier曲線的擴(kuò)展及其應(yīng)用

達(dá)買力汗·胡爾曼哈吉， 郭清偉

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

文章提出帶形狀參數(shù)λ的n＋1（n≥2）次多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù)，建立了帶形狀參數(shù)的分段多項(xiàng)式曲線生成法，分析了生成曲線及其調(diào)配函數(shù)的性質(zhì)，并給出了擴(kuò)展曲線G2連續(xù)拼接的條件。通過研究發(fā)現(xiàn)，在控制多邊形不變的情況下，可以通過改變形狀參數(shù)值調(diào)整曲線的形狀，隨著形狀參數(shù)值的增加，帶形狀參數(shù)的Bézier曲線將接近于控制多邊形，隨著曲線階數(shù)的升高，形狀參數(shù)的取值范圍將擴(kuò)大。實(shí)例表明，該方法應(yīng)用于曲線曲面設(shè)計(jì)是有效的。

形狀參數(shù)；調(diào)配函數(shù)；λ－Bézier曲線；曲線拼接

0 引 言

曲線曲面表示方法是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)研究的重要內(nèi)容，而基函數(shù)的選擇對曲線曲面的性質(zhì)有著重要的影響。Bézier曲線曲面以Bernstein多項(xiàng)式為基函數(shù)，在CAGD和CG中有著廣泛的應(yīng)用。但對于給定的控制點(diǎn)，Bézier曲線是唯一確定的。

如何在控制頂點(diǎn)不變的條件下，根據(jù)需要靈活調(diào)控曲線形狀是曲線曲面設(shè)計(jì)中經(jīng)常遇到的問題。有理Bézier曲線方法利用權(quán)因子可以調(diào)控有理Bézier曲線曲面的形狀，但權(quán)因子對曲線曲面形狀的影響效果并不明顯，而且對其求導(dǎo)、求積運(yùn)算較復(fù)雜。為了使Bézier具有可調(diào)性，人們開始想辦法對Bézier曲線進(jìn)行推廣，取得了一系列豐碩的成果。

文獻(xiàn)［1－2］給出了二次和五次Bézier曲線的擴(kuò)展；文獻(xiàn)［3］提出了五次Bézier曲線的一種新的擴(kuò)展，并且以五次Bézier擴(kuò)展曲線為例，通過解系數(shù)多項(xiàng)式組的方法，在理論上證明了曲線擴(kuò)展種類的問題；文獻(xiàn)［4－5］用不同的方法構(gòu)造了含有雙參數(shù)的七次和四次多項(xiàng)式基函數(shù)，該基函數(shù)是Bernstein基函數(shù)的擴(kuò)展，并基于該基函數(shù)定義了帶形狀參數(shù)的多項(xiàng)式曲線；文獻(xiàn)［6－7］對n次Bézier曲線進(jìn)行擴(kuò)展，擴(kuò)展后的曲線具有1個參數(shù)；文獻(xiàn)［8］基于Bézier曲線升階思想，對n次Bézier曲線進(jìn)行擴(kuò)展，擴(kuò)展后的曲線具有n個參數(shù)，當(dāng)λi＝i／（n＋1）時，擴(kuò)展曲線退化成Bézier曲線；文獻(xiàn)［9］對n次Bézier曲線進(jìn)行了推廣，擴(kuò)展后的曲線具有n個可調(diào)參數(shù)，其中λ1和λn的取值范圍在［－n，1］，其他形狀參數(shù)的取值范圍更廣，使曲線靈活性更強(qiáng)。

以上所提到的Bézier曲線擴(kuò)展的共同特點(diǎn)是它們比普通Bézier曲線的次數(shù)升高1次，并且都帶1個或多個形狀參數(shù)。

本文以文獻(xiàn)［3］所給五次Bézier曲線的擴(kuò)展為基礎(chǔ)，對一般n次Bézier曲線進(jìn)行了與文獻(xiàn)［7－9］不同的擴(kuò)展，使文獻(xiàn)［1－3］的工作成為本文的特例。本文首先得到了n＋1次帶有1個參數(shù)λ的多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù)，該組基具有與Bernstein基類似的性質(zhì)，如非負(fù)性、權(quán)性、單峰性及線性無關(guān)性等；然后利用所給的調(diào)配函數(shù)構(gòu)造帶有形狀參數(shù)λ的曲線，稱為n＋1次λ－Bézier曲線，該曲線具有與n次Bézier曲線類似的性質(zhì)，當(dāng)λ＝0時，曲線退化為n次Bézier曲線；最后討論了2段λ－Bézier曲線G2連續(xù)拼接的條件，并簡要介紹了張量積λ－Bézier曲面及其性質(zhì)。

1 帶形狀參數(shù)的調(diào)配函數(shù)及其性質(zhì)

定義1 當(dāng)n≥2時，帶形狀參數(shù)λ的調(diào)配函數(shù)定義有2種情況：當(dāng)n為偶數(shù)時，其定義為（1）式；當(dāng)n為奇數(shù)時，其定義為（2）式。

下面給出以上調(diào)配函數(shù)的基本性質(zhì)。

性質(zhì) 1 非 負(fù) 性。bi，n（t，λ）≥0，i＝0，1，…，n。

性質(zhì)3 對稱 性。bi，n（t，λ）＝bn－i，n（1－t，λ），i＝0，…，n。

性質(zhì)4 當(dāng)λ＝0時，bi，n（t，λ）退化成 Bernstein基函數(shù)。

圖1所示為參數(shù)λ＝－5時，七次帶形狀參數(shù)的調(diào)配函數(shù)圖形。

圖1 七次帶形狀參數(shù)λ＝－5的調(diào)配函數(shù)

2 帶形狀參數(shù)的Bézier曲線及其性質(zhì)

定義2 給定n＋1個控制頂點(diǎn)pi，i＝0，1，…，n，對t∈［0，1］，定義多項(xiàng)式曲線段為：

稱（3）式為帶有參數(shù) 的Bézier曲線，簡稱λ－Bézier曲線。顯然，當(dāng)λ＝0時，n＋1次λ－Bézier曲線退化為n次Bézier曲線，通過調(diào)整形狀參數(shù)λ可以改變曲線的形狀。

從上述調(diào)配函數(shù)的性質(zhì)，可以得到曲線（3）式具有7種性質(zhì)，即性質(zhì)5～性質(zhì)11。

性質(zhì)5 端點(diǎn)性質(zhì)。

當(dāng)n，m≥4時，有

端點(diǎn)性質(zhì)說明曲線在首末端點(diǎn)處分別與控制多邊形的首末邊相切。

性質(zhì)6 凸包性。對于任何t∈［0，1］，λ－Bézier曲線B（t；λ）必落在由其特征多邊形頂點(diǎn)張成的凸包內(nèi)。

性質(zhì)7 對稱性。以P0P1…Pn為控制多邊形的λ－Bézier曲線和以PnPn－1…P0為控制多邊形的λ－Bézier曲線是相同的，只是頂向相反。因?yàn)楦鶕?jù)調(diào)配函數(shù)的對稱性質(zhì)，可得：

性質(zhì)8 幾何不變性和仿射不變性。曲線依賴于控制多邊形，而與坐標(biāo)系的方向與位置無關(guān)，即曲線形狀在坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進(jìn)行縮放或剪切等仿射變換后，所對應(yīng)的新曲線是相同仿射變換后的曲線。

性質(zhì)9 逼近性。當(dāng)參數(shù)λ增大時，相應(yīng)的曲線更加逼近其控制多邊形，突破了n次Bézier曲線對其控制多邊形的逼近。

性質(zhì)10 變差縮減性。文獻(xiàn)［2］中給出了詳細(xì)證明。

性質(zhì)11 保凸性。由性質(zhì)10可知，當(dāng)控制多邊形為凸時，平面上任一直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)不超過2，因?yàn)橹本€與控制多邊形的交點(diǎn)個數(shù)最多為2。

3 λ－Bézier曲線的連續(xù)拼接

設(shè)有2條λ－Bézier曲線，分別為：

其中，p0p1…pn和q0q1…qm分別為2條曲線特征多邊形的頂點(diǎn)。

定理1 當(dāng)n，m≥4時，上述2條λ－Bézier曲線要達(dá)到G2連續(xù)拼接，需要滿足下列條件：

其中，α＞0，β為常數(shù)。

證明 若2條λ－Bézier曲線要拼接成G2連續(xù)組合曲線，應(yīng)滿足如下Beta約束關(guān)系［10］：

因?yàn)锽1（1；λ1）＝pn，B2（0；λ2）＝q0，因此，pn＝q0，B2′（0；λ2）＝αB1′（1；λ1），α＞0。

根據(jù)（5）式、（8）式和（9）式，可得：

B2″（0；λ2）＝βB1′（1；λ1）＋α2B1″（1；λ1）。根據(jù)（6）～（9）式，可得：

當(dāng)λ1＝1，λ2＝－1，α＝2，β＝1時，2條λ－Bézier曲線G2連續(xù)拼接情形如圖2所示。

圖2 2條λ－Bézier曲線G2連續(xù)拼接情形

4 曲線的應(yīng)用

當(dāng)形狀參數(shù)λ＝－4，－2，－1，0，1時，圖3給出了對稱多邊形組成的五次λ－Bézier曲線的閉的花瓣圖形（曲線從內(nèi)到外，λ取值從小到大）。

當(dāng)λ＝－6，－3，－1，0，1時，圖4給出了六次λ－Bézier曲線的花瓶圖形。

圖3 五次λ－Bézier曲線的花瓣圖形

圖4 六次λ－Bézier曲線的花瓶圖形

本文方法可以生成n次Bézier曲線附近的不同曲線。隨著形狀參數(shù)取值的改變，可以調(diào)整曲線的形狀，而且當(dāng)拼接的2條曲線次數(shù)相同時，如果2條曲線的形狀參數(shù)取值相同，這時參數(shù)的取值只影響曲線的形狀，而不改變曲線拼接的G1連續(xù)性，但是文獻(xiàn)［7］所給的曲線沒有該特性。

5 結(jié)束語

本文給出了一個調(diào)配函數(shù)，由給出的調(diào)配函數(shù)對Bézier曲線進(jìn)行了擴(kuò)展，可以用這些調(diào)配函數(shù)對曲線進(jìn)行局部控制。當(dāng)調(diào)配函數(shù)的形狀參數(shù)取0時，擴(kuò)展曲線就是經(jīng)典的Bézier曲線。該擴(kuò)展曲線的性質(zhì)與Bézier曲線的性質(zhì)類似，如端點(diǎn)性質(zhì)、對稱性、凸包性、幾何不變性等。

［1］韓旭里，劉圣軍.二次Bézier曲線的擴(kuò)展［J］.中南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，34（2）：214－217.

［2］吳曉勤.帶形狀參數(shù)的Bézier曲線［J］.中國圖象圖形學(xué)報(bào)，2006，11（2）：269－274.

［3］姜岳道，植 物.Bézier曲線的擴(kuò)展種類［J］.內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，26（4）：378－381.

［4］植 物，姜岳道，白根柱.六次Bézier曲線的新擴(kuò)展［J］.內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，27（2）：140－141.

［5］杭后俊，余 靜，李汪根.三次Bézier曲線的一種雙參數(shù)擴(kuò)展及應(yīng)用［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46（31）：178－180.

［6］劉 植.Bézier曲線的擴(kuò)展［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，27（8）：976－979.

［7］程黃和，曾曉明.帶形狀參數(shù)的Bézier曲線［J］.廈門大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，45（3）：320－322.

［8］李光云.帶多個形狀參數(shù)的Bézier曲線［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版，2010：37（4）：401－405.

［9］Han Xi’an，Ma Yichen，Huang Xili.A novel generalization of Bézier curve and surface［J］.Computational and Applied Mathematics，2008，217：180－193.

An extension of Bézier curve and its application

Damailihan Huermanhaji， GUO Qing－wei
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

A class of blending function of degreen＋1（n≥2）with shape parameterλis presented in this paper.Based on the blending function，a method of generating piecewise polynomial curves with a shape parameter is given.The properties of the curves and the blending functions are analyzed，and the condition ofG2continuity of extension curve is discussed.It is found that with the control polygon of the constructed curve unchanged，the shape of curve can be adjusted by changing the shape parameter value.With the increase of the shape parameter value，the Bézier curves with shape parameter approximate to the control polygon.With the elevation of the degree of curve，the feasible range of the shape parameter value will be extended.Examples illustrate that this method of constructing curves and surfaces is useful in CAGD.

shape parameter；blending function；λ－Bézier curve；curve matching

TP391.4

A

1003－5060（2014）06－0764－05

10.3969／j.issn.1003－5060.2014.06.025

2013－06－07；

2013－08－14

安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目（2011AJZR0071）

達(dá)買力汗·胡爾曼哈吉（1986－），女，哈薩克族，新疆阿勒泰人，合肥工業(yè)大學(xué)碩士生；

郭清偉（1968－），男，安徽濉溪人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 呂 杰）