呂文華，韓慧霞

概率統(tǒng)計(jì)是高校理工科專業(yè)學(xué)生的一門基礎(chǔ)課程，而條件分布是概率論中一個(gè)重要的概念，是研究變量之間相依關(guān)系的一個(gè)有力工具，在工程計(jì)算、金融保險(xiǎn)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，也是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。因此，如何使學(xué)生深刻理解條件數(shù)學(xué)分布的概念、熟練掌握其計(jì)算方法是概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的一個(gè)重要問(wèn)題。

1 由簡(jiǎn)單實(shí)例引入對(duì)問(wèn)題的探討

在條件分布的教學(xué)中，常通過(guò)對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單例子的分析指出條件分布的重要性，并使學(xué)生明確在已知Y＝y(tǒng)的條件下，X的條件分布與X的無(wú)條件分布是不同的。

例1 考慮一大群人，從其中隨機(jī)抽取一個(gè)，分別以X和Y記其身高和體重，則X和Y都是隨機(jī)變量，各自都有一定的概率分布。如限制1.8≤X≤1.9，在此條件下去求體重Y的條件分布，這就意味著從這一大群人中，把身高在1.8米和1.9米之間的人挑出來(lái)，然后在挑出的人群中求其體重的分布。由于身高和體重會(huì)有一定的正相依關(guān)系，這個(gè)分布與不設(shè)這個(gè)條件時(shí)的分布會(huì)很不一樣。所以有必要研究把一個(gè)變量限制在一定條件下另一個(gè)隨機(jī)變量的條件分布。

2 條件分布列與條件密度函數(shù)的計(jì)算公式

由于離散型隨機(jī)變量常用分布列表示其分布，而連續(xù)型常用其密度函數(shù)，所以我們分別考慮條件分布列與條件分布函數(shù)。設(shè)（X，Y）為一個(gè)二維離散型隨機(jī)向量，聯(lián)合分布列為P（X＝xi，Y＝y(tǒng)j）＝pij，i，j＝1，2，…，考慮Y＝y(tǒng)j的條件下X的條件分布，即是要找條件概率P（X＝xi｜Y＝y(tǒng)j）由條件概率的定義，可得若P（Y＝y(tǒng)j）＞0，則

此即為在給定Y＝y(tǒng)j的條件下X的條件分布列。

為加深學(xué)生對(duì)概念的理解，應(yīng)進(jìn)一步補(bǔ)充說(shuō)明，在Y＝y(tǒng)j條件不變的情況下，條件分布列仍是分布列，即滿足：

在連續(xù)場(chǎng)合中，因?qū)θ我鈟，P（Y＝y(tǒng)）＝0，故P（X＝xi｜Y＝y(tǒng)j）沒(méi)有意義，首先考慮Y＝y(tǒng)時(shí)X的條件分布函數(shù)的概念.設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為F（x，y），p（x，y），邊際密度函數(shù)為pX（x），pY（y），則Y＝y(tǒng)時(shí)X的條件分布函數(shù)可以寫(xiě)成

分子分母各除以h，并分別取極限，則上式化為

上式表明條件分布也是連續(xù)分布，并且在pY（y）＞0時(shí)，給定Y＝y(tǒng)條件下X的條件密度函數(shù)為

為加深學(xué)生對(duì)條件密度的理解，應(yīng)強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：

1.條件密度函數(shù)仍然是概率密度，即滿足概率密度的兩點(diǎn)基本性質(zhì)。2.（1）式可改寫(xiě)為：

類似可得，

即兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度等于其中之一的概率密度乘以在給定這一個(gè)之下另一個(gè)的條件概率密度，這個(gè)公式與條件概率的公式P（AB）＝P（B）P（A／B）類似 。

3 條件概率分布在計(jì)算條件期望中的應(yīng)用

由于條件分布列仍是分布列，條件密度函數(shù)仍然是條件概率密度，所以在此基礎(chǔ)上可以求條件期望。其計(jì)算公式如下，若（X，Y）為二維離散型，

若（X，Y）為二維離散型，

條件期望E（X｜Y＝y(tǒng)）是y的函數(shù)，它與無(wú)條件期望E（X）是有區(qū)別的。進(jìn)一步指出若以E（X｜Y）記Y的如下函數(shù)：當(dāng)Y＝y(tǒng)時(shí)它取值E（X｜Y＝y(tǒng)），這樣定義的E（X｜Y）是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)它求期望可得有趣的結(jié)果。

例2 （重期望公式）設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)變量，且E（X）存在，則

證：在此僅對(duì)連續(xù)場(chǎng)合給出證明，而離散場(chǎng)合可類似證明。設(shè)（X，Y）有聯(lián)合密度p（x，y），

由Y的函數(shù)的期望公式，有

重期望公式是概率論中較為深刻的結(jié)果，它在實(shí)際中很有用.譬如，要求在一個(gè)取值于很大范圍上的指標(biāo)X的均值E（X），會(huì)遇到計(jì)算上的許多困難.為此可換一種思維方式：尋求一個(gè)與X有關(guān)的量Y，以Y的不同取值把大范圍劃分成若干個(gè)小區(qū)域，先在小區(qū)域上求X的平均，再對(duì)此類平均求加權(quán)平均，即可得到大范圍上X的平均E（X）.

例3 一個(gè)礦工被困在有兩個(gè)門的礦井里，第一個(gè)門通一坑道，沿此坑道走3小時(shí)可到達(dá)安全區(qū)；第二個(gè)門通一坑道，沿此坑道5小時(shí)又回到原處。假定此礦工總是等可能地在兩個(gè)門中選擇一個(gè)，試求他平均要用多少時(shí)間才能到達(dá)安全區(qū)。

解：設(shè)該礦工需要X小時(shí)到達(dá)安全區(qū)，Y表示第一次所選的門。

由題設(shè)條件知，

例4 （隨機(jī)個(gè)隨機(jī)變量之和的期望）設(shè)X1，X2，…為一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量N只取正整數(shù)值，且N與｛Xn｝獨(dú)立，則有

對(duì)此例子不要求學(xué)生掌握其證明，而是強(qiáng)調(diào)其在實(shí)際中的應(yīng)用。如設(shè)一天內(nèi)到達(dá)商場(chǎng)的顧客數(shù)N是僅取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，且E（N）＝35000.又設(shè)進(jìn)入此商場(chǎng)的第i個(gè)顧客的購(gòu)物金額為Xi，可以認(rèn)為諸Xi是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且E（Xi）＝82（元）.假設(shè)N與Xi相互獨(dú)立是合理的，則此商場(chǎng)一天的平均營(yíng)業(yè)額為

4 條件概率分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性

僅考慮（X，Y）為連續(xù)型，一般p（x｜y）隨y的變化而變化，這反映了X與Y有相依關(guān)系，如果p（x｜y）不依賴于y，只是x的函數(shù)，由（1）式易得，p（x｜y）＝pX（x），則表示X的分布情況與Y的取值完全無(wú)關(guān)，這時(shí)就稱X與Y這兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立。

定義：設(shè)二維隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為p（x，y），X與Y的邊際密度分別為pX（x），pY（y），如果

則稱X與Y相互獨(dú)立。

進(jìn)一步解釋之所以沒(méi)有采用p（x｜y）＝pX（x）來(lái)定義X與Y的獨(dú)立性，原因有如下兩點(diǎn)

（1）式（5）總是有意義的，而用條件密度去定義時(shí)，可能碰到在個(gè)別點(diǎn)無(wú)法定義的情況，而在一般情況下可以用p（x｜y）＝pX（x）來(lái)驗(yàn)證其獨(dú)立性。

（2）式（5）式在形式上關(guān)于兩個(gè)變量對(duì)稱，便于推廣到對(duì)多個(gè)變量定義獨(dú)立性。

證：由二維正態(tài)分布的密度形式可得，從而 當(dāng)且僅當(dāng)ρ＝0時(shí)，p（x｜y）＝pX（x），即X與Y獨(dú)立。

隨著我國(guó)的高等教育由“精英型教育”向“大眾化教育”轉(zhuǎn)變，像我校這樣的應(yīng)用型本科院校，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不夠扎實(shí)，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性不足，以上教學(xué)方法在做法上淡化理論證明，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的應(yīng)用。目的是使學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)這門課程感興趣、克服畏難心理，對(duì)條件分布理論有一個(gè)較系統(tǒng)的把握。

［1］茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2］陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002.

［3］徐洪香.概率論的緣起、發(fā)展及其應(yīng)用［J］.遼寧工學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，21（3）：62－63.

［4］張克軍.關(guān)于條件概率及其應(yīng)用的教學(xué)研究［J］.徐州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，23（3）：134－135.

［5］沙秀艷，辛 杰.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)實(shí)踐與探索［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29（4）：9－12.