張強(qiáng)，蓋明久，張寧，崔世維

（海軍航空工程學(xué)院a.基礎(chǔ)部；b.訓(xùn)練部；c.研究生管理大隊(duì)，山東煙臺264001）

一類Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概周期解的全局指數(shù)穩(wěn)定

張強(qiáng)a，蓋明久a，張寧b，崔世維c

（海軍航空工程學(xué)院a.基礎(chǔ)部；b.訓(xùn)練部；c.研究生管理大隊(duì)，山東煙臺264001）

研究了一類Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概周期解的存在唯一性及全局指數(shù)穩(wěn)定性，得到了判斷概周期解存在唯一及全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，推廣了一些已有的結(jié)論。

Cohen-Grossberg型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；概周期解；穩(wěn)定性

與周期現(xiàn)象相比，概周期現(xiàn)象是一種更普遍的現(xiàn)象。事實(shí)上，從物理實(shí)現(xiàn)方面看，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由超大規(guī)模集成電路實(shí)現(xiàn)的，它擁有大量的神經(jīng)元，且每個(gè)神經(jīng)元都有自己的信號衰減系數(shù)、與其他神經(jīng)元的連接權(quán)系數(shù)以及外部輸入，因而很難做到它們都具有相同的周期。同時(shí)，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路的外部輸入是由市電供應(yīng)的，而電力系統(tǒng)本身就存在概周期現(xiàn)象，這樣就使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的信號衰減系數(shù)、連接權(quán)系數(shù)以及外部輸入可能具有概周期振蕩行為。因此，研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)時(shí)就有必要研究這種概周期振蕩現(xiàn)象。

關(guān)于Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概周期解的存在性及穩(wěn)定性，許多學(xué)者進(jìn)行了深入的研究[1-9]。同時(shí)，由于Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在模式識別、圖像處理等方面的成功運(yùn)用，關(guān)于這類網(wǎng)絡(luò)的概周期解的研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并取得了一些很好的研究成果[10-12]。在文獻(xiàn)[13]中，Chen研究了Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

概周期解的存在性及全局指數(shù)穩(wěn)定性。本文將系統(tǒng)中的常時(shí)滯推廣為變時(shí)滯，并同時(shí)考慮分布時(shí)滯存在的情況下，研究如下一類Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概周期解的存在性及全局指數(shù)穩(wěn)定性：

式（2）中：i=1,2,…,n，n≥2是網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的數(shù)量；xi(t)表示第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài)；fj(·)、gj(·)、hj(·)是激勵(lì)函數(shù)；0〈τij(t)〈τij對應(yīng)于軸突信號傳輸時(shí)滯；cij(t)、dij(t)、eij(t)是t時(shí)刻的連接權(quán)重；Kij(t)是時(shí)滯核；Ii(t)表示在t時(shí)刻的外部輸入。

系統(tǒng)的初始條件為

1 預(yù)備工作

定義1：概周期函數(shù)。設(shè)x(t):?→?，若?ε〉0，?l=l(ε)〉0，使在任意長為l的區(qū)間內(nèi)都存在δ，使|x(t+δ)-x(t)|〈ε對任意t∈?都成立，則稱x(t)是一個(gè)概周期函數(shù)。

下面總是假設(shè)i,j=1,2,…,n。關(guān)于系統(tǒng)，作如下假設(shè)：

（H1）存在正常數(shù)、，使得0〈ai(t,x)≤，

（H2）存在常數(shù)使

（H3）函數(shù)fj(·)、gj(·)、hj(·)有界并且滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)，使得?x,y∈?，有

2 主要結(jié)果

定理1：假設(shè)（H1）～（H5）成立，并且有

則系統(tǒng)（2）存在唯一概周期解，并且是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

證明：對任意的φ∈X，考慮如下輔助線性系統(tǒng)：

由常數(shù)變易法，可得方程的解為：

定義映射

?φ∈X。令：

令：

則X*是X的一個(gè)閉凸子集。

注意到

因此，對任意的φ∈X*，有

當(dāng)φi(u)〉0時(shí)，由假設(shè)（H2）可得

此時(shí)有

當(dāng)φi(u)〈0時(shí)，由類似的推導(dǎo)可得

綜合式（5）、（6），可以得到

將式（7）代入式（4），有

因此，Tφ∈X*，故T是X*到X*的自映射。接下來證明T是X*到X*的壓縮映射。

事實(shí)上，對任意φ,ψ∈X*，采用與上面類似的推導(dǎo)過程，可得

因?yàn)棣选?，所以T是X*到X*的壓縮映射。

由Banach壓縮映射不動點(diǎn)定理知，T在X*上有唯一的不動點(diǎn)φˉ，使得Tφˉ=φˉ。由系統(tǒng)的形式可知，系統(tǒng)在X*上存在唯一概周期解x*=φˉ。

接下來證明x*的全局指數(shù)穩(wěn)定性。

令

則0〈Ai(0)≤ρ〈1。由Ai(ε)的連續(xù)性可知，存在λi〉0，使得0〈Ai(λi)〈1。取λ=1m≤ii≤nn{λi}，則有

設(shè)x(t)是系統(tǒng)（2）的任意一個(gè)解，x*(t)是其概周期解，其初始條件分別為

首先證明對任意的α〉1，有下式成立：

當(dāng)t=0時(shí)，式（9）顯然成立。

假設(shè)當(dāng)t〉0時(shí)式（9）不成立，那么存在t1〉0和i∈{1,2,…,n}，使得|，且

注意到，

對上述系統(tǒng)利用常數(shù)變易法，并由假設(shè)（H1）～（H5）和式（7），有

這與假設(shè)矛盾，故式（9）成立。令α→1，則有式（8）成立，從而系統(tǒng)的概周期解是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

注：若eij(t)≡0，τij(t)=τj，gj=fj，則系統(tǒng)就是文獻(xiàn)[13]中所研究的系統(tǒng)，此時(shí)文獻(xiàn)[13]中的定理1就是本文定理的一個(gè)推論。

另外，在文獻(xiàn)[13]中，為保證其概周期解的全局指數(shù)穩(wěn)定性，在其定理2中需要加入條件：

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Almost Periodic Solutions Global Exponential Stability of Cohen-Grossberg Neural Networks

ZHANG Qianga,GAI Ming-jiua,ZHANG Ningb,CUI Shi-weic
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Basic Sciences; b.Department of Training;c.Graduate students'Brigade,Yantai Shandong 264001,China）

In this paper,the existence,uniqueness and global exponential stability of the almost periodic solution for a class of Cohen-Grossberg neural networks were studied,and the sufficient conditions for it's global exponential stability of the unique almost periodic solution was given.The results improvet some present conclusions.

Cohen-Grossberg neural networks;almost periodic solution;stability

TP183；O175

A

1673-1522（2014）04-0374-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.04.016

2014-03-05；

2014-04-22

張強(qiáng)（1980-），男，講師，碩士。