秦進(jìn) 簡(jiǎn)萱慧

摘 要： 本文體現(xiàn)克萊因幾何觀點(diǎn)，介紹仿射變換的幾個(gè)性質(zhì)，利用仿射變換的不變量和不變性解決初等幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)意義.

關(guān)鍵詞： 仿射性質(zhì) 初等幾何 應(yīng)用

近代幾何發(fā)展有重要意義的克萊因（F.Klein）觀點(diǎn)，把變換群與幾何學(xué)聯(lián)系起來(lái)給幾何學(xué)以新的定義.圖形在仿射變換群下的不變性和不變量的命題系統(tǒng)構(gòu)成了仿射幾何，它是從歐氏幾何到射影幾何的橋梁，研究仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用，有利于我們開闊視野，擴(kuò)大幾何領(lǐng)域，提高認(rèn)識(shí).利用仿射性質(zhì)解決初等幾何問(wèn)題的要抓住“不變”兩字.當(dāng)涉及有關(guān)點(diǎn)線結(jié)合、直線平行和面積之比等問(wèn)題，適當(dāng)利用仿射變換解決某些初等幾何問(wèn)題，可以使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)難為易.

1.仿射性質(zhì)

定義：若兩個(gè)平面間（平面到自身）的一個(gè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)（變換）保持同素性，結(jié)合性和共線三點(diǎn)的單比不變，則這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)（變換）稱為仿射對(duì)應(yīng)（仿射變換）.

性質(zhì)1：保持同素性、結(jié)合性和共線三點(diǎn)單比是仿射不變.

性質(zhì)2：兩條平行直線具有仿射不變性.

性質(zhì)3：兩個(gè)封閉圖形面積之比是仿射不變量.

2.仿射性質(zhì)的應(yīng)用

2.1有關(guān)平行命題的證明

高等幾何的原理和方法在初等幾何中應(yīng)用非常廣泛，利用高等幾何的思想方法解決初等幾何問(wèn)題，它具有獨(dú)特的巧妙、靈活等特點(diǎn).加強(qiáng)高等幾何和初等幾何的聯(lián)系，便于更深刻地認(rèn)識(shí)和掌握初等幾何，利于指導(dǎo)初等幾何的教學(xué)與研究，在更高層面上理解幾何空間的基本特性、研究方法及內(nèi)在聯(lián)系，深刻體會(huì)幾何的本質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]梅向明等.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]羅崇善.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1999.