陳 濤，廖敦明，龐盛永，周建新

（華中科技大學(xué)材料成形與模具技術(shù)國家重點實驗室，湖北 武漢 430074）

在計算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，鑄造這個古老的行業(yè)也開始引進(jìn)先進(jìn)的信息化和智能化技術(shù)，對傳統(tǒng)的鑄造工藝設(shè)計和生產(chǎn)過程進(jìn)行現(xiàn)代化和信息化改造。在計算機(jī)數(shù)值計算的基礎(chǔ)上，學(xué)者們發(fā)展出了鑄造CAE 技術(shù)[1]。鑄造CAE 技術(shù)將傳統(tǒng)的試錯法放在計算機(jī)虛擬的世界中進(jìn)行，大大減少了產(chǎn)品試制周期和成本，提高生產(chǎn)效率，并能減少對經(jīng)驗的依賴，及時發(fā)現(xiàn)可能的鑄造缺陷，根據(jù)觀測到的缺陷成因優(yōu)化鑄造工藝參數(shù)，提高鑄件成形質(zhì)量，在實際的鑄造生產(chǎn)實踐中直接生產(chǎn)出合格的產(chǎn)品[2]。

鑄造CAE 技術(shù)中采用的主要方法包括有限差分法和有限元法，其中有限差分法多用于鑄造過程的充型和凝固模擬，有限元法更適合于鑄造過程的熱應(yīng)力模擬。有限差分法由于所用的有限差分網(wǎng)格生成方便簡單，在鑄造企業(yè)中的應(yīng)用比較廣泛。而有限元法所涉及的有限元網(wǎng)格劃分要復(fù)雜許多，特別是對于復(fù)雜鑄造工藝裝配體幾何模型，有限元網(wǎng)格很可能無法順利生成，造成后續(xù)的有限元計算分析不能正常進(jìn)行，嚴(yán)重制約了有限元法鑄造CAE 技術(shù)的推廣和應(yīng)用。許多企業(yè)花大價錢買來的有限元法鑄造CAE 軟件常常束之高閣，沒能很好地應(yīng)用起來，為企業(yè)創(chuàng)造價值。

在鑄造CAE 中，大多使用的幾何模型采用Stereolithography（STL）格式，用許多三角形來描述幾何模型的表面。對于傳統(tǒng)用于計算流動和傳熱的有限差分法來說，目前已經(jīng)有非常成熟穩(wěn)健的有限差分網(wǎng)格劃分算法。但對于有限元方法，有限元網(wǎng)格對幾何模型的準(zhǔn)確性要求比有限差分網(wǎng)格高許多，一些STL 幾何模型中的錯誤會導(dǎo)致有限元網(wǎng)格劃分失敗。如圖1 所示，常見的STL 幾何模型中的錯誤有如下幾種[3]：a）三角形退化成線段或點；b）超過三個三角形共有一條邊，構(gòu)成非流形；c）三角形相互重疊和交錯；d）三角形空缺形成孔洞。

圖1 常見的STL 幾何模型中的錯誤

鑄造工藝常常由許多部分組合而成，如鑄件、澆道、冒口等，導(dǎo)入鑄造CAE 分析中的幾何模型常常是裝配體。裝配體中出現(xiàn)的表面接觸和體積相交等幾何特征對有限元網(wǎng)格劃分也是一大考驗[4-6]。

為了實現(xiàn)有限元網(wǎng)格劃分的自動化和智能化，讓操作人員專注工藝設(shè)計而不是幾何錯誤修復(fù)和網(wǎng)格劃分的細(xì)節(jié)問題，本文提出一種自動對STL 裝配體進(jìn)行有限元四面體網(wǎng)格劃分的算法。此算法能夠根據(jù)導(dǎo)入的STL 幾何模型裝配體的幾何特征，自動修復(fù)或忽略大部分STL 幾何模型中的錯誤，智能地處理裝配體中的表面接觸和相交體積的幾何特征，自適應(yīng)地選擇合適尺寸的四面體單元劃分整個裝配體，不需要人為的參數(shù)設(shè)置和網(wǎng)格手動修復(fù)，最終得到質(zhì)量優(yōu)良并保持幾何一致性的四面體有限元網(wǎng)格，可以用于后續(xù)的有限元熱應(yīng)力數(shù)值模擬。

1 復(fù)雜鑄造工藝裝配體有限元網(wǎng)格劃分關(guān)鍵技術(shù)

本文提出的有限元網(wǎng)格生成方法包括隱式曲面幾何描述方法、有限元網(wǎng)格尺寸計算方法，以及有限元網(wǎng)格生成和網(wǎng)格質(zhì)量優(yōu)化方法等三個部分，下面將一一進(jìn)行詳述。

1.1 隱式曲面幾何描述方法

由于導(dǎo)入的鑄造工藝STL 裝配體中會帶有一些錯誤，本文采用隱式曲面這種更穩(wěn)健的幾何描述方式來表示幾何模型的表面，自動消除或忽略STL裝配體的錯誤，為有限元網(wǎng)格劃分提供準(zhǔn)確的幾何模型表面信息。

STL 文件格式是一種用三角形集合顯式描述幾何模型的方法，只包含模型表面的幾何信息。相對于STL 文件格式，隱式曲面是用三維空間中某個函數(shù)的等值面隱式描述幾何模型的方法，除了模型表面的幾何信息，它還包含了整個空間范圍內(nèi)的幾何信息。

為了方便起見，通常選用帶符號距離函數(shù)的零值面作為隱式曲面，這樣也不失一般性。式（1）為帶符號距離函數(shù)φ（x）的定義[7，8]：

其中，Ω+為幾何模型外的區(qū)域，Ω-為幾何模型內(nèi)的區(qū)域，?Ω 為幾何模型的表面，d（x）表示空間任一點x 到幾何模型表面?Ω 最小距離的函數(shù)。式（2）為d（x）的表達(dá)式：

與STL 文件格式相比，隱式曲面描述幾何模型有下列幾個特點：

1）用隱式曲面描述幾何模型，不會存在任何顯示格式中的錯誤。將STL 裝配體轉(zhuǎn)換成隱式曲面描述，許多STL 文件中的錯誤會自動消除。

2）通過隱式曲面，許多幾何模型的重要幾何信息能夠容易地計算得到。

3）鑄造工藝裝配體的各個部分可以容易地通過隱式曲面進(jìn)行布爾運算。

4）隱式曲面表示的幾何模型表面總是連續(xù)可微的，原幾何模型中所有輪廓邊和特征頂點都會圓滑過渡。該特性符合實際鑄件的工藝特征。

1.2 有限元網(wǎng)格尺寸計算方法

有限元網(wǎng)格劃分算法生成的有限元網(wǎng)格需要有合適的單元尺寸，網(wǎng)格尺寸過大則計算精度不高，甚至導(dǎo)致網(wǎng)格劃分失敗，網(wǎng)格尺寸過小又會造成計算量過大。如何設(shè)置合適的單元尺寸，對于操作人員來說也是一件繁瑣麻煩的任務(wù)。

本文提出一種自適應(yīng)網(wǎng)格尺寸的智能化計算方法，網(wǎng)格尺寸函數(shù)fh（x）的表達(dá)式如下式所示：

其中a，b，c 為權(quán)系數(shù)，φ厚度（x）為模型的厚度分布函數(shù)，h用戶（x）為用戶自定義的網(wǎng)格尺寸分布函數(shù)，k（x）為模型的表面曲率，?Ω 為模型表面，?ΩSF為模型的輪廓邊等重要幾何特征。

該方法根據(jù)計算得到的幾何模型大致厚度與表面曲率設(shè)置網(wǎng)格尺寸函數(shù)，得到的網(wǎng)格尺寸函數(shù)分布自動滿足單元尺寸的幾何自適應(yīng)要求，可以不需要操作人員費時費力的手動設(shè)置。如果操作人員對于網(wǎng)格尺寸有特殊的要求，也可以方便地進(jìn)行設(shè)置，讓指定位置的網(wǎng)格尺寸與設(shè)定值近似。

1.3 有限元網(wǎng)格生成和網(wǎng)格質(zhì)量優(yōu)化方法

由于鑄造工藝裝配體幾何模型采用隱式曲面方法描述，本文也相應(yīng)地采用基于隱式曲面的有限元網(wǎng)格劃分和優(yōu)化方法，其整體流程如圖2 所示：a）導(dǎo)入STL 幾何模型；b）變換為隱式曲面幾何描述；c）根據(jù)幾何特征自動計算合適的網(wǎng)格尺寸函數(shù)；d）在隱式曲面包含的內(nèi)部空間中根據(jù)網(wǎng)格尺寸要求撒布合適的頂點并連接成四面體凸包；e）去除隱式曲面外部空間中的四面體，形成初始有限元四面體網(wǎng)格；f）優(yōu)化網(wǎng)格質(zhì)量和表面一致性得到最終有限元四面體網(wǎng)格。

圖2 隱式曲面有限元網(wǎng)格劃分和優(yōu)化算法流程

2 應(yīng)用實例

基于本文提出的有限元網(wǎng)格劃分方法，開發(fā)了有限元四面體網(wǎng)格劃分前處理模塊。下面將用兩個實際生產(chǎn)的鑄件幾何模型測試本文的有限元網(wǎng)格劃分方法。

2.1 發(fā)動機(jī)缸體鑄件

第一個例子是一個實際生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)缸體鑄件的幾何模型。圖3 為發(fā)動機(jī)缸體鑄件的STL 幾何模型，可以看到此STL 模型由910，644 個三角形來表達(dá)發(fā)動機(jī)缸體鑄件的復(fù)雜幾何形狀，包括復(fù)雜的凸臺、凹槽、孔洞及內(nèi)腔等。圖4 為帶輪廓邊顯示的發(fā)動機(jī)缸體鑄件的幾何模型及局部放大圖。由于幾何模型復(fù)雜，圖中顯示的黑色輪廓邊（斷續(xù)線段）數(shù)量較多，從局部放大圖可以看到有一些錯誤判斷的輪廓邊，這說明STL 幾何模型中帶有一些小到肉眼很難發(fā)現(xiàn)的幾何錯誤，如三角形退化、三角形丟失、非流形連接等。目前大多商品化有限元網(wǎng)格劃分軟件（例如ProCAST，HyperMesh，ICEM 等）都無法順利為此發(fā)動機(jī)缸體鑄件STL 幾何模型生成合格的有限元網(wǎng)格。

圖3 發(fā)動機(jī)缸體鑄件的STL 幾何模型

圖4 帶輪廓邊顯示的發(fā)動機(jī)缸體鑄件的幾何模型及局部放大圖

圖5 顯示渲染了網(wǎng)格尺寸函數(shù)的發(fā)動機(jī)缸體隱式曲面，從圖5 可見，雖然發(fā)動機(jī)缸體鑄件的幾何模型非常復(fù)雜而且?guī)в幸恍缀五e誤，本文提出的有限元網(wǎng)格劃分方法仍然可以生成正確的隱式曲面及網(wǎng)格尺寸函數(shù)，并最終得到合格的有限元網(wǎng)格，如圖6 所示。從有限元網(wǎng)格的全視圖和剖視圖可見，生成的有限元網(wǎng)格與原幾何模型有良好的幾何一致性。從圖7 的最終有限元網(wǎng)格質(zhì)量分布圖中可以看到，本文提出的復(fù)雜鑄造工藝有限元網(wǎng)格劃分方法所生成的整體網(wǎng)格有優(yōu)良的網(wǎng)格質(zhì)量，質(zhì)量超過0.8 的高質(zhì)量單元大約占總單元數(shù)的65%，質(zhì)量低于0.1 的低質(zhì)量單元僅有20 個。

圖5 渲染了網(wǎng)格尺寸函數(shù)的發(fā)動機(jī)缸體隱式曲面

圖 6 發(fā)動機(jī)缸體鑄件的有限元網(wǎng)格及剖視圖

圖7 發(fā)動機(jī)缸體鑄件有限元網(wǎng)格的最終單元質(zhì)量分布

2.2 發(fā)動機(jī)缸體鑄件

第二個實例是一個數(shù)控機(jī)床橫梁鑄件的鑄造工藝方案如圖8 所示，由幾個部分裝配組成：鑄件、冒口、澆道、澆注入口、冷鐵。此數(shù)控機(jī)床橫梁鑄件屬于大型薄壁復(fù)雜鑄件，其總長為10.937 m，從剖視圖中可以見到橫梁鑄件內(nèi)腔最薄壁厚僅為20 mm.總長與最薄壁厚之比超過500，這會對有限元網(wǎng)格的劃分造成一定的困難，最終生成的單元數(shù)會比較多。該鑄造工藝裝配體的STL 幾何模型同樣無法用現(xiàn)有的商品化網(wǎng)格劃分軟件生成合格的有限元網(wǎng)格。

圖8 數(shù)控機(jī)床橫梁鑄件的鑄造工藝圖及其剖視圖

圖9 為數(shù)控機(jī)床橫梁鑄件鑄造工藝的STL 幾何模型裝配體，其中橫梁鑄件、澆道、冒口、冷鐵和澆注入口的STL 模型的三角形個數(shù)分別為455，780、9890、31548、3948 和960.STL 模型中的三角形個數(shù)可以反映模型幾何特征的復(fù)雜程度，雖然橫梁鑄件STL 模型的三角形個數(shù)沒有前面發(fā)動機(jī)缸體鑄件的多，但加上澆道和冒口等澆注工藝時，整個裝配體的幾何特征變得更加復(fù)雜。

圖9 數(shù)控機(jī)床橫梁鑄件鑄造工藝的STL 幾何模型裝配體

圖10 顯示了渲染了網(wǎng)格尺寸函數(shù)的數(shù)控機(jī)床橫梁鑄件的隱式曲面?？梢钥吹剑疚奶岢龅挠邢拊W(wǎng)格劃分算法能夠為復(fù)雜的幾何模型裝配體生成與原幾何模型一致的隱式曲面，計算得到合理的網(wǎng)格尺寸函數(shù)。圖11 顯示了最終生成的數(shù)控機(jī)床橫梁鑄件的有限元網(wǎng)格，包含334，948 個頂點和1，279，473 個單元。在有限元計算中，上百萬單元的網(wǎng)格已經(jīng)需要較大規(guī)模的計算量了。

圖10 渲染了網(wǎng)格尺寸函數(shù)的數(shù)控機(jī)床橫梁鑄件的隱式曲面

圖11 為數(shù)控機(jī)床橫梁鑄件鑄造工藝的有限元網(wǎng)格，可見此有限元網(wǎng)格的幾何形狀與原幾何模型裝配體基本一致。圖12 顯示了有限元網(wǎng)格的最終單元質(zhì)量分布。從此圖中可以看到，對于機(jī)床橫梁鑄件這類大型薄壁復(fù)雜鑄件，本文提出的有限元網(wǎng)格生成算法仍然能保證最終的網(wǎng)格質(zhì)量，質(zhì)量大于0.8 的單元數(shù)大約占總單元數(shù)的60%，質(zhì)量低于0.1的單元數(shù)為47 個。網(wǎng)格的整體質(zhì)量滿足有限元計算的要求。

圖12 數(shù)控機(jī)床橫梁鑄件鑄造工藝有限元網(wǎng)格的最終單元質(zhì)量分布

3 結(jié) 論

本文提出了一種適用于任意復(fù)雜鑄造工藝的有限元網(wǎng)格生成方法，其中包含以下幾個關(guān)鍵技術(shù)和方法：a）隱式曲面幾何描述方法；b）有限元網(wǎng)格尺寸計算方法；c）有限元網(wǎng)格生成和網(wǎng)格質(zhì)量優(yōu)化方法。經(jīng)過兩個實際生產(chǎn)的復(fù)雜鑄造工藝STL 幾何模型的測試，可以看到本文提出的有限元四面體網(wǎng)格劃分算法能自動并順利地劃分出高質(zhì)量的四面體有限元網(wǎng)格，實現(xiàn)了有限元網(wǎng)格劃分的自動化和智能化。算法的穩(wěn)定性具有工業(yè)強(qiáng)度，能滿足實際工程應(yīng)用的需求，為鑄造CAE 技術(shù)的進(jìn)一步推廣和應(yīng)用提供重要的技術(shù)保障。

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