●黃清柱

數(shù)學的基本知識和基本技能只有通過一定的“數(shù)學活動經(jīng)驗”才能內(nèi)化與成形，數(shù)學的思想方法也是在數(shù)學活動之中才能感悟到的。 數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想及基本活動經(jīng)驗是一個有機的整體，是互相聯(lián)系、互相促進的，它們就像一棵樹，數(shù)學活動經(jīng)驗就像樹根， 在土壤中吸取成長所需的養(yǎng)分；數(shù)學思想就像樹干，主要是支撐樹冠，給樹葉輸送水分和養(yǎng)分；基礎知識及基本技能就像樹冠，主要是完成光合作用，為樹木提供養(yǎng)分的機構，促進樹木成長。 “根深”的數(shù)學教學才能更好地提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。下面以《找質(zhì)數(shù)》的教學為例，談談我的做法。

一、創(chuàng)設猜想活動，誘發(fā)探究欲望

如何以學生的知識經(jīng)驗為依據(jù)， 不斷引導學生開拓知識領域，使學生發(fā)現(xiàn)各種知識間的聯(lián)系，受到啟發(fā)，觸發(fā)猜想，誘發(fā)學生的探究欲望。 《找質(zhì)數(shù)》這一課是學生在學習“找因數(shù)”的基礎上進行教學的。課伊始，可以這樣引入：

師：同學們，我們今天要學習的內(nèi)容，是在昨天學習“找因數(shù)”的基礎上進行探索學習的。 下面我們把全班分成 8 個小組，各組分別選取 3、7、9、10、11、12、18、24 八個數(shù)中的一個數(shù)作為長方形的面積，并用小正方形拼成長方形。擺一擺：有幾種不同的拼法設計？

各組展示反饋：

生1：我們組選取3 來拼擺長方形，只有1 種設計拼法。

生2：我們組選取7 來拼擺長方形，也只有1 種設計拼法。

生3：我們組選取9 來拼擺長方形，有2 種設計拼法。

……

讓學生自主選擇一個數(shù)作為長方形的面積，并用小方塊設計幾種不同的擺法，這樣喚醒了學生“找因數(shù)”的已有經(jīng)驗，為探索“找質(zhì)數(shù)”作了思路的鋪墊，也為猜想提供依據(jù)。

師：根據(jù)剛才的拼擺，猜一猜：影響拼法設計的因素是什么？

生1：我猜測可能與數(shù)的奇偶性有關。

師：你是怎樣猜想的？

生 1：10、12、18、24 這四個偶數(shù)都有幾種不同的拼法設計。 因此，我猜測可能與數(shù)的奇偶性有關。

生 2：3、7 這兩個數(shù)只有 1 種拼法，18、24 這兩個數(shù)都有多種不同的拼法設計。因此，我猜測可能與數(shù)的大小有關。

生3： 這幾個數(shù)中有的因數(shù)的個數(shù)多， 有的較少，我猜可能與數(shù)的因數(shù)個數(shù)有關。

通過猜測活動，誘發(fā)學生的認知沖突：有的學生認為影響拼法設計的因素是跟數(shù)的大小有關； 有的認為與數(shù)的奇偶性有關； 有的認為可能既跟數(shù)的因數(shù)個數(shù)有關，又跟數(shù)的奇偶性有關……。 這樣，學生的思維處于困惑的思考之中， 很快地進入積極探索學習狀態(tài)。

二、進行驗證活動，探尋數(shù)學本質(zhì)

設計觸及到數(shù)學本質(zhì)的活動讓學生進行數(shù)學活動是重要一環(huán)。怎樣讓學生感悟“影響拼法設計的因素到底跟什么有關”，也就是判斷“一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，它跟什么有關”，在上述猜想活動的基礎上，及時引導學生深入研究，發(fā)現(xiàn)“真理”。

師：各小組再次從 6、37、45、62 四個數(shù)中進行選數(shù)拼擺， 同時思考： 影響設計拼法的因素到底是什么？

學生擺拼后反饋：

生1：6 和62 的拼法設計有兩種，我想所是偶數(shù)都有2 種或2 種以上的拼法， 可能與數(shù)的奇偶性有關。

生 2：我們選 6 和 37，這兩個數(shù)來拼，6 的拼法有兩種，37 的拼法只有1 種， 說明拼法的種數(shù)與數(shù)的大小無關，也就是數(shù)越大拼法不一定越多種。

師：從剛才同學的拼法中，我們可以知道3、7、11 和 37 各數(shù)只有 1 種拼法，9、10、12、18、24、6、45和62 各有2 種或2 種以上的拼法，所以與數(shù)的大小無關。 誰還有不同的想法？

生 3：3、7、11 和 37 每個數(shù)只有 2 個因數(shù)，而 9、10、12、18、24、6、45 和 62 有 3 個或 3 個以上的因數(shù)，所以，我認為影響設計拼法的因素，可能與數(shù)的因數(shù)個數(shù)有關。

師：剛才同學們說得很好，你們能不能自己舉一個例子來推翻他人或自己的猜想， 說明他人或自己的猜想是否正確？ （學生思考良久后）

生4：剛才某某同學（生3）說的可能與數(shù)的奇偶性有關，如果是偶數(shù)2 也只有1 種拼法，奇數(shù)3、5、7只有 1 種拼法， 而奇數(shù) 9、15、25 有 2 種或 2 種以上的拼法，所以與數(shù)的奇偶性也無關。

生 5：4＝1×4＝2×2，9＝1×9＝3×3，4 和 9 都有 3 個因數(shù)， 兩種拼法；19＝1×19，3＝1×3，19、3 各只有 2 因數(shù)，只一種拼法，我認為與因數(shù)個數(shù)有關。

師：剛才同學們的爭辯，很認真，也很有道理。確實由一個數(shù)設計長方形拼法， 拼法設計的多少與因數(shù)個數(shù)有關系，與數(shù)的奇偶性及大小沒有關系。

上述的教學，學生經(jīng)歷了兩次拼擺，教師根據(jù)生成資源及時引導學生爭辯， 在爭辯中學會用舉反例的方式來推翻對方或自己的猜想， 能運用已學的知識方法來論證， 這樣把學生帶入火熱的活動探究氛圍之中， 學生的思維已由發(fā)散到集中， 最后達成一致，得出結論，是因數(shù)的個數(shù)影響了拼法的設計，也就是讓學生初步感悟到 “用一個自然數(shù) （0 和1 除外）作為長方形的面積，影響拼法的因素，只跟它的因數(shù)個數(shù)有關”，這為概括“什么叫做質(zhì)數(shù)，什么叫做合數(shù)”積累了雄厚的活動經(jīng)驗。

三、提升活動經(jīng)驗，形成數(shù)學概念

上述的“找質(zhì)數(shù)”教學的片段對于學生認識來說，獲得的數(shù)學活動經(jīng)驗還是膚淺的，學生的認知結構還沒有真正內(nèi)化，因此，引導學生采用比較抽象的學習方式——“想乘法算式”， 進行再次探究活動，逐步歸納概括出新的數(shù)學概念。

1.運用“想乘法算式”的方式，完成下表，表中的數(shù)分別可以拼幾種長方形？

?

師：觀察上表中各數(shù)的因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：只有1 種設計拼法的，它因數(shù)只有兩個；有2 種設計拼法的，它的因數(shù)3 個或4 個；有3 種設計拼法的，它因數(shù)有6 個。

生2：有3 種設計拼法的，它因數(shù)有 6 個，也可能是 5 個，如：16＝1×16＝2×8＝4×4，16 的因數(shù)有 1、2、4、8、16 五個，它有 3 種拼法。

生3：從因數(shù)的個數(shù)來看，有 2 個的，也有2 個以上的。

生4：從因數(shù)的特點來看，有的是1 和它自己；有的除了1 和它自己，還有別的因數(shù)。

2.討論：根據(jù)剛才的發(fā)現(xiàn)，將2—14 各數(shù)分為兩類，可以怎樣分？ 這兩類數(shù)分別有什么特點？

生 1：一類是只有兩個因數(shù)，如 2、3、5；另一類是兩個以上因數(shù)的，如 4、6、9、12。

師：這兩類數(shù)各有什么特點？

生2：一類是一個數(shù)只有1 和它本身兩個因數(shù)；另一類是一個數(shù)除了1 和它本身以外還有別的因數(shù)。

3.引導概括。 什么叫做質(zhì)數(shù)，什么叫做合數(shù)。

4.指出“1 既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)”，并把零除外的自然數(shù)進行分類，則：

通過引導學生運用已有的學習方法——“想乘法算式”，并列表重新梳理，找出幾個連續(xù)自然數(shù)各自的因數(shù)，這樣有利于學生觀察、比較、分析出這兩類數(shù)的因數(shù)的特點，水到渠成地揭示質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義，又滲透了歸納概括、分類等數(shù)學思想方法。