吳鴻華

（濟(jì)南大學(xué) 數(shù)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022）

基于核和灰度的灰色層次分析模型及應(yīng)用

吳鴻華

（濟(jì)南大學(xué) 數(shù)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022）

灰數(shù)的核和灰度包含了灰數(shù)的所有信息.本文基于核和灰度建立了區(qū)間灰數(shù)的灰色層次分析評(píng)價(jià)模型.該模型首先將區(qū)間灰數(shù)表征為核和灰度，然后利用了區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算法則及灰度不減公理，結(jié)合原有的層次分析法，最后給出決策結(jié)果.通過算例驗(yàn)證，表明該模型是切實(shí)可行的.

層次分析法；區(qū)間灰數(shù)；核；灰度；灰色系統(tǒng)

1 引言

美國運(yùn)籌學(xué)家薩德于20世紀(jì)70年代提出了層次分析法[1]，對(duì)各種問題的決策分析具有較廣泛的實(shí)用性.在系統(tǒng)研究中，由于人的認(rèn)知能力有局限，對(duì)反映系統(tǒng)運(yùn)行行為的信息難以完全認(rèn)知，所以人們只知道系統(tǒng)元素或參數(shù)的取值范圍，通常把這種只知道取值范圍而不知其確切值的數(shù)稱為灰數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，由于個(gè)人對(duì)于系統(tǒng)信息有一定的認(rèn)知,因而他們對(duì)系統(tǒng)信息的認(rèn)識(shí)給定一個(gè)區(qū)間更為合理,也就是區(qū)間灰數(shù).所以研究基于區(qū)間灰數(shù)的灰色層次分析評(píng)價(jià)模型具有一定實(shí)際意義.文獻(xiàn)[2]給出了基于區(qū)間灰數(shù)的灰色層次分析法，但是在對(duì)區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行白化處理時(shí)，造成了部分信息的丟失，不能完全提供真實(shí)的決策信息.

劉思峰教授在文獻(xiàn)[3]中提出了灰數(shù)“核”的定義,并基于核和灰數(shù)灰度建立了區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算公理、運(yùn)算法則和新的灰代數(shù)系統(tǒng).灰數(shù)的核和灰度包含了灰數(shù)的全部信息，受此啟發(fā),本文以區(qū)間灰數(shù)的核和灰度為基礎(chǔ)建立灰色層次分析評(píng)價(jià)方法.最后給出相應(yīng)的實(shí)例分析.

2 基本知識(shí)

為了敘述方便，首先給出灰數(shù)的相關(guān)定義以及區(qū)間灰數(shù)的排序方法.

定義1[4]設(shè)區(qū)間灰數(shù)?∈[a,b],a

定義2[3]設(shè)區(qū)間灰數(shù)?產(chǎn)生的背景或論域?yàn)棣?μ(Ω)為區(qū)間灰數(shù)?之取數(shù)域的測(cè)度，則稱

為區(qū)間灰數(shù)?的灰度，簡(jiǎn)記為g0.

定義3[3]設(shè)為區(qū)間灰數(shù)?的核，g0為區(qū)間灰數(shù)?的灰度，稱為區(qū)間灰數(shù)的簡(jiǎn)化形式.

公理1[3]（灰度不減公理） 兩個(gè)灰度不同的區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商等運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的灰度不小于灰度較大區(qū)間灰數(shù)的灰度.

我們通?？蓪⑦\(yùn)算結(jié)果的灰度取為灰度較大的區(qū)間灰數(shù)的灰度.

定義4[5]設(shè)有區(qū)間灰數(shù)?1∈[a,b],a

3 基于核和灰度的灰色層次分析法

3.1 建立層次結(jié)構(gòu)模型

根據(jù)系統(tǒng)的具體屬性，深入分析問題，建立層次結(jié)構(gòu)模型.

3.2 構(gòu)造兩兩比較的灰色判斷矩陣

根據(jù)所要解決的問題，假設(shè)評(píng)價(jià)論域?yàn)棣?聘請(qǐng)m位專家，對(duì)擬評(píng)價(jià)的因素進(jìn)行客觀分析，分別構(gòu)造灰色判斷矩陣Ak(?ij)，其中

由定義1和定義2得到灰色判斷矩陣的簡(jiǎn)化形式

由各簡(jiǎn)化形式的判斷矩陣得到總的灰色判斷矩陣

由公式（1）可得：

3.3 判斷矩陣的求解

對(duì)于矩陣的多個(gè)灰色特征值，由定義4的易求得最大特征值，然后求解最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.

3.4 計(jì)算各層次元素的組合灰色值

利用區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算法則，計(jì)算同一層次所有因素相對(duì)于目標(biāo)層相對(duì)重要性，最終給出評(píng)價(jià)結(jié)果.并進(jìn)行檢驗(yàn).

4 實(shí)例分析

進(jìn)行科技綜合實(shí)力評(píng)價(jià)時(shí)，涉及因素較多，所以選擇層次分析法進(jìn)行評(píng)價(jià)較為系統(tǒng).在層次結(jié)構(gòu)中，可以選擇科技投入、科技活動(dòng)和科技產(chǎn)出3個(gè)準(zhǔn)則.作者做了4層的層次結(jié)構(gòu)模型，但是本文只是為了說明基于核和灰度灰色層次評(píng)價(jià)模型的實(shí)用性，且在計(jì)算過程中都是相同方法的重復(fù)應(yīng)用.選擇科技綜合實(shí)力為目標(biāo)層；第二層選擇科技投入、科技活動(dòng)、科技產(chǎn)出為準(zhǔn)則.

為了確定各指標(biāo)的相對(duì)重要性,根據(jù)德爾菲法由專家各自給定灰色判斷矩陣.現(xiàn)共有25位專家對(duì)三個(gè)準(zhǔn)則給出灰色判斷矩陣，專家的評(píng)價(jià)的論域?yàn)閇0,3]，假設(shè)各專家對(duì)科技綜合勢(shì)力評(píng)價(jià)重要性相同，即專家評(píng)判權(quán)重相同.利用3.2得到總的灰色判斷矩陣如下

相應(yīng)的核矩陣為

5 結(jié)束語

本文基于區(qū)間灰數(shù)的灰度和核的特征，建立了灰色層次分析法.基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)灰色層次法不僅沒有破壞原有層次分析法的可操作性，而且新的模型更貼合實(shí)際情況，更符合人的認(rèn)知規(guī)律.經(jīng)過實(shí)例驗(yàn)證，該方法切實(shí)可行.為今后層次分析法的應(yīng)用有提供了一個(gè)新的途徑.

〔1〕中國系統(tǒng)工程學(xué)會(huì)決策科學(xué)專業(yè)委員會(huì)編.決策科學(xué)與應(yīng)用[M].北京:海洋出版社,1996.

〔2〕謝乃明,劉思峰.灰色層次分析法及其定位求解[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào),2004,3(1).

〔3〕劉思峰,方志耕,謝乃明.基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算法則[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2010,32(2):313-316.

〔4〕劉思峰,黨耀國,等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用 [M].北京:科學(xué)出版社,2010.

〔5〕Wu Honghua, Mu Yong.Aggregation operators of interval grey numbers and their use in grey multi-attribute decision-making [S].2012 International Conference on Emerging Technologies for Information Systems, Computing, and Management.2012.

O22

A

1673-260X（2014）03-0004-02

濟(jì)南大學(xué)科技發(fā)展基金（XKY1205）