蔡保佩， 易平

(大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部土木工程學(xué)院，遼寧大連116024)

0 引言

剛架[1]是目前較為廣泛采用的一種建筑結(jié)構(gòu)形式，在越來(lái)越多的建筑工程領(lǐng)域得到采用．剛架及其組合結(jié)構(gòu)由于受力、內(nèi)力復(fù)雜，截面自由度多等特點(diǎn)比桁架結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多，故對(duì)剛架的研究比桁架的研究要困難的多．近年來(lái)，隨著鋼結(jié)構(gòu)使用的越來(lái)越廣泛，針對(duì)剛架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題，國(guó)內(nèi)外設(shè)計(jì)和研究單位已經(jīng)開展了一些研究工作，并取得了一些研究成果[1～2]．Haug 和 Arora[3]用矩陣力法對(duì)剛架進(jìn)行優(yōu)化研究，實(shí)現(xiàn)材料重量的最小化．朱伯芳[4]針對(duì)有應(yīng)力約束的剛架問題，首先求出剛架的截面A、慣性矩I和截面模量W，進(jìn)而通過整體分析得到各個(gè)構(gòu)件的最大應(yīng)力，最終完成剛架的有應(yīng)力約束的優(yōu)化．佟維[5]利用遺傳算法．提出取剛架截面尺寸為設(shè)計(jì)變量，結(jié)構(gòu)體積為目標(biāo)函數(shù)，求全局最優(yōu)解的概念．劉鵬[6]采用遺傳算法，針對(duì)門式剛架，進(jìn)行了包括離散和連續(xù)變量的截面形狀混合優(yōu)化，通過實(shí)例證明遺傳算法應(yīng)用于門式剛架的優(yōu)化設(shè)計(jì)是可行的．吳科等[7]采用蟻群算法對(duì)3跨24層168根桿件的鋼框架的結(jié)構(gòu)質(zhì)量進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，論證了蟻群算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的良好的實(shí)用價(jià)值．本文以剛架或剛架與桁架組合結(jié)構(gòu)的截面尺寸為設(shè)計(jì)變量，在材料性質(zhì)、荷載已知的情況下，進(jìn)行有應(yīng)力約束和位移約束的結(jié)構(gòu)重量或體積最小化．主要利用了粒子群優(yōu)化算法，并將其優(yōu)化結(jié)果與改進(jìn)的可行域算法(MMFD)、序列線性算法(SLP)、序列二次規(guī)劃(SQP)等傳統(tǒng)優(yōu)化算法的結(jié)果進(jìn)行比較．

1 粒子群優(yōu)化算法簡(jiǎn)介

粒子群優(yōu)化算法(PSO)是一種基于群智能方法的演化計(jì)算技術(shù)，于1995由Kennedy和Eennedy提出，算法模擬鳥群飛行覓食的行為，通過鳥之間的集體協(xié)作使群體達(dá)到最優(yōu)．該方法初值由程序隨機(jī)選取，群體解空間中追隨最優(yōu)粒子進(jìn)行搜索，容易實(shí)現(xiàn)，同時(shí)又有深刻的智能背景，既適合科學(xué)研究，又特別適合工程應(yīng)用[8～9]．

圖1 八層剛架的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖

圖2 型鋼截面尺寸示意圖

其中w為慣性權(quán)重，采用線性變化的慣性權(quán)重，c1，c2是正的實(shí)常數(shù)，稱為加速因子，本文取為2．05;r1，r2為[0，1]中均勻分布的隨機(jī)數(shù)[10～12]．本文PSO的計(jì)算參數(shù)選擇如下:粒子群數(shù)ps=300，最大迭代次數(shù)T=400，c1=c2=2．05;

2 優(yōu)化模型的建立及程序的運(yùn)行步驟

剛架結(jié)構(gòu)不僅要承受軸力、剪力，還要承受彎矩，截面受力復(fù)雜，本文利用求取最大應(yīng)力．同時(shí)由于本文采用的有限元程序僅可計(jì)算出桿單元兩端的軸力、剪力和彎矩，故在實(shí)際桿的兩端、剪力為零處、集中力作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)等處設(shè)置結(jié)點(diǎn)，從而有望求出整個(gè)剛架結(jié)構(gòu)內(nèi)的最大應(yīng)力．

優(yōu)化模型如下:

程序運(yùn)行步驟如下:

(1)給定各設(shè)計(jì)變量初值(PSO不用給定初值，為隨機(jī)取值);

(2)有限元程序讀入各設(shè)計(jì)變量的初值;

我右手邊的墻上是一個(gè)小女孩的關(guān)節(jié)造影，她的父母在那次車禍中雙雙辭世，她被推進(jìn)手術(shù)室，診斷結(jié)果她右大腿肌肉壞死嚴(yán)重，只能高位截肢，我為她做了右髖關(guān)節(jié)離斷術(shù)，這意味著她以后右腿將無(wú)法安裝假肢。她的高燒不退，當(dāng)我走到她的病床邊，她問我，能否握著我的手睡覺，我點(diǎn)點(diǎn)頭，她稚嫩的手指勾著我的手，手上還掛著一只小娃娃。她說(shuō)見到小娃娃就好像見到了死去的爸爸媽媽，她不時(shí)地睜開眼確定我在她身邊，才又睡去。

(3)有限元程序計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值、最大應(yīng)力及最大位移;

(4)優(yōu)化程序?qū)ψ畲髴?yīng)力、最大位移等約束條件進(jìn)行檢驗(yàn)，同時(shí)根據(jù)一定的尋優(yōu)規(guī)則確定新的設(shè)計(jì)點(diǎn);

(5)重復(fù)過程(3)和(4)，直至滿足某項(xiàng)終止準(zhǔn)則結(jié)束迭代．

3 算例

本文基于PSO算法依次對(duì)八層剛架結(jié)構(gòu)、平面剛架與桁架組合結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺寸優(yōu)化．同時(shí)將所得結(jié)果與MMFD，SLP，SQP三種傳統(tǒng)優(yōu)化算法的結(jié)果進(jìn)行比較．約束條件＞0．001視為違反約束，最大迭代次數(shù)均為100．

3．1 平面剛架結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化

如圖1所示八層平面剛架，選自文獻(xiàn)[13]．左側(cè)結(jié)點(diǎn)均受一個(gè)大小如圖示的集中力，同時(shí)每個(gè)結(jié)點(diǎn)均受一個(gè)大小為444．8 kN的集中力，各單元的彈性模量E=200GPa，材料密度為ρ=76．8 kN/m3，要求頂端位移不超過0．0508 m．選取各類截面面積為設(shè)計(jì)變量，截面面積分類如圖1示，具有相同數(shù)字的各桿具有相同的截面面積．截面為H型截面，截面形式如圖2所示，截面寬度B不得小于0．05 m，不得大于0．5 m，截面高度H不得小于0．1 m，不得大于1m，截面高寬比B/H不得小于1，不得大于10．優(yōu)化結(jié)構(gòu)使總重量最?。?/p>

本題中剛架為H型鋼，截面比較復(fù)雜，故采用一定的簡(jiǎn)化措施[14]．腹板與翼緣的厚度選用經(jīng)驗(yàn)公式

截面面積A的表達(dá)式為

故設(shè)計(jì)變量?jī)H剩下截面寬度B與截面高度H．

其優(yōu)化模型可表示為:

注意:式中l(wèi)i是結(jié)構(gòu)中截面面積為Ai的各桿單元長(zhǎng)度之和．

本算例分別使用四種不同的優(yōu)化方法進(jìn)行了五次優(yōu)化，PSO算法初值五次均有由程序隨機(jī)選取，三種傳統(tǒng)算法的初值分別為:J1(最小值)、J2(最小值與最大值四分之一點(diǎn)處)、J3(最小值與最大值中點(diǎn)處)、J4(最小值與最大值四分之三點(diǎn)處)、J5(最大值)．四種不同方法五次優(yōu)化的最終優(yōu)化結(jié)果如表1所示:

表1 八層剛架的不同方法優(yōu)化目標(biāo)值對(duì)比

由表1 可知，MMFD，SLP，SQP，PSO 算法的五次優(yōu)化均能得到較好的可行解，但總體比較而言，PSO算法的五個(gè)結(jié)果更加接近，相對(duì)優(yōu)于其他幾種方法，充分說(shuō)明了在八層剛架的優(yōu)化過程中，PSO算法相對(duì)傳統(tǒng)算法具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性．

針對(duì)不同方法在五次優(yōu)化中選取最佳結(jié)果，其各個(gè)變量的對(duì)比如表2所示:

表2 八層剛架的不同方法最優(yōu)結(jié)果對(duì)比

1 00 2 9．21 59．65 8．00 60．76 10．80 56．78 10．07 59．50 3 8．12 50．35 7．27 51．79 9．13 49．11 5．54 52．12 4 7．02 42．33 5．93 42．76 6．36 43．53 6．65 43．12 5 9．93 62．22 9．35 63．53 9．95 62．34 9．19 63．11 6 9．78 64．96 9．73 64．85 10．03 64．04 9．74 63．47 7 9．61 60．51 8．62 62．07 9．65 60．50 10．31 59．63 8 7．85 48．37 5．02 52．10 7．98 48．31 7．97 47．46 12．05 70．00 12．32 70．00 12．09 69．99 12．66 70．25．868 25．892 25．871 25．904最大位移(m)總重(kN)0．050784 0．050812 0．050822 0．050769

由表2可知，PSO，MMFD，SLP，SQP算法的最優(yōu)結(jié)果均符合約束條件的要求，約束偏差均在0．001內(nèi)，視為滿足約束．同時(shí)比較四種算法的結(jié)果，PSO算法的總重量最小，充分說(shuō)明了在八層剛架的優(yōu)化過程中，PSO算法相較傳統(tǒng)算法具有較好的收斂性．

同時(shí)文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)[8]中也給出了優(yōu)化的最終結(jié)果，并對(duì)其進(jìn)行了型鋼的選取，PSO算法先按連續(xù)變量求取最優(yōu)解，然后參照型鋼表選取型鋼的結(jié)果與原文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比如表3所示:

表3 選取型鋼截面對(duì)比

由表3可知，通過PSO算法先按連續(xù)變量求取最優(yōu)解，然后參照型鋼表選取型鋼，最大位移均在0．0508范圍內(nèi)，完全符合要求，同時(shí)用鋼量比文獻(xiàn)所用方法更加節(jié)省．充分說(shuō)明了PSO算法在八層鋼架優(yōu)化過程中的正確性、有效性．

3．2 平面剛架與桁架組合結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化

圖3 組合結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖

如圖3所示組合結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)由相同材料組成，材料彈性模量E=210 GPa，許用應(yīng)力為25 MPa．各節(jié)點(diǎn)的橫向、豎向位移均不得超過0．02 m，選取各類截面面積為設(shè)計(jì)變量(圖3中橫梁1與2，立柱3與4分別采用相同的截面面積)，各桿截面面積不得小于1E－04 m2，不得大于6E－02m2，優(yōu)化結(jié)構(gòu)使總體積最?。?/p>

組合結(jié)構(gòu)兼有桁架與剛架的性質(zhì)，在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用十分廣泛．結(jié)構(gòu)中有一部分桿只承受軸向力，一部分桿卻受力復(fù)雜，圖2中橫梁1上有彎矩最大點(diǎn)，選取該點(diǎn)及各桿桿端為結(jié)點(diǎn)，該結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)的序號(hào)、桿的序號(hào)以及各自的自由度如圖4所示．

圖4 組合結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)及結(jié)點(diǎn)自由度示意圖

其優(yōu)化模型可表示為:

注意:式中l(wèi)i是結(jié)構(gòu)中截面面積為Ai的各桿單元長(zhǎng)度之和．

和例題1一樣，本算例也分別使用四種不同的優(yōu)化方法進(jìn)行了五次優(yōu)化，其最終優(yōu)化結(jié)果如表4所示:

表4 組合結(jié)構(gòu)不同方法目標(biāo)值對(duì)比

注意:“－”代表局部收斂，“×”代表違反約束

由表4可知，SLP算法在初值取J3時(shí)得不到可行解，SQP算法在初值取J2、J4時(shí)不能得到可行解，在初值取J5時(shí)陷入局部收斂，而PSO算法的五次計(jì)算均能得到可行解，且五個(gè)結(jié)果都很接近，充分說(shuō)明了在平面剛架與桁架組合結(jié)構(gòu)的優(yōu)化過程中，PSO算法相對(duì)傳統(tǒng)算法具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性．針對(duì)不同方法在五次優(yōu)化中選取最佳結(jié)果，其各個(gè)變量的對(duì)比如表5所示:

表5 組合結(jié)構(gòu)不同方法最優(yōu)結(jié)果對(duì)比

由表5可知，PSO，MMFD，SQP算法的最優(yōu)結(jié)果均符合約束條件的要求，最大應(yīng)力約束偏差均在0．001內(nèi)，最大位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足約束，視為應(yīng)力約束、位移約束均得到滿足．充分說(shuō)明了在平面剛架與桁架組合結(jié)構(gòu)的優(yōu)化過程中，PSO算法具有很好的收斂性．

4 結(jié)論

本文運(yùn)用粒子群優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)了平面剛架結(jié)構(gòu)及組合結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，同時(shí)運(yùn)用MMFD，SLP，SQP等傳統(tǒng)算法進(jìn)行優(yōu)化結(jié)果的比較，主要結(jié)論如下:

(1)平面剛架結(jié)構(gòu)及平面組合結(jié)構(gòu)由于受力、內(nèi)力更復(fù)雜，故其優(yōu)化相對(duì)桁架結(jié)構(gòu)要復(fù)雜的多;而粒子群優(yōu)化算法可以較好地解決平面剛架及平面組合結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化問題;

(2)粒子群優(yōu)化算法相對(duì)傳統(tǒng)優(yōu)化算法MMFD，SLP，SQP有更好的全局收斂性與穩(wěn)定性，其優(yōu)化結(jié)果不依賴于初值的選取，可以更加有效地避免局部收斂，于現(xiàn)實(shí)工程更有意義．

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