李成嚴(yán)，林英麗，趙紹航

1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150001

2.哈爾濱理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150080

供應(yīng)鏈庫(kù)存的模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型

李成嚴(yán)1，2，林英麗2，趙紹航2

1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150001

2.哈爾濱理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150080

研究了不確定環(huán)境下的供應(yīng)鏈庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題?？紤]需求為模糊量，且可能在一定條件下不滿足約束條件的決策前提，用三角模糊數(shù)表示需求，結(jié)合可能性理論中的可信性測(cè)度，建立了多品種聯(lián)合補(bǔ)充的模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型，目標(biāo)函數(shù)為最小化供應(yīng)鏈訂貨成本和庫(kù)存成本的期望值。用遺傳算法對(duì)優(yōu)化模型求解，以目標(biāo)函數(shù)值作為染色體適應(yīng)度，給出了編碼方案及選擇、交叉、變異算子。用數(shù)值實(shí)例進(jìn)行了仿真計(jì)算，證明了模型和算法的有效性和性能，并給出了不同置信水平下的計(jì)算結(jié)果。

供應(yīng)鏈管理；聯(lián)合補(bǔ)充問(wèn)題；模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃；三角模糊數(shù)；遺傳算法

1 引言

經(jīng)濟(jì)全球化帶來(lái)的競(jìng)爭(zhēng)壓力使各企業(yè)不斷提高供應(yīng)鏈庫(kù)存管理水平以降低運(yùn)行成本。多個(gè)供應(yīng)商之間的多品種聯(lián)合補(bǔ)充問(wèn)題（Joint Replenishment Problem，JRP）就是在多品種庫(kù)存補(bǔ)充過(guò)程中確定每種產(chǎn)品的訂貨批量大小及訂貨周期，從而在滿足需求的前提下最小化單位時(shí)間內(nèi)的總成本。研究表明，聯(lián)合補(bǔ)充可以有效地降低供應(yīng)鏈庫(kù)存成本[1]。

針對(duì)實(shí)際供應(yīng)鏈庫(kù)存中普遍存在的不確定性，文獻(xiàn)[2]將具有隨機(jī)需求和資源約束的JRP問(wèn)題用差分進(jìn)化算法進(jìn)行求解；文獻(xiàn)[3]運(yùn)用模糊規(guī)劃求解了模糊需求下的聯(lián)合補(bǔ)充問(wèn)題，由已知模糊集的隸屬函數(shù)求出相應(yīng)的模糊目標(biāo)函數(shù)的隸屬函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為是目標(biāo)函數(shù)并求解。但是，模糊規(guī)劃模型對(duì)約束條件只是做了模糊處理，卻缺少對(duì)模糊事件發(fā)生的可能程度的度量。

模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型用于描述模糊事件發(fā)生的可能程度。其基本思想是允許所做的決策在某種程度上不滿足約束條件，但是模糊約束條件成立的可能性不小于決策者預(yù)先給定的置信水平[4]；文獻(xiàn)[5]又進(jìn)一步提出可信性測(cè)度，具有自對(duì)偶特性，在某些方面優(yōu)于可能性測(cè)度。目前，模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃已應(yīng)用于庫(kù)存控制[6-7]、產(chǎn)品組合[8]、電力[9]、金融[10]、物流[11]等工程領(lǐng)域。

遺傳算法以其擅長(zhǎng)全局搜索，具有高度魯棒性，避免在最優(yōu)解附近徘徊等優(yōu)勢(shì)，在解決JRP的問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用[12]。文獻(xiàn)[13]結(jié)果表明遺傳算法求解過(guò)程中效率較高。文獻(xiàn)[14]表明遺傳算法在尋優(yōu)能力，穩(wěn)定性和運(yùn)算速度上優(yōu)于克隆選擇算法和粒子群算法。

本文采用模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃來(lái)討論不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈庫(kù)存問(wèn)題。用三角模糊數(shù)表示模糊需求，針對(duì)多品種的獨(dú)立庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行分析，建立模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型，并用遺傳算法進(jìn)行求解，目標(biāo)是最小化庫(kù)存總成本并確定訂貨周期。

2 用模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型求解JRP問(wèn)題

2.1 聯(lián)合補(bǔ)充問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

聯(lián)合補(bǔ)充模型主要假設(shè)如下：

產(chǎn)品的總資源不確定；

年需求為模糊數(shù)，用三角模糊數(shù)來(lái)表示；

庫(kù)存補(bǔ)充時(shí)間為基本補(bǔ)充周期的整數(shù)倍數(shù)；

模型不考慮缺貨損失。

主要符號(hào)如下：

ki為每種產(chǎn)品相對(duì)于基本補(bǔ)充周期的倍數(shù)；

si為產(chǎn)品i在每個(gè)基本補(bǔ)充周期的次要準(zhǔn)備成本；

hi為單位庫(kù)存持有成本系數(shù)；

bi為第i中產(chǎn)品的單價(jià)；

S為每個(gè)基本補(bǔ)充周期的主要準(zhǔn)備成本；

n為聯(lián)合訂購(gòu)的品種數(shù)；

T為基本補(bǔ)充周期；

B為資金確定值。

將每種產(chǎn)品的需求看作模糊量Di，在實(shí)際決策中，Di的可能范圍為[a-d，a+d]，d為一彈性因子，表示不確定的波動(dòng)范圍，而[a，b]為Di的最可能范圍值。采用模糊集的思想，將這種不確定需求用三角模糊數(shù)來(lái)表示，式（1）為年需求的模糊隸屬度函數(shù)：

其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形為如圖1所示。

圖1 年需求模糊隸屬度函數(shù)

結(jié)合文獻(xiàn)[3]中的確定性聯(lián)合補(bǔ)充模型如公式（2）（3）所示，式（4）為模糊資源約束，表示在單位時(shí)間內(nèi)訂貨不超過(guò)資金上限，式（1）至（5）構(gòu)成了模糊需求的聯(lián)合補(bǔ)充問(wèn)題模型，依據(jù)該模型再根據(jù)文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[15]，設(shè)表示模糊需求下的庫(kù)存成本，將目標(biāo)函數(shù)當(dāng)成機(jī)會(huì)約束對(duì)待，模糊目標(biāo)函數(shù)，可推導(dǎo)出本文所需的基于可行性測(cè)度的模糊機(jī)會(huì)約束模型如下：

因此總成本可表示成：

2.2 遺傳算法求解模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型

遺傳學(xué)是生物學(xué)的重要分支，主要研究基因進(jìn)化以及其帶來(lái)的影響。遺傳算法將生物進(jìn)化理論與最優(yōu)化技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)有機(jī)結(jié)合在一起，遺傳算法以其自身優(yōu)勢(shì)在解決JRP問(wèn)題中得到廣泛的應(yīng)用。因此本文采用遺傳算法對(duì)模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型進(jìn)行求解，基本補(bǔ)充周期長(zhǎng)度T和產(chǎn)品相對(duì)于基本補(bǔ)充周期的倍數(shù)ki是需要確定的決策變量，根據(jù)文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)如下步驟：

（1）編碼。根據(jù)有意義的最小字符集編碼規(guī)則和積木塊編碼規(guī)則，將決策變量n用整數(shù)表示，編碼的長(zhǎng)度為n，也就是對(duì)n個(gè)周期乘子(k1，k2，…，kn)進(jìn)行整數(shù)編碼，其中n為聯(lián)合補(bǔ)充物料的種類。對(duì)于策變量T可由公式（8）計(jì)算得出。由于在一個(gè)基本補(bǔ)充周期內(nèi)每種產(chǎn)品至少補(bǔ)充1次，所以不比計(jì)算ki的下限kiLB，其值為1；而上界k是要滿足條件(k+1)，其中要求由于ki不會(huì)受交叉和變異的影響，只是在可行域內(nèi)取值，因此可以取n個(gè)隨機(jī)整數(shù)來(lái)進(jìn)行編碼。

（3）生成初始群體。定義pop_size為染色體個(gè)數(shù)，并隨機(jī)產(chǎn)生pop_size個(gè)初始的染色體作為初始群體。

（4）適應(yīng)值函數(shù)。適應(yīng)值函數(shù)是基于目標(biāo)函數(shù)來(lái)確定并區(qū)分群體中個(gè)體好壞的標(biāo)準(zhǔn)，是選擇操作的依據(jù)。本文目標(biāo)函數(shù)TC為最小化總成本，則每個(gè)染色體的適應(yīng)值函數(shù)為：

（5）選擇。采用賭輪方法選擇算子，每個(gè)個(gè)體進(jìn)入下一代的概率依據(jù)適應(yīng)度值與整個(gè)種群中個(gè)體適應(yīng)度值總和的比例。個(gè)體適應(yīng)值越高，被選中的可能性則越大。

（6）交叉。交叉操作是遺傳的核心，采用由二進(jìn)制編碼演變的單點(diǎn)交叉。其操作過(guò)程是隨機(jī)選取斷點(diǎn)，然后選取第二個(gè)、第一個(gè)雙親的斷點(diǎn)后部分作為后代的一部分，再?gòu)牡谝粋€(gè)、第二個(gè)雙親中按順序選取合法基因填充余下部分，即要保證每個(gè)[1，n]之間的自然數(shù)在染色體中只出現(xiàn)m次，這樣可避免產(chǎn)生非法個(gè)體。例如：

隨機(jī)選擇交叉位置5（由隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生）：

（7）變異。變異操作是生物進(jìn)化的總要組成部分采用單點(diǎn)變異法。從步驟（5）、（6）所生成的交配池中，按變異概率選擇個(gè)體，隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)變異的基因位，對(duì)該位置的基因進(jìn)行變異，新基因的范圍為1≤Gene(i)≤k。

（8）終止循環(huán)條件。以預(yù)先設(shè)定的最大進(jìn)化代數(shù)Nmax作為停止循環(huán)條件。

3 數(shù)值實(shí)例

本文用VC++實(shí)現(xiàn)所提出的模型，當(dāng)需求Di為三角模糊數(shù)時(shí)，設(shè)a=Di，彈性因子d=0.1Di，各種產(chǎn)品的需求率Di最可能值為在[a-d，a+d]范圍內(nèi)。采用文獻(xiàn)[3]中數(shù)值實(shí)例，如表1所示，設(shè)某企業(yè)對(duì)六種產(chǎn)品進(jìn)行聯(lián)合補(bǔ)充，其中主要成本S=$200，每個(gè)補(bǔ)充周期可用資金上限B=$25 000，目標(biāo)為確定決策變量并使總成本值最小。

表1 實(shí)例數(shù)據(jù)

遺傳算法的參數(shù)設(shè)置為：種群大小為POPSIZE=30，變異概率為Pm=0.2，交叉概率為Pc=0.3，迭代次數(shù)為100次。當(dāng)置信水平α=0.9，β=0.9時(shí)，得到的結(jié)果如表2所示。

表2 計(jì)算結(jié)果

求解過(guò)程中，達(dá)到最好解的平均迭代次數(shù)為8，算法的效率是比較高的。表2中的結(jié)果表示基本補(bǔ)充周期的長(zhǎng)度為0.168 4，對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品1～6的補(bǔ)充周期分別為基本補(bǔ)充周期的1，1，1，2，2，4倍，最優(yōu)總成本為$4 341.845 0，大于文獻(xiàn)[3]實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最優(yōu)總成本$4 331.003 1，這是由于不確定因素越來(lái)越多導(dǎo)致的。為了得到更多數(shù)據(jù)，當(dāng)α在[0.5，0.9]區(qū)間取值，β=0.9時(shí)，得到的結(jié)果如表3所示。

表3 不同置信水平計(jì)算結(jié)果比較

由表3的結(jié)果可知，置信水平α在[0.5，0.9]區(qū)間的值越大，聯(lián)合補(bǔ)充庫(kù)存成本越高，證明了算法的有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要針對(duì)聯(lián)合補(bǔ)充問(wèn)題中每種產(chǎn)品需求率進(jìn)行研究，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用，利用模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃的思想，用模糊變量表示每種產(chǎn)品的需求率，建立了聯(lián)合補(bǔ)充問(wèn)題的模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型，利用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解，并采用數(shù)值實(shí)例證明了模型和算法的有效性。實(shí)現(xiàn)了企業(yè)決策者可以通過(guò)主觀經(jīng)驗(yàn)判斷而非客觀概率來(lái)確定模糊需求的聯(lián)合補(bǔ)充問(wèn)題，本文資源約束的可信性以及對(duì)目標(biāo)函數(shù)機(jī)會(huì)約束處理后的可信性達(dá)到?jīng)Q策者設(shè)定值時(shí)，得到的補(bǔ)充周期和庫(kù)存總成本，即為基于模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型的聯(lián)合補(bǔ)充問(wèn)題。所得結(jié)果可以為實(shí)際應(yīng)用提供依據(jù)。

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LI Chengyan1，2,LIN Yingli2,ZHAO Shaohang2

1.School of Computer Science and Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China
2.School of Computer Science and Technology, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China

Abstract：Supply chain inventory optimization problem under uncertain environment is concerned. Fuzzy chance constrained programming model for multi-item joint replenishment is thus proposed, which can take into account fuzzy demand quantity, as well as the constrained conditions are not satisfied to a certain degree. Demand quantity is a triangular fuzzy number, combined with the possibility of credibility measure theory. The objective function is to minimize the expected discounted cost of ordering and inventories in the supply chain. Genetic Algorithm（GA）is used to solve the obtained optimalityconditions equations, and the fitness function value of the chromosome is the objective value of fuzzy chance constrained programming model. Chromosome coding, selection, crossover and mutation operations are also studied. The feasibility of the model and the effectiveness of the algorithm are illustrated by simulation numerical examples. Some results under different probability level are presented and discussed.

supply chain management; joint replenishment problem; fuzzy chance constrained programming; triangular fuzzy number; genetic algorithm

LI Chengyan, LIN Yingli, ZHAO Shaohang. Fuzzy chance constrained programming model for supply chain inventory.Computer Engineering and Applications, 2014, 50（17）：241-244.

A

TP399

10.3778/j.issn.1002-8331.1311-0468

哈爾濱市攻關(guān)項(xiàng)目（No.2011AA 1CG063）；黑龍江省教育廳資助項(xiàng)目（No.12541142）。

李成嚴(yán)（1972—），男，在讀博士，教授，研究領(lǐng)域?yàn)槠髽I(yè)智能計(jì)算；林英麗（1989—），女，碩士研究生；趙紹航（1989—），男，碩士研究生。E-mail：linyinglide@163.com

2013-12-02

2014-03-13

1002-8331（2014）17-0241-04