摘要：新企業(yè)會計(jì)準(zhǔn)則規(guī)定，借款或債券的溢折價等只能采用實(shí)際利率法攤銷，采用實(shí)際利率法攤銷的關(guān)鍵之一便是確定實(shí)際利率亦即內(nèi)部收益率?，F(xiàn)行計(jì)算內(nèi)部收益率的方法為插值法或Excel環(huán)境下的插入函數(shù)法，插值法計(jì)算過程繁瑣，插入函數(shù)法需要借助計(jì)算機(jī)。為達(dá)到簡化計(jì)算，本文針對未來各期現(xiàn)金流量相等即具有年金特征的情形，提出年金現(xiàn)值率的概念，根據(jù)內(nèi)部收益率計(jì)算原理建立數(shù)學(xué)模型，借助計(jì)算機(jī)編程，利用“二分法”列方程求解實(shí)根，得到具有年金特征的各種組合情況下的內(nèi)部收益率，并將內(nèi)部收益率計(jì)算結(jié)果設(shè)計(jì)成表格形式。針對具體問題而言，直接查表便可得到所需的內(nèi)部收益率，從而克服了插值法計(jì)算內(nèi)部收益率的復(fù)雜性。

關(guān)鍵詞：年金 年金現(xiàn)值率 插值法 內(nèi)部收益率

一、引言及文獻(xiàn)回顧

借款或債券的溢折價攤銷方法有直線法和實(shí)際利率法。直線法就是將溢折價在借款期內(nèi)或債券存續(xù)期內(nèi)平均攤銷，簡明易懂，在會計(jì)實(shí)務(wù)中被廣泛采用。根據(jù)我國新會計(jì)準(zhǔn)則，借款或債券的溢折價等不再使用直線法而只能采用實(shí)際利率法攤銷。實(shí)際利率法體現(xiàn)了投資收益與籌資成本同實(shí)際收益率之間的關(guān)系，但其計(jì)算過程比較復(fù)雜。

對于實(shí)際利率法涉及的如何簡化攤銷額或利息調(diào)整計(jì)算問題，吳良海分別給出了分期付息到期還本債券和到期一次還本付息債券各期溢（折）價攤銷額的計(jì)算公式；呂志明給出了債券溢（折）價攤銷模型；張敦力等給出了基于實(shí)際利率法的利息調(diào)整Excel解決方案。對于實(shí)際利率法涉及的實(shí)際利率即內(nèi)部收益率計(jì)算問題，袁小明等根據(jù)插值法的原理，給出了內(nèi)部收益率的計(jì)算模型；榮莉研究了用Excel計(jì)算內(nèi)部收益率和相關(guān)投融資費(fèi)用或收益的攤銷；王婧通過模型的一般化表述，給出了內(nèi)部收益率的抽象函數(shù)；肖琳利用金融工具箱實(shí)現(xiàn)了對持有至到期投資中的內(nèi)部收益率計(jì)算，并通過Matlab的Excellink功能提供了對Excel的命令接口，最后在Excel中實(shí)現(xiàn)了求解持有至到期投資收益計(jì)算的通用模型。

現(xiàn)有研究都是針對某一具體問題，從理論上給出了各期攤銷額或利息調(diào)整的計(jì)算公式，或通過模型求解內(nèi)部收益率。運(yùn)用實(shí)際利率法攤銷的關(guān)鍵之一就是確定內(nèi)部收益率，除了通過Excel應(yīng)用軟件可以達(dá)到內(nèi)部收益率的簡化計(jì)算外，其余研究中的內(nèi)部收益率計(jì)算都還沒有脫離插值法，采用插值法計(jì)算內(nèi)部收益率，需要進(jìn)行多次試算，還要借助年金現(xiàn)值系數(shù)表、復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表，計(jì)算過程繁瑣。本文的目的，就是假定未來各期現(xiàn)金流量相等即具有年金特征，通過年金現(xiàn)值率概念的提出，利用“二分法”列方程求解實(shí)根，借助計(jì)算機(jī)編程，得到具有年金特征的各種組合情況下的內(nèi)部收益率，并將內(nèi)部收益率計(jì)算結(jié)果設(shè)計(jì)成表格形式，從而克服了插值法計(jì)算內(nèi)部收益率的復(fù)雜性。

二、問題描述及相關(guān)假設(shè)

為了簡化計(jì)算模型，本文所研究問題的內(nèi)部收益率是指未來各期現(xiàn)金流入或流出的金額相等，并假定在不考慮資金時間價值時，未來現(xiàn)金流入或流出的合計(jì)大于現(xiàn)值。以下用P表示未來現(xiàn)金流入或流出的金額即年金，A表示現(xiàn)值，n表示期限數(shù)，則具有年金特征的內(nèi)部收益率業(yè)務(wù)現(xiàn)金流量如圖1所示：

下列具體會計(jì)準(zhǔn)則所涉及業(yè)務(wù)的內(nèi)部收益率均具備年金特征：

（一）固定資產(chǎn)準(zhǔn)則中涉及的具有融資性質(zhì)的分次等額支付貨款的采購業(yè)務(wù)。企業(yè)購買固定資產(chǎn)的價款超過正常信用條件延期支付，具有融資性質(zhì)的，應(yīng)以購買價款的折現(xiàn)值作為固定資產(chǎn)的入賬價值。將來實(shí)際支付的價款與購買價款的現(xiàn)值之間的差額，除按照借款費(fèi)用準(zhǔn)則允許資本化的以外，應(yīng)當(dāng)在信用期間內(nèi)按實(shí)際利率法攤銷計(jì)入財(cái)務(wù)費(fèi)用。

（二）無形資產(chǎn)準(zhǔn)則中涉及的具有融資性質(zhì)的分次等額支付價款的購買業(yè)務(wù)。企業(yè)購買無形資產(chǎn)的價款超過正常信用條件延期支付，具有融資性質(zhì)的，應(yīng)以購買價款的折現(xiàn)值作為固定資產(chǎn)的入賬價值。將來實(shí)際支付的價款與購買價款的現(xiàn)值之間的差額，除按照借款費(fèi)用準(zhǔn)則允許資本化的以外，應(yīng)當(dāng)在信用期間內(nèi)按實(shí)際利率法攤銷計(jì)入財(cái)務(wù)費(fèi)用。

（三）借款費(fèi)用準(zhǔn)則中涉及的一次借款分期等額償還的信貸業(yè)務(wù)。借款存在溢價或者折價的，其溢價或折價應(yīng)在借款期內(nèi)按實(shí)際利率法攤銷，調(diào)整每期利息金額。

（四）收入準(zhǔn)則中涉及的具有融資性質(zhì)的分次等額收取貨款的銷售業(yè)務(wù)。企業(yè)銷售商品采取遞延方式收取貨款且具有融資性質(zhì)的，應(yīng)按現(xiàn)銷價款確定銷售收入，合同或協(xié)議應(yīng)收的價款與現(xiàn)銷價款之間的差額，應(yīng)當(dāng)在合同或協(xié)議期間內(nèi)按實(shí)際利率法攤銷計(jì)入財(cái)務(wù)費(fèi)用。

（五）租賃準(zhǔn)則中涉及的租金等額收取或支付的融資租賃業(yè)務(wù)。承租方：租入資產(chǎn)的入賬價值按資產(chǎn)公允價值與最低租賃付款額現(xiàn)值兩者中較低者確定，長期應(yīng)收款按最低租賃付款額確定，兩者之間的差額作為未確認(rèn)融資費(fèi)用，在租賃期內(nèi)按實(shí)際利率法攤銷計(jì)入財(cái)務(wù)費(fèi)用。出租方：應(yīng)收融資租賃款的入賬價值按最低租賃收款額確定，假定無初始直接費(fèi)用和未擔(dān)保余值，最低租賃收款額與租出資產(chǎn)的原賬面價值之間的差額作為未實(shí)現(xiàn)融資收益，在租賃期內(nèi)按實(shí)際利率法攤銷計(jì)入財(cái)務(wù)費(fèi)用。

上述5項(xiàng)具體準(zhǔn)則所述業(yè)務(wù)涉及的實(shí)際利率，就是財(cái)務(wù)管理中項(xiàng)目投資的內(nèi)部收益率或內(nèi)含報(bào)酬率，這里的項(xiàng)目投資是指一次投資、分期等額收回的投資業(yè)務(wù)。內(nèi)部收益率就是使項(xiàng)目投資的現(xiàn)金流入現(xiàn)值與現(xiàn)金流出現(xiàn)值相等即凈現(xiàn)值等于零時的折現(xiàn)（貼現(xiàn)）率，反映投資項(xiàng)目的真實(shí)報(bào)酬率。

三、研究設(shè)計(jì)

設(shè)現(xiàn)值為P，各期現(xiàn)金流入或流出為A，期數(shù)為n，假定n×A>P。凈現(xiàn)值為零時的貼現(xiàn)率即內(nèi)部收益率i表達(dá)式如下：

P-[A/（1+A）+ A/（1+A）2+… A/（1+A）n]=0 （1）

當(dāng)n≥3時，從式（1）中無法求得i的計(jì)算公式。只能通過多次試算，求得i的近似值，這便是插值法，或通過Excel環(huán)境下的插入函數(shù)法計(jì)算得到i的值。為了實(shí)現(xiàn)內(nèi)部收益率i的快速計(jì)算，需另辟蹊徑。

式（1）化簡得到計(jì)算內(nèi)部收益率i的數(shù)學(xué)模型：endprint

P/A=[1-（1+i）-n]/i （2）

式（2）中的變量有2個：期限數(shù)n，現(xiàn)值與年金的比值P/A。其中，變量n的范圍是可控的，如可以設(shè)定為1，2，3，…；但變量P/A是不可控的，只能視具體問題計(jì)算確定。本文將P/A定義為年金現(xiàn)值比率或年金現(xiàn)值率。能否將變量P/A由不可控轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄬煽?，是首先需要研究的問題之一。

從式（2）不難看出，[1-（1+i）-n]/i 就是財(cái)務(wù)管理中的“1元的年金現(xiàn)值系數(shù)”?，F(xiàn)就討論的內(nèi)部收益率計(jì)算而言，當(dāng)n從1到30、i從1%到30%便可滿足大多數(shù)實(shí)際問題的需要，相當(dāng)于這樣一個范圍的項(xiàng)目投資：投資期在1至30年、實(shí)際收益率在1%至30%之間。當(dāng)然，n和i的范圍完全可以繼續(xù)擴(kuò)大。通過觀察“1元的年金現(xiàn)值系數(shù)表”，n從1至30、i從1%至30%范圍內(nèi)的年金現(xiàn)值系數(shù)，最小值是（P/A，32%，1）=0.7576，最大值是（P/A，1%，30）=25.8077，因此，可以將P/A界定在0.7576至25.8077之間。以下將年金現(xiàn)值率P/A設(shè)定為0.75，0.76，0.77，…，25.80，25.81，相鄰兩個年金現(xiàn)值率之間的間隔為0.01。由于2個變量n和P/A都可以在一定范圍內(nèi)設(shè)定，因此可以利用這個設(shè)定來計(jì)算內(nèi)部收益率。

四、編程計(jì)算與實(shí)際利率表的設(shè)計(jì)制作

從數(shù)學(xué)角度看，當(dāng)n=1，2時，從式（2）可以求得i的計(jì)算公式，但當(dāng)n≥3時，便無法從式（2）中求出實(shí)際利率i的計(jì)算公式。

設(shè)f（i）=[1-（1+i）-n]/i-P/A，應(yīng)用“二分法”解方程f（i）=0。手工計(jì)算工作量巨大甚至難以進(jìn)行，可運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程來求解此方程（此處略去求解實(shí)根的程序源代碼）。

通過程序的運(yùn)行，可得到期限數(shù)n=1，2，…，20 ；年金現(xiàn)值率P/A=0.75，0.76，…，25.81的內(nèi)部收益率i。i取小數(shù)點(diǎn)后四位，第五位四舍五入，凡i≤0的，因其無實(shí)際意義，計(jì)算結(jié)果以“-”表示，將整列都是“-”的列刪去。

將期限數(shù)n自表首從左向右排列，年金現(xiàn)值率P/A自表左從上往下排列。經(jīng)過整理得到內(nèi)部收益率計(jì)算結(jié)果的表格，稱為“年金特征的內(nèi)部收益率表”。由于該表篇幅太大，以下選取該表的部分結(jié)果進(jìn)行列示，見下頁表1。

本文將計(jì)算出的具有年金特征的內(nèi)部收益率記為IRR（P/A，n）。

這樣一來，對于具有年金特征的內(nèi)部收益率不需采用插值法或插入函數(shù)法計(jì)算，直接查表即可。另外，插值法由于在局部區(qū)間用直線近似代替曲線，計(jì)算的內(nèi)部收益率是一個近似值，存在一定誤差。而本文得到的內(nèi)部收益利率是利用“二分法”，通過計(jì)算機(jī)編程多次循環(huán)計(jì)算，其結(jié)果要比插值法更為精確。

五、實(shí)證檢驗(yàn)

（一）先看一個延期收款銷售的業(yè)務(wù)。某公司于2012年7月1日采用遞延收款方式向甲公司銷售一套設(shè)備，合同約定的銷售價格為2 000萬元，分5次于次年6月30日等額收取。該設(shè)備成本為1 540萬元。在現(xiàn)款銷售方式下，該設(shè)備的售價為1 600萬元。假定該公司發(fā)出商品時，其有關(guān)的增值稅納稅義務(wù)尚未發(fā)生；在合同約定的收款日期，發(fā)生有關(guān)的增值稅納稅義務(wù)。

通常情況下，該公司應(yīng)按從甲公司應(yīng)收或已收的合同或協(xié)議價款確定為收入，由于收取的貨款采取分期方式，具有融資性質(zhì)，相當(dāng)于甲公司在實(shí)現(xiàn)銷售收入的同時，為乙公司提供了1 600萬元、期限為5年、每年還本付息400萬元的融資合同，對由此產(chǎn)生的貨幣時間價值，需采用實(shí)際利率法進(jìn)行攤銷。

首先計(jì)算內(nèi)部收益率，設(shè)內(nèi)部收益率為i，用插值法計(jì)算：

400×年金現(xiàn)值系數(shù)（P/A，i，5）=1 600

當(dāng)i=7%時，上式左邊=400×4.1002=1 640.08>1 600

當(dāng)i=8%時，上式左邊=400×3.9927=1 597.08<1 600

采用插值法，列方程：（1 640.08-1 600）/（7%-i）=（1 640.08-1 597.08）/（7%-8%），解得i=7.93%。

上述業(yè)務(wù)涉及的內(nèi)部收益率屬于年金特征的內(nèi)部收益率，期限數(shù)n=5，年金現(xiàn)值率P/A=1 600/400=4，查“年金特征的內(nèi)部收益率表”，得到內(nèi)部收益率IRR（4，5）=0.0793=7.93%。

查表得到的結(jié)果與插值法計(jì)算的結(jié)果完全一致。有關(guān)賬務(wù)處理略。

（二）再看一個有關(guān)項(xiàng)目投資的業(yè)務(wù)。某投資方案壽命期為6年，每年的凈現(xiàn)金流量均為10 000元，初始投資額為39 400元。要求：計(jì)算該方案的內(nèi)含報(bào)酬率。

先用插值法計(jì)算該方案的內(nèi)含報(bào)酬率i；內(nèi)含報(bào)酬率就是凈現(xiàn)值等于零的貼現(xiàn)率。

年金現(xiàn)值系數(shù)=39 400÷10 000=3.94

查年金現(xiàn)值系數(shù)表，可知內(nèi)含報(bào)酬率介于12%-14%之間。

當(dāng)i=12%時，凈現(xiàn)值=10 000×（P/A，12%，6）-39 400=1 714>0

當(dāng)i=14%時，凈現(xiàn)值=10 000×（P/A，14%，6）-39 400=-513<0

按等比關(guān)系列出方程：（i-12%）/（0-1 714）=（14%-12%）/（-513-1 714），解得i=0.1354即該方案的內(nèi)含報(bào)酬率為13.54%。

本例中的內(nèi)含報(bào)酬率屬于年金特征的內(nèi)部收益率，期限數(shù)n=6，年金現(xiàn)值率P/A=39 400/10 000=3.94，查“年金特征的內(nèi)部收益率表”，得到內(nèi)部收益率即該方案的內(nèi)含報(bào)酬率IRR（3.94，6）=0.135 2=13.52%。

查表得到的結(jié)果13.52%與插值法計(jì)算的結(jié)果13.54%相差0.0002。采用插值法如果用13%和14%的年金現(xiàn)值系數(shù)結(jié)果進(jìn)行測試，結(jié)果更為準(zhǔn)確，但由于財(cái)務(wù)管理教科書“1元的年金現(xiàn)值系數(shù)表”大多沒有列示13%的年金現(xiàn)值系數(shù)，只有12%的年金現(xiàn)值系數(shù)，因此只能用12%與14%的年金現(xiàn)值系數(shù)結(jié)果進(jìn)行測試，這樣會加大誤差。筆者對本例采用Excel插入函數(shù)法計(jì)算的結(jié)果為13.50%。

六、結(jié)語

本文提出的方法，對于具體問題，只要計(jì)算年金現(xiàn)值率，結(jié)合已知的期限數(shù)，通過查詢“年金特征的內(nèi)部收益率表”便可得到所需的內(nèi)部收益率，從而避免了插值法計(jì)算的繁雜性。本文提供的年金特征的內(nèi)部收益率表，如同復(fù)利終值（現(xiàn)值）系數(shù)表、年金終值（現(xiàn)值）系數(shù)表一樣，給財(cái)經(jīng)人員業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)和實(shí)務(wù)操作帶來便利，既可節(jié)省時間，又能消除計(jì)算錯誤、減少計(jì)算誤差。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，如何結(jié)合計(jì)算機(jī)軟、硬件技術(shù)，設(shè)計(jì)并開發(fā)出低成本的實(shí)時計(jì)算工具，即帶有內(nèi)部收益率計(jì)算功能的計(jì)算器，這些都是未來需要進(jìn)一步研究的問題。J

參考文獻(xiàn)：

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5.葉璋禮.實(shí)際利率及其算法研究[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2013.

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7.財(cái)政部會計(jì)資格評價中心.財(cái)務(wù)管理[M].北京：中國財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，2011.endprint

P/A=[1-（1+i）-n]/i （2）

式（2）中的變量有2個：期限數(shù)n，現(xiàn)值與年金的比值P/A。其中，變量n的范圍是可控的，如可以設(shè)定為1，2，3，…；但變量P/A是不可控的，只能視具體問題計(jì)算確定。本文將P/A定義為年金現(xiàn)值比率或年金現(xiàn)值率。能否將變量P/A由不可控轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄬煽?，是首先需要研究的問題之一。

從式（2）不難看出，[1-（1+i）-n]/i 就是財(cái)務(wù)管理中的“1元的年金現(xiàn)值系數(shù)”?，F(xiàn)就討論的內(nèi)部收益率計(jì)算而言，當(dāng)n從1到30、i從1%到30%便可滿足大多數(shù)實(shí)際問題的需要，相當(dāng)于這樣一個范圍的項(xiàng)目投資：投資期在1至30年、實(shí)際收益率在1%至30%之間。當(dāng)然，n和i的范圍完全可以繼續(xù)擴(kuò)大。通過觀察“1元的年金現(xiàn)值系數(shù)表”，n從1至30、i從1%至30%范圍內(nèi)的年金現(xiàn)值系數(shù)，最小值是（P/A，32%，1）=0.7576，最大值是（P/A，1%，30）=25.8077，因此，可以將P/A界定在0.7576至25.8077之間。以下將年金現(xiàn)值率P/A設(shè)定為0.75，0.76，0.77，…，25.80，25.81，相鄰兩個年金現(xiàn)值率之間的間隔為0.01。由于2個變量n和P/A都可以在一定范圍內(nèi)設(shè)定，因此可以利用這個設(shè)定來計(jì)算內(nèi)部收益率。

四、編程計(jì)算與實(shí)際利率表的設(shè)計(jì)制作

從數(shù)學(xué)角度看，當(dāng)n=1，2時，從式（2）可以求得i的計(jì)算公式，但當(dāng)n≥3時，便無法從式（2）中求出實(shí)際利率i的計(jì)算公式。

設(shè)f（i）=[1-（1+i）-n]/i-P/A，應(yīng)用“二分法”解方程f（i）=0。手工計(jì)算工作量巨大甚至難以進(jìn)行，可運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程來求解此方程（此處略去求解實(shí)根的程序源代碼）。

通過程序的運(yùn)行，可得到期限數(shù)n=1，2，…，20 ；年金現(xiàn)值率P/A=0.75，0.76，…，25.81的內(nèi)部收益率i。i取小數(shù)點(diǎn)后四位，第五位四舍五入，凡i≤0的，因其無實(shí)際意義，計(jì)算結(jié)果以“-”表示，將整列都是“-”的列刪去。

將期限數(shù)n自表首從左向右排列，年金現(xiàn)值率P/A自表左從上往下排列。經(jīng)過整理得到內(nèi)部收益率計(jì)算結(jié)果的表格，稱為“年金特征的內(nèi)部收益率表”。由于該表篇幅太大，以下選取該表的部分結(jié)果進(jìn)行列示，見下頁表1。

本文將計(jì)算出的具有年金特征的內(nèi)部收益率記為IRR（P/A，n）。

這樣一來，對于具有年金特征的內(nèi)部收益率不需采用插值法或插入函數(shù)法計(jì)算，直接查表即可。另外，插值法由于在局部區(qū)間用直線近似代替曲線，計(jì)算的內(nèi)部收益率是一個近似值，存在一定誤差。而本文得到的內(nèi)部收益利率是利用“二分法”，通過計(jì)算機(jī)編程多次循環(huán)計(jì)算，其結(jié)果要比插值法更為精確。

五、實(shí)證檢驗(yàn)

（一）先看一個延期收款銷售的業(yè)務(wù)。某公司于2012年7月1日采用遞延收款方式向甲公司銷售一套設(shè)備，合同約定的銷售價格為2 000萬元，分5次于次年6月30日等額收取。該設(shè)備成本為1 540萬元。在現(xiàn)款銷售方式下，該設(shè)備的售價為1 600萬元。假定該公司發(fā)出商品時，其有關(guān)的增值稅納稅義務(wù)尚未發(fā)生；在合同約定的收款日期，發(fā)生有關(guān)的增值稅納稅義務(wù)。

通常情況下，該公司應(yīng)按從甲公司應(yīng)收或已收的合同或協(xié)議價款確定為收入，由于收取的貨款采取分期方式，具有融資性質(zhì)，相當(dāng)于甲公司在實(shí)現(xiàn)銷售收入的同時，為乙公司提供了1 600萬元、期限為5年、每年還本付息400萬元的融資合同，對由此產(chǎn)生的貨幣時間價值，需采用實(shí)際利率法進(jìn)行攤銷。

首先計(jì)算內(nèi)部收益率，設(shè)內(nèi)部收益率為i，用插值法計(jì)算：

400×年金現(xiàn)值系數(shù)（P/A，i，5）=1 600

當(dāng)i=7%時，上式左邊=400×4.1002=1 640.08>1 600

當(dāng)i=8%時，上式左邊=400×3.9927=1 597.08<1 600

采用插值法，列方程：（1 640.08-1 600）/（7%-i）=（1 640.08-1 597.08）/（7%-8%），解得i=7.93%。

上述業(yè)務(wù)涉及的內(nèi)部收益率屬于年金特征的內(nèi)部收益率，期限數(shù)n=5，年金現(xiàn)值率P/A=1 600/400=4，查“年金特征的內(nèi)部收益率表”，得到內(nèi)部收益率IRR（4，5）=0.0793=7.93%。

查表得到的結(jié)果與插值法計(jì)算的結(jié)果完全一致。有關(guān)賬務(wù)處理略。

（二）再看一個有關(guān)項(xiàng)目投資的業(yè)務(wù)。某投資方案壽命期為6年，每年的凈現(xiàn)金流量均為10 000元，初始投資額為39 400元。要求：計(jì)算該方案的內(nèi)含報(bào)酬率。

先用插值法計(jì)算該方案的內(nèi)含報(bào)酬率i；內(nèi)含報(bào)酬率就是凈現(xiàn)值等于零的貼現(xiàn)率。

年金現(xiàn)值系數(shù)=39 400÷10 000=3.94

查年金現(xiàn)值系數(shù)表，可知內(nèi)含報(bào)酬率介于12%-14%之間。

當(dāng)i=12%時，凈現(xiàn)值=10 000×（P/A，12%，6）-39 400=1 714>0

當(dāng)i=14%時，凈現(xiàn)值=10 000×（P/A，14%，6）-39 400=-513<0

按等比關(guān)系列出方程：（i-12%）/（0-1 714）=（14%-12%）/（-513-1 714），解得i=0.1354即該方案的內(nèi)含報(bào)酬率為13.54%。

本例中的內(nèi)含報(bào)酬率屬于年金特征的內(nèi)部收益率，期限數(shù)n=6，年金現(xiàn)值率P/A=39 400/10 000=3.94，查“年金特征的內(nèi)部收益率表”，得到內(nèi)部收益率即該方案的內(nèi)含報(bào)酬率IRR（3.94，6）=0.135 2=13.52%。

查表得到的結(jié)果13.52%與插值法計(jì)算的結(jié)果13.54%相差0.0002。采用插值法如果用13%和14%的年金現(xiàn)值系數(shù)結(jié)果進(jìn)行測試，結(jié)果更為準(zhǔn)確，但由于財(cái)務(wù)管理教科書“1元的年金現(xiàn)值系數(shù)表”大多沒有列示13%的年金現(xiàn)值系數(shù)，只有12%的年金現(xiàn)值系數(shù)，因此只能用12%與14%的年金現(xiàn)值系數(shù)結(jié)果進(jìn)行測試，這樣會加大誤差。筆者對本例采用Excel插入函數(shù)法計(jì)算的結(jié)果為13.50%。

六、結(jié)語

本文提出的方法，對于具體問題，只要計(jì)算年金現(xiàn)值率，結(jié)合已知的期限數(shù)，通過查詢“年金特征的內(nèi)部收益率表”便可得到所需的內(nèi)部收益率，從而避免了插值法計(jì)算的繁雜性。本文提供的年金特征的內(nèi)部收益率表，如同復(fù)利終值（現(xiàn)值）系數(shù)表、年金終值（現(xiàn)值）系數(shù)表一樣，給財(cái)經(jīng)人員業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)和實(shí)務(wù)操作帶來便利，既可節(jié)省時間，又能消除計(jì)算錯誤、減少計(jì)算誤差。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，如何結(jié)合計(jì)算機(jī)軟、硬件技術(shù)，設(shè)計(jì)并開發(fā)出低成本的實(shí)時計(jì)算工具，即帶有內(nèi)部收益率計(jì)算功能的計(jì)算器，這些都是未來需要進(jìn)一步研究的問題。J

參考文獻(xiàn)：

1.吳良海.債券溢折價實(shí)際利率攤銷法的再探討[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會科學(xué)版），2006，（5）.

2.袁小明，李文輝.新準(zhǔn)則中實(shí)際利率法的采用與簡便算法[J].中國總會計(jì)師，2008，（1）.

3.王婧.債券溢折價攤銷的實(shí)際利率法[J].財(cái)會月刊（理論），2008，（4）.

4.肖琳.Excel與Matlab持有至到期投資收益模型淺析[J].財(cái)會通訊（綜合），2010，（4）.

5.葉璋禮.實(shí)際利率及其算法研究[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2013.

6.財(cái)政部會計(jì)資格評價中心.中級會計(jì)實(shí)務(wù)[M].北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2013.

7.財(cái)政部會計(jì)資格評價中心.財(cái)務(wù)管理[M].北京：中國財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，2011.endprint

P/A=[1-（1+i）-n]/i （2）

式（2）中的變量有2個：期限數(shù)n，現(xiàn)值與年金的比值P/A。其中，變量n的范圍是可控的，如可以設(shè)定為1，2，3，…；但變量P/A是不可控的，只能視具體問題計(jì)算確定。本文將P/A定義為年金現(xiàn)值比率或年金現(xiàn)值率。能否將變量P/A由不可控轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄬煽?，是首先需要研究的問題之一。

從式（2）不難看出，[1-（1+i）-n]/i 就是財(cái)務(wù)管理中的“1元的年金現(xiàn)值系數(shù)”?，F(xiàn)就討論的內(nèi)部收益率計(jì)算而言，當(dāng)n從1到30、i從1%到30%便可滿足大多數(shù)實(shí)際問題的需要，相當(dāng)于這樣一個范圍的項(xiàng)目投資：投資期在1至30年、實(shí)際收益率在1%至30%之間。當(dāng)然，n和i的范圍完全可以繼續(xù)擴(kuò)大。通過觀察“1元的年金現(xiàn)值系數(shù)表”，n從1至30、i從1%至30%范圍內(nèi)的年金現(xiàn)值系數(shù)，最小值是（P/A，32%，1）=0.7576，最大值是（P/A，1%，30）=25.8077，因此，可以將P/A界定在0.7576至25.8077之間。以下將年金現(xiàn)值率P/A設(shè)定為0.75，0.76，0.77，…，25.80，25.81，相鄰兩個年金現(xiàn)值率之間的間隔為0.01。由于2個變量n和P/A都可以在一定范圍內(nèi)設(shè)定，因此可以利用這個設(shè)定來計(jì)算內(nèi)部收益率。

四、編程計(jì)算與實(shí)際利率表的設(shè)計(jì)制作

從數(shù)學(xué)角度看，當(dāng)n=1，2時，從式（2）可以求得i的計(jì)算公式，但當(dāng)n≥3時，便無法從式（2）中求出實(shí)際利率i的計(jì)算公式。

設(shè)f（i）=[1-（1+i）-n]/i-P/A，應(yīng)用“二分法”解方程f（i）=0。手工計(jì)算工作量巨大甚至難以進(jìn)行，可運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程來求解此方程（此處略去求解實(shí)根的程序源代碼）。

通過程序的運(yùn)行，可得到期限數(shù)n=1，2，…，20 ；年金現(xiàn)值率P/A=0.75，0.76，…，25.81的內(nèi)部收益率i。i取小數(shù)點(diǎn)后四位，第五位四舍五入，凡i≤0的，因其無實(shí)際意義，計(jì)算結(jié)果以“-”表示，將整列都是“-”的列刪去。

將期限數(shù)n自表首從左向右排列，年金現(xiàn)值率P/A自表左從上往下排列。經(jīng)過整理得到內(nèi)部收益率計(jì)算結(jié)果的表格，稱為“年金特征的內(nèi)部收益率表”。由于該表篇幅太大，以下選取該表的部分結(jié)果進(jìn)行列示，見下頁表1。

本文將計(jì)算出的具有年金特征的內(nèi)部收益率記為IRR（P/A，n）。

這樣一來，對于具有年金特征的內(nèi)部收益率不需采用插值法或插入函數(shù)法計(jì)算，直接查表即可。另外，插值法由于在局部區(qū)間用直線近似代替曲線，計(jì)算的內(nèi)部收益率是一個近似值，存在一定誤差。而本文得到的內(nèi)部收益利率是利用“二分法”，通過計(jì)算機(jī)編程多次循環(huán)計(jì)算，其結(jié)果要比插值法更為精確。

五、實(shí)證檢驗(yàn)

（一）先看一個延期收款銷售的業(yè)務(wù)。某公司于2012年7月1日采用遞延收款方式向甲公司銷售一套設(shè)備，合同約定的銷售價格為2 000萬元，分5次于次年6月30日等額收取。該設(shè)備成本為1 540萬元。在現(xiàn)款銷售方式下，該設(shè)備的售價為1 600萬元。假定該公司發(fā)出商品時，其有關(guān)的增值稅納稅義務(wù)尚未發(fā)生；在合同約定的收款日期，發(fā)生有關(guān)的增值稅納稅義務(wù)。

通常情況下，該公司應(yīng)按從甲公司應(yīng)收或已收的合同或協(xié)議價款確定為收入，由于收取的貨款采取分期方式，具有融資性質(zhì)，相當(dāng)于甲公司在實(shí)現(xiàn)銷售收入的同時，為乙公司提供了1 600萬元、期限為5年、每年還本付息400萬元的融資合同，對由此產(chǎn)生的貨幣時間價值，需采用實(shí)際利率法進(jìn)行攤銷。

首先計(jì)算內(nèi)部收益率，設(shè)內(nèi)部收益率為i，用插值法計(jì)算：

400×年金現(xiàn)值系數(shù)（P/A，i，5）=1 600

當(dāng)i=7%時，上式左邊=400×4.1002=1 640.08>1 600

當(dāng)i=8%時，上式左邊=400×3.9927=1 597.08<1 600

采用插值法，列方程：（1 640.08-1 600）/（7%-i）=（1 640.08-1 597.08）/（7%-8%），解得i=7.93%。

上述業(yè)務(wù)涉及的內(nèi)部收益率屬于年金特征的內(nèi)部收益率，期限數(shù)n=5，年金現(xiàn)值率P/A=1 600/400=4，查“年金特征的內(nèi)部收益率表”，得到內(nèi)部收益率IRR（4，5）=0.0793=7.93%。

查表得到的結(jié)果與插值法計(jì)算的結(jié)果完全一致。有關(guān)賬務(wù)處理略。

（二）再看一個有關(guān)項(xiàng)目投資的業(yè)務(wù)。某投資方案壽命期為6年，每年的凈現(xiàn)金流量均為10 000元，初始投資額為39 400元。要求：計(jì)算該方案的內(nèi)含報(bào)酬率。

先用插值法計(jì)算該方案的內(nèi)含報(bào)酬率i；內(nèi)含報(bào)酬率就是凈現(xiàn)值等于零的貼現(xiàn)率。

年金現(xiàn)值系數(shù)=39 400÷10 000=3.94

查年金現(xiàn)值系數(shù)表，可知內(nèi)含報(bào)酬率介于12%-14%之間。

當(dāng)i=12%時，凈現(xiàn)值=10 000×（P/A，12%，6）-39 400=1 714>0

當(dāng)i=14%時，凈現(xiàn)值=10 000×（P/A，14%，6）-39 400=-513<0

按等比關(guān)系列出方程：（i-12%）/（0-1 714）=（14%-12%）/（-513-1 714），解得i=0.1354即該方案的內(nèi)含報(bào)酬率為13.54%。

本例中的內(nèi)含報(bào)酬率屬于年金特征的內(nèi)部收益率，期限數(shù)n=6，年金現(xiàn)值率P/A=39 400/10 000=3.94，查“年金特征的內(nèi)部收益率表”，得到內(nèi)部收益率即該方案的內(nèi)含報(bào)酬率IRR（3.94，6）=0.135 2=13.52%。

查表得到的結(jié)果13.52%與插值法計(jì)算的結(jié)果13.54%相差0.0002。采用插值法如果用13%和14%的年金現(xiàn)值系數(shù)結(jié)果進(jìn)行測試，結(jié)果更為準(zhǔn)確，但由于財(cái)務(wù)管理教科書“1元的年金現(xiàn)值系數(shù)表”大多沒有列示13%的年金現(xiàn)值系數(shù)，只有12%的年金現(xiàn)值系數(shù)，因此只能用12%與14%的年金現(xiàn)值系數(shù)結(jié)果進(jìn)行測試，這樣會加大誤差。筆者對本例采用Excel插入函數(shù)法計(jì)算的結(jié)果為13.50%。

六、結(jié)語

本文提出的方法，對于具體問題，只要計(jì)算年金現(xiàn)值率，結(jié)合已知的期限數(shù)，通過查詢“年金特征的內(nèi)部收益率表”便可得到所需的內(nèi)部收益率，從而避免了插值法計(jì)算的繁雜性。本文提供的年金特征的內(nèi)部收益率表，如同復(fù)利終值（現(xiàn)值）系數(shù)表、年金終值（現(xiàn)值）系數(shù)表一樣，給財(cái)經(jīng)人員業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)和實(shí)務(wù)操作帶來便利，既可節(jié)省時間，又能消除計(jì)算錯誤、減少計(jì)算誤差。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，如何結(jié)合計(jì)算機(jī)軟、硬件技術(shù)，設(shè)計(jì)并開發(fā)出低成本的實(shí)時計(jì)算工具，即帶有內(nèi)部收益率計(jì)算功能的計(jì)算器，這些都是未來需要進(jìn)一步研究的問題。J

參考文獻(xiàn)：

1.吳良海.債券溢折價實(shí)際利率攤銷法的再探討[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會科學(xué)版），2006，（5）.

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4.肖琳.Excel與Matlab持有至到期投資收益模型淺析[J].財(cái)會通訊（綜合），2010，（4）.

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6.財(cái)政部會計(jì)資格評價中心.中級會計(jì)實(shí)務(wù)[M].北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2013.

7.財(cái)政部會計(jì)資格評價中心.財(cái)務(wù)管理[M].北京：中國財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，2011.endprint