周波陽,羅志才,寧津生,鐘 波

1.廣東工業(yè)大學測繪工程系,廣東廣州 510006;2.武漢大學測繪學院,湖北武漢 430079;3.武漢大學地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點實驗室,湖北武漢 430079

航空矢量重力測量水平分量的帶限直接地形影響

周波陽1,2,羅志才2,3,寧津生2,3,鐘 波2,3

1.廣東工業(yè)大學測繪工程系,廣東廣州 510006;2.武漢大學測繪學院,湖北武漢 430079;3.武漢大學地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點實驗室,湖北武漢 430079

基于第二類Helmert凝聚法的級數展開式,獨立推導了航空矢量重力測量水平分量帶限直接地形影響的計算公式。在中國西部山區(qū)選取了兩條沿緯圈方向4000 m航線高度上的航線,采用3″×3″的數字高程模型基于解析核計算了水平分量的直接地形影響,經低通濾波后與基于帶限公式計算的地形影響進行比較。數值計算結果表明,二者吻合較好,本文給出的帶限地形影響公式可用于航空矢量重力測量水平分量的地形歸算。

航空矢量重力測量;水平分量;帶限直接地形影響;第二類Helmert凝集法

1 引 言

地形起伏反映了地球重力場的不規(guī)則變化,精確確定地形對地球重力場的影響具有十分重要的意義[1-3]。第二類Helmert凝集法是目前應用最為廣泛的地形歸算方法,其基本思想是將大地水準面外部地形質量引力位與凝集層地形質量引力位作差得到地形對引力位的直接影響,再轉化為地形對重力的直接影響,從而將重力觀測值轉化至Helmert調和空間,求解大地測量邊值問題得到調整大地水準面(co-geoid)后再恢復地形位和凝集層位產生的間接影響即可計算出真實的大地水準面[4-5]。第二類Helmert凝集法分為解析形式和級數展開形式,前者提供全波段的地形質量改正,后者則是將牛頓積分核函數展開成Legendre多項式的收斂級數,可用來計算帶限地形影響。

航空重力測量是在動態(tài)環(huán)境中進行的,各類觀測數據中包含了大量的高頻觀測噪聲,消除這些噪聲的主要手段是使用低通濾波器,濾波后得到的重力信號為帶限重力信號[6-9]。因此,采用解析公式計算的全頻譜地形直接影響和間接影響對航空矢量重力觀測值進行改正是不合理的,解決這一問題的方法有兩類:①將地形改正值也作相應的低通濾波處理,使得地形效應的頻譜范圍與航空重力觀測值一致[10],這種解決方案需要輸入飛行高度上密集采樣點處的地形質量影響值,采用高分辨率的DEM來進行計算時工作量相當龐大;②基于第二類Helmert凝集法的級數形式,采用帶限公式來計算地形質量對引力位和重力擾動的直接影響公式和大地水準面的間接影響[11-13],這種解決方法的優(yōu)點是可依據重力觀測值的頻譜范圍來調整積分核函數的起始階數和最高階數,從而避免對地形質量影響作低通濾波處理,原理簡單而且計算方便。文獻[11]基于第二類Helmert凝集法的級數形式推導出地形質量對引力位和重力擾動的帶限直接影響改正公式以及對大地水準面的帶限間接影響改正公式,將基于級數核計算的帶限直接地形影響和間接地形影響與基于解析核計算并經低通濾波處理后得到的帶限直接地形影響和間接地形影響進行了比較,驗證了算法的有效性,這一套帶限地形影響改正公式可對重力擾動或重力異常進行地形歸算,針對的是航空標量重力測量觀測值。航空重力矢量測量獲取的是擾動重力的3個分量,而針對水平分量帶限地形影響改正的研究尚未有公開的文獻發(fā)表。本文在文獻[11]的研究基礎上,推導出重力水平分量的帶限直接地形影響改正公式,并通過數值計算與分析來驗證該算法的有效性。

2 第二類Helmert凝集法

Helmert調和空間內某點的擾動位Th(r, Ω)與真實地球擾動位T r(,Ω)具有以下關系

式中,r為計算點到地心的距離;δThr(,Ω)為地形對引力位的直接影響,是大地水準面外地形的引力位與凝集層地形引力位之差

式中,Vt為大地水準面外的地形引力位;Vct為凝集層地形引力位,分別可表示為

式中,G為萬有引力常數;R為地球平均半徑,取為6 371 000 m;ρ為地殼平均密度,取為2.67 g/cm3; r′為流動點到地心的距離;ΩS表示積分區(qū)域; HT(Ω′)為流動點的地形高度;dΩ′＝cos?′d?′dλ′為積分元;σ(Ω′)為凝集層面密度,因大地水準面外地形質量與凝集層質量相等,σ(Ω′)可寫為[14]

L－1為牛頓積分核函數,其解析形式如下

當r＞r′時,式(6)還可展開為Legendre多項式的收斂級數

式中,ψ為計算點Ω＝(?,λ)和流動點Ω′＝(?′, λ′)之間的球面距離。

3 重力水平分量的全頻譜地形影響

文獻[15]給出了平面逼近下大地水準面外地形對重力水平分量的影響

式中,s＝x,y;P為計算點;Q為流動點;x軸正方向為東向;y軸正方向為北向。式(8)可以化為卷積形式,并通過快速傅里葉FFT來計算[16]。

平面逼近下凝集層地形對引力位的影響為[15]

4 引力位的帶限直接地形影響

文獻[11]給出了引力位的帶限直接地形影響的計算公式

式中,Pn(cosψ)為第n階Legendre多項式;Nmin為起始階數,Nmax為最大階數,這意味著可以通過改變Nmin和Nmax的大小來使地形影響的頻譜范圍與重力觀測值保持一致。若求解邊值問題時采用移去-恢復法,則Nmin－1應為所選取參考位模型的最大階數。

5 重力矢量水平分量的帶限直接地形影響

依據重力矢量各分量與擾動位的關系[17],對式(11)作如下變換即可得重力北向分量和東向分量的帶限地形影響

6 數值計算與分析

為驗證在第二類Helmert凝集法框架下導出的重力水平分量帶限直接地形影響的計算模型,本文采用SRTM(shuttle radar topography mission)[19]地形高程數據分別計算了重力水平分量的帶限直接地形影響和全頻譜直接地形影響,并進行比較檢校。所選數據點區(qū)域由緯線[28°N,35°N]和經線[105°E,112°E]圍成,位于中國西部,圖1為該區(qū)域的實際地形。

圖1 SRTM地形Fig.1 SRTM topography

選取兩條沿緯圈方向的航線,緯度分別為31.5°N和32.5°N,經度范圍為[107°E,110°E] (圖1),圖2給出了這兩條緯線的地形高程剖面。分別依據式(14)計算了兩條緯線上重力矢量水平分量的帶限直接地形影響(飛行高度為4 km),積分核式(15)、式(16)的起止階數分別取為Nmin＝0和Nmax＝2160,對應重力觀測值的分辨率為5′×5′,同時基于解析牛頓積分核計算了相應點位處重力水平分量的全頻譜直接地形影響。圖3—圖6分別給出了在4 km飛行高度處沿上述兩條緯線的重力北向水平面分量和東向水平分量的直接地形影響,其中左圖是基于0～2160階級數展開核的帶限直接地形影響與基于解析核的全頻譜直接地形影響的比較,右圖為基于級數展開核計算的帶限直接地形影響與基于解析核并經低通濾波處理后所得直接地形影響的比較,低通濾波器采用文獻[20]中介紹的迭代高斯濾波,濾波窗口選為5′。

圖2 沿緯線31.5°和32.5°的地形高度剖面Fig.2 Topography height profiles along the parallels of 31.5°N and 32.5°N

圖3 沿31.5°N緯線4 km飛行高度處北向分量的直接地形影響Fig.3 DTE for northern component at 4 km flight height along the parallel of 31.5°N

圖4 沿32.5°N緯線4 km飛行高度處北向分量的直接地形影響Fig.4 DTE for northern component at 4 km flight height along the parallel of 32.5°N

圖5 沿31.5°N緯線4 km飛行高度處東向分量的直接地形影響Fig.5 DTE for eastern component at 4 km flight height along the parallel of 31.5°N

圖6 沿32.5°N緯線4 km飛行高度處東向分量的直接地形影響Fig.6 DTE for eastern component at 4 km flight height along the parallel of 32.5°N

從圖3—圖6中可以看出,按照式(14)計算的重力水平分量的帶限直接地形影響與基于解析牛頓核計算的全頻譜直接地形影響在整體趨勢上比較吻合,區(qū)別在于前者更為平滑,而后者則表現出更多的高頻特性,這是由二者的頻譜范圍決定的,前者最大頻譜對應的是2160階,而后者代表的是全頻譜的地形質量影響。對全頻譜地形影響進行低通濾波處理使其與帶限地形影響頻譜范圍一致之后,兩者的吻合程度大幅提高,但二者之間仍存在一定的差異,這是因為低通濾波技術并不能濾掉截止頻率之外的所有的高頻信號。表1列出了低通濾波前后基于級數展開牛頓核的地形影響與基于牛頓解析核的地形影響的差值統計信息,濾波后二者之差的最大值、最小值大幅減小, RMS也降至實測航空重力數據的精度范圍之內,說明由基于級數展開核計算的帶限直接地形影響可用于航空矢量重力測量水平分量觀測值的地形歸算。

表1 基于級數展開核的地形影響與基于解析核的地形影響的差值統計Tab.1 Statistics of the differences between topographical effects based on series-expanded kernel and analytical Newton kernel

值得注意的是,重力水平分量的帶限地形影響計算公式也有一定的局限性,當航空矢量重力測量的分辨率提高,如由本文中的5′×5′提升至1′×1′時,Nmax的值由2160增加至10 800,計算量將會大幅增加。

7 結 論

航空矢量重力測量的水平分量觀測值是帶限重力信號,本文從第二類Helmert凝集法的基本原理出發(fā),推導出適用于航空重力矢量測量水平分量帶限地形影響的改正公式,該公式可通過調節(jié)核函數的起始階數和最大階數來使水平分量的地形影響具有與水平分量一致的頻譜范圍。

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(責任編輯:宋啟凡)

Band-limited Direct Topographical Effects of Horizontal Components in Airborne Vector Gravimetry

ZHOU Boyang1,2,LUO Zhicai2,3,NING Jinsheng2,3,ZHONG Bo2,3
1.Department of Surveying and Mapping,Guangdong University of Technology,Guangzhou 510006,China; 2.School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,Wuhan 430079,China;3.Key Laboratory of Geospace Environment and Geodesy,Ministry of Education,Wuhan University,Wuhan 430079,China

Based on the series-expanded expression of Helmert’s 2nd condensation method,formulae of band-limited direct topographical effect of horizontal components in airborne vector gravimetry are deduced independently.Using a 3″×3″digital elevation model,direct topographical effects of the horizontal components are computed based on the analytical kernel along selected flight lines in western area of China with flight height of 4000 m,these values are processed by low-pass filter and compared to values computed by the band-limited formulae.It turns out that both topographical effects have a good consistence,and the band-limted formulae can be used for topography reduction for horizontal components of airborne vector gravimetry.

airborne vector gravimetry;horizontal components;band-limited direct topographical effect; Helmert’s 2nd condensation method

ZHOU Boyang(1983—),male,PhD, majors in data processing of airborne gravimetry.

P223

A

1001-1595(2014)10-1019-06

國家自然科學基金(41174062);國家973計劃(2013CB733302);地球空間環(huán)境和大地測量教育部重點實驗室開放基金(12-02-05)

2013-12-05

周波陽(1983—),男,博士,研究方向為航空重力測量數據處理。

E-mail:byzhou＠whu.edu.cn

ZHOU Boyang,LUO Zhicai,NING Jinsheng,et al.Band-limited Direct Topographical Effects of Horizontal Components in Airborne Vector Gravimetry[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(10):1019-1024.(周波陽,羅志才,寧津生,等.航空矢量重力測量水平分量的帶限直接地形影響[J].測繪學報,2014,43(10):1019-1024.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0144

修回日期:2014-07-20