【摘 要】論證有最大正數(shù)，各無窮序列都有末項，不存在對等于其真子集的無窮集，朱梧槚、肖奚安等4位數(shù)學家所言：“集合論中的無窮集都是自相矛盾的非集”不虛——意味一系列以非集為“無窮集”的“定理”和集論必是錯上加錯的更重大錯誤。證明元為正數(shù)且至少有兩元的集必有最小元使困擾科學界2500年的芝諾著名“運動不存在”世界難題迎刃而解，從而揭示二千多年“點無大小”公理是幾何學最重大根本錯誤——幾百年解析幾何一直存在極重大錯誤的根本原因。指出可證明各光滑曲線都是由充分短直線段連接成的，從而消除“△f≈df反例”悖論。邏輯學常識表明有標準數(shù)>R一切元。指出已知實數(shù)全體僅為實數(shù)全體的滄海一粟。試提出全新數(shù)學的冰山一角。

【關鍵詞】最小、大正數(shù)；最大和無窮大自然數(shù)；點有大小，線有寬度；坐標軸（平面）的伸展及壓縮變換；元點之間均不相連的有空隙數(shù)直線；芝諾悖論；有序集從大到小一個不漏的每一元

人類自識正有理數(shù)幾千年來一直認定沒最小、大正數(shù)。推翻此“常識、定理”的“反科學”的神話般發(fā)現(xiàn)來自于太淺顯的一系列邏輯學和數(shù)學常識，例說“任何一個正數(shù)x都有對應y（x）

1 朱梧槚、肖奚安等4位數(shù)學家的覺醒：書中“無窮集”都是虛假集

敢說真話不愿人云亦云隨大流的朱梧槚是基礎數(shù)學與邏輯學方面的世界著名專家，其名字和事跡被列入《國際知識界名人錄》《國際上卓越的學術領導人辭典》。朱梧槚、肖奚安、杜國平、宮寧生4位教授、博導敢于實事求是地斷定：“集合論中的無窮集都是自相矛盾的非集[2]”。也許其論據(jù)還有待繼續(xù)完善，但本文表明其論斷并非“怪論”，而是先知先覺地“在‘最不成問題的問題中發(fā)現(xiàn)重大問題”。張喜安高級工程師也敏銳洞察到集論是自相矛盾的理論[3]。朱教授敢于堅持真理地出版大著[4]后又力排眾議“極端孤獨”地出版“更愛真理”的大著[5]，公而忘私地毅然揭開集論的“無窮集”真相更令人欽佩。丁肇中深有體會：“99%的人反對你，不代表他們是對的。專家的評論是依靠現(xiàn)有的認識，而科學的發(fā)現(xiàn)是推翻現(xiàn)有的認識?！?。

2 讓5千年都無人能識的最大自然數(shù)一下子暴露出來揭示中學數(shù)學有重大錯誤

h定理1：任何非空數(shù)集A={x}=B={y}的必要條件之一是|x|=|y|即y=±x，正如若A各元>0則B=A的必要條件之一是B各元>0一樣；之二是A～B。這表明y=±x外的一切y=y（x）的定義域必≠值域。若A、B的元分別是復數(shù)z1、z2則B=A的必要條件之一是|z1|=|z2|。

證：{1，2}各元x到0的距離是x>0，{1，2，3}各元x到0的距離是x>0。如[6]所述，A（或B）各元x（或y）到任一固定數(shù)例如0的距離是變量|x|（|y|），顯然若A與B是同一集則|x|與|y|必是同一變量且A=B～B。A（或B）各元z1（或z2）到z=0的距離是|z1|（或|z2|），若A=B則|z1|=|z2|。證畢。同樣可證有

h定理2：數(shù)偶集A={（x，y）}=B={（X，Y）}的必要條件之一是：A各點（x，y）到（0，0）的距離=B各點（X，Y）到（0，0）的距離；...。其余類推。

本文所指坐標系是直角坐標系。后文表明兩點集是否相等不但與點本身有關且與表示點的位置的數(shù)組有關。設各函數(shù)的定義域、值域分別都可由D和Z代表，DЭx（讀作“D各元x”）表示D各元都由x代表，x的變域是D，x、y∈B表示x、y所取數(shù)x、y都∈B。應有

h常識：“有下界的有序無窮集A從大到小一個不漏的每一元x都有對應變數(shù)yy=x/2>0表至少有一正數(shù)y

定義1：A與B的元x與y：若可一一對應近似相等或相等即x？圮y≈（或=）x就稱A≈B，若可一一對應相等即x？圮y=x就稱A=B。顯然在未證有x？圮y=x之前是不能斷定A=B的。

⊥地平面的R軸一個不漏的各正數(shù)點x∈R+全都離開原位地沿軸正向升高變成點y=kx（k>1）=x+△x>x>0（點還是原來的點而只是改變高度）生成射線Z，R軸顯然就至少空出一沒有點的正數(shù)位置x=x0落在一切升高了的點y的下面即x0x∈R+表R+至少有一元x

滿足x、y∈R的點z=x+yi的全體組成復平面z=x+yi，相應有復直線z=x+yi（y=0）=x等。兩重合相等的點（集）稱為二重點（集）。兩R軸可成二重軸（R∪R=R={（x，x）}）。平面z的x軸即直線z=x的射線z=x≥0是各矢量z=x≥0的終點的集合，這各矢量（有箭頭的直線段）z都伸縮為矢量z′=kz=kx（正常數(shù)k≠1）使各矢量z的終點z全都離開原位（點z=0除外）地沿線保序不保距地前（或后）移到新位置z′生成新射線z′=kx與射線z=x≥0不可重合相等。理由：①不同的函數(shù)其圖象也必不同，例y=x2的圖象與y=x的圖象不同，故若兩圖形是同一點集則它們的相應函數(shù)必是同一函數(shù)。所以由復函數(shù)常識當正數(shù)k≠1時射線z′=kx≥0與射線z=x≥0不相等。②有h幾何常識：因相等的圖形必全等故不全等的射線z與射線z′必不相等。故有

h定理3：點集A=B的必要條件是A≌B（點集甲保距變?yōu)辄c集乙就稱甲≌乙，不論集有多少個元點。）。

h定理4：有下界的有序無窮集WЭx變大為y=x+△x>x組成Z不可包含W，因W至少有一元x

證：由h常識ZЭy>x∈W表W有元x

據(jù)h定理4、1，中學幾百年“定義域是（0，1）的y=2x（>x>0）的值域=（0，2）”及“定義域為（0，1）？奐R+的y=2x>x>0的值域=（0，2）？奐R+”等等，是一系列搞錯變量的變域的重大錯誤——使人們誤以為病態(tài)b論：“部分可=全部”是“革命發(fā)現(xiàn)”?！皼]最小元”的A=（1，2）Эx>0變大為y=3x組成Z（中學斷定Z=（3，6））不可包含A，同理U=（0，1）Эx>0全都“上升”變大為y=3x組成W不可包含U一切元x；否則何來“全都變大”？故中學“W=（0，3）”是違反邏輯學常識的。

定義2：若數(shù)集A各元可兩兩配對成一數(shù)偶集（配對前后的集是同一數(shù)集）就稱A是偶型數(shù)集，否則稱為奇型數(shù)集。相應有奇、偶型級數(shù)、數(shù)列。奇型集中可配對的元都配對后必剩下一“單身”元。{1，2，3，4}與{（1，2）（3，4）}是一同數(shù)集。

h定理5： N={1，2，...，n，...}有最大元n。

證：①N各元n的后繼y=n+1的全體組成B′～N。N中1后面的一切元n≥2組成B？奐N，BЭn=q+1（q=1，2，...）都是其左鄰q∈N的后繼q+1∈B′說明B′包含B。BЭn≥2的絕對值是ρ1（n）=n≥2，B′Эy=n+1（n≥1）的絕對值是ρ2（n）=n+1（n≥1）≥2；顯然ρ1與ρ2不是同一函數(shù)（前者的n≥2不可取1），據(jù)h定理1B′≠B。包含B的B′≠B？奐N說明B′中必至少有一B外正整數(shù)元y0=n0+1>n0∈N，顯然n0是N的最大元n——其后繼n+1是B外即N外數(shù)。偶型N={（1，2）（3，4）…}（此數(shù)偶集同時也是數(shù)集N，其數(shù)元在兩兩配對（即加括號）后還是原數(shù)集。）中1后面的一切數(shù)n≥2組成B={2）（3，4）（5，6）…}？奐N中的2沒B中數(shù)與之配對，除非拆散某對數(shù)而又生一“單身”數(shù)——表明B是奇型集（不可既是數(shù)集同時也是數(shù)偶集）而≠偶型B′～N。不知集有奇、偶型之分就會將兩異集誤為同一集——導致全盤皆錯的最重大根本錯誤。

②據(jù)后文的h定理10～N的B′的元多于B？奐N的元——說明B′必有B外元n0+1>n0∈N，顯然...。若N由一切非0自然數(shù)組成則n+1等是超自然數(shù)。后文還要續(xù)證有n。

3 科學應補上的變量與代數(shù)啟蒙知識——掃數(shù)盲使人猛醒：“x軸各點與各實數(shù)一一對應”定理和“R完備”論是百年重大錯誤

區(qū)間（0，1）？奐R表示R中0與1之間所有數(shù)組成的集，其余類推?！耙粋€變數(shù)就是一個數(shù)學符號，通常用x，...來表示，它被用來代表某一數(shù)系中的某一子集D中的任一元素。該數(shù)集D叫做這個變數(shù)的變域[7]?！笨梢姟白兞縳”中的x既是變量同時也代表其變域D內(nèi)任何定量，不能只知其一不知其二，x所取各數(shù)也均由x代表，DЭx都有一個共同的“名字”叫x。固定數(shù)是變數(shù)中的一種：變域內(nèi)只有一個數(shù)的變數(shù)。不等式起碼常識：說“D=R+Эx>0都有對應y=x-10都有對應標準正數(shù)x/2y=x/2”——（據(jù)h常識）表示（y的變域中）有標準正數(shù)y）x（或y），故此式所代表的內(nèi)容之一：①有數(shù)yy的變域Y內(nèi)一切元y。學習數(shù)學最關鍵是須明白表達式中各字母、符號所代表的全部含義，否則就如文盲不識字那樣不識表達式所表達的內(nèi)容而成數(shù)盲。鸚鵡是數(shù)學盲，盡管其也許能“解題”，正如文盲不懂（甚至搞錯）射擊原理卻照樣能成神槍手一樣。據(jù)h常識“由一切標準正數(shù)組成的R+Эx>y=x/2>0”表有非標準正數(shù)y

中學斷定U=（0，1）Эx>x/2=y>0，據(jù)h常識這表示y>0可y=x/2∈R+”“含全部正數(shù)的Z+Эx>y=x/2>0”都是病句：R+（Z+）有正數(shù)元y

4 直線出現(xiàn)空洞的原因揭示x軸有上、下界點——對射線（無窮集）的認識一直存在極重大根本錯誤

中學生就須知道定義域為R+的y=x+1的值域=？即由x>0（變域是R+）得x+1=y>1中y>1的變域（射線x>0沿線正向平移距離1得射線y=x+1>1）=？注：說R軸各元點x可變換為點y=x+△x=x+1>x就是說R軸可沿軸正向平移距離1變?yōu)閥=x+1軸。其余類推。R一切非負元x≥0組成A（中學記A=[0，∞）），A一切≥1的元x≥1組成Z？奐A（中學記Z=[1，∞）），R？勱AЭx≥0保距變大為y=x+1≥1組成Z′（中學斷定Z′=Z）；Z′Эy=x+1的絕對值是y=x+1>x≥0，而ZЭx≥1的絕對值是x≥1，據(jù)h定理1 Z′≠Z。Z？奐A的元x≥1都可表為x=1+x′>x′（≥0）∈A（其中x′=x-1≥0的變域是射線x≥1沿線負向平移距離1而得的射線x′=x-1≥0）說明ZЭx都∈元是y=x+1的Z′，包含Z的Z′≠Z？奐A說明Z′中必有Z（現(xiàn)有數(shù)學記Z=[1，∞））外的元y0=x0+1>1，顯然y0>Z一切元。復射線z=x≥0平移成的射線z+1=x+1≥1與射線z=x≥1顯然不相等，中學數(shù)學一直將這兩異線誤為同一線。

如有地名那樣，“位置x”中的x就是該位的“名字”?？臻g位置本身是不動的，而圖形的點x可移位，挖去x軸一個點x就空出一位置“洞”x說明x軸由點x與容納點的位置洞x兩部分組成?！偷仄矫娴腞軸各元點x都在位置洞x內(nèi)即點與位置已一一配對：點x？圮位置x?，F(xiàn)各非負數(shù)點x≥0沿軸正向保距上移距離1變?yōu)辄cy=x+1≥1生成射線Z′（元是點y≥1）使R軸原線段[0，1）內(nèi)各位置x都變成空洞單身。出現(xiàn)空洞的唯一原因是與空洞一樣多的原軸內(nèi)點都被挖去或移出軸外（射線的平移是剛體運動，各動點沒縮小也沒與別的點有重疊部分等。）——此邏輯學常識表明上移點y≥1中必有部分點y移出了R軸而處在R軸一切位置洞的上面使Z′不是R軸的一部分，即射線y=x+1≥1“刺破了天”：有部分元點y突出在R軸一切元點的上面而推翻“R完備”論、r定理：“x軸各點與各實數(shù)一一對應”。這形象直觀地表明：R軸是無窮長直線段；如一直線段任意平移后還是原線段而只是改變了位置那樣，任一射線θ沿線正向平移一段距離得射線β還是原射線而只是改變了空間位置，β并非θ的一部分。

所以“上述射線可上移使R軸出現(xiàn)空洞卻又沒原軸內(nèi)點能移出對加法封閉的軸外”中的“R軸”是不合邏輯的“自相矛盾的非集”?！按蟮乐梁喼烈住保喝魯?shù)軸的剛性元點沒被挖去也沒移出軸外，點之間也沒重疊部分，就絕不會出現(xiàn)空洞。上述啟蒙知識和語文常識表明“R+內(nèi)從小到大一個不漏的各元x都有對應標準數(shù)y=x+1>x”表示至少有一標準數(shù)y>R+一切元x，y=x+1>x>0表示y必可>x的變域R+一切元x而取R+外正數(shù)。

5 幾何常識顯示幾百年解析幾何一直有極重大根本錯誤——數(shù)軸伸縮后就非原軸了

相似變換將圖像放大（縮小）。設長為1的一截橡皮筋s是橡皮點的集合，各橡皮點（正方體）都有中心，規(guī)定兩橡皮點之間的距離是它們的兩中心的連線的長。將s拉長后（或放大鏡下）各橡皮點都變長了使點與點間的距離也變大了，這是一種有序集的元的保序增距變換。將s拉長為長是2的s′～s，但s不是s′的一部分， 因s′的元點的長>s的元點的長。x軸各點x保序不保距地變?yōu)辄cX=2x，x軸就均勻伸長變換為元是點X的X=2x軸使線段[0，1]？奐x軸伸長變?yōu)樵屈cX的沒空隙線段[0，2]？奐X=2x軸。后文證明點X的長度2倍于點x的長——數(shù)軸也有因點變長（短）的伸縮變換——這是“化學變化”：改變了組成線的“分子”。將“分子”點不同的線混為一談就如將棉線誤為銅線那樣是根本錯誤。

x軸A伸縮變換為X=kx軸B[正常數(shù)k>（<）1時是彈性伸長（壓縮）變換]。據(jù)h幾何常識由A不≌B（伸縮變換是非保距變換）知A≠B。

h定理6：x軸變換為X=X（x）軸疊壓在x軸上，x軸=X軸的充要條件是X=x。（證：x軸各點x到原點x=0的距離是|x|，X軸各點X到原點X=0的距離是|X|，若兩軸是同一軸則這兩距離必是同一函數(shù)即|X|=|x|，亦即X=±x，式中：X=x是恒等變換，X=-x是...，而X=-x軸是與x軸方向相反的軸。故定理得證。）

X=kx（k>0）軸是可伸縮變換的軸，其可沿軸平移距離|c|變?yōu)閄′=kx+c軸，...。據(jù)h定理6X=kx（k≠1）軸≠x軸。所以直線y（x）=0與直線y（2x）=0不是同一直線（兩y的x的變域均是R），前者是x軸即R軸，后者是X=2x軸；同理直線y（x）=3與直線y（2x）=3不是同一直線；...。故中學解析幾何一直將X=x軸與用而不知的X=2x軸、X=（x/2）軸、X=kx+c（c≠0）軸、X=x3軸、X=x3+c軸、…等無窮多各異軸誤為同一軸：X=x軸，繼而將無窮多各根本不同的相應平面等誤為同一平面R2等。

據(jù)h定理1線段L=[0，3]？奐R軸被砍去一部分（1，3]？奐R軸而變短成為[0，1]？奐L與L收縮變同樣短（L各點x變?yōu)辄cX=x/3生成元是點X的沒空隙的[0，1] ？奐（1/3）R軸）有根本區(qū)別。

按“橡皮幾何學”觀點R2面可看成由彈性膜做成，可隨意伸縮。R2均勻彈性伸張或收縮后各元點之間的距離就變大或小了，此類非保距變換前后的點集不全等，當然就更不相等（據(jù)h定理2也得此結論）。R2面有單位圓⊙1：x2+y2=1。R2各元點（x，y）變?yōu)辄c（X=2x，Y=2y），R2就整體彈性伸張變?yōu)樵屈c（X，Y）的（2R）2即XY面，使x軸、y=x軸？奐R2分別被伸長變?yōu)閄=2x軸和Y=2y軸？奐（2R）2，同時使⊙1被拉伸而膨脹變大為⊙2：（將X=2x與Y=2y代入⊙1的方程得）（X/2）2+（Y/2）2=1即X2+Y2=4。后文指出解析幾何一直誤以為⊙1與⊙2是同一R2面的圓？奐R2。z平面伸縮為kz（正常數(shù)k≠1）平面顯然≠z平面。

6 由數(shù)學定理竟推出數(shù)學動點根本不能動——書上數(shù)軸是自相矛盾的假集

學習研究數(shù)學的目的之一是定量描述運動物體的位置的改變?，F(xiàn)實中由大到小取值的變量比比皆是（例自由落體的高度）決定了數(shù)學中由大到小取值的變量比比皆是，例沿x軸負向運動的點。點x→c到點c的距離ρ≥0是由大到小取值的有序變化的有序變量，稍有一點頭腦的人都知道ρ必取盡變域D所有正數(shù)后才能取0=x-c即ρ必取到無正數(shù)可取了才取0。但有定理斷定ρ→0每取一正數(shù)ρ后總還有后續(xù)正數(shù)如ρ/2∈D要取而總不能取到無正數(shù)可取從而更談不上能取0——尖銳自相矛盾！可見困擾科學界2500年的著名“運動不存在”芝諾悖論實質(zhì)上是深刻揭示不能真正用數(shù)來表達運動的數(shù)學危機。在科學界不但不察存在2500年的數(shù)學危機反而還將有過人科學洞察力的芝諾斥之為詭辯家的“科學共識”反映一種劣勝優(yōu)汰現(xiàn)象，這使人不能不感嘆2500年前的芝諾的科學洞察力遠在不少當代人之上。數(shù)學、物理學家蘭佐斯是明白人，他清醒指出：不能否認，我們碰到了一難解之謎（這是世界難題——黃小寧按）。我們知道連續(xù)性這個概念，可我們卻不能夠把它描述出來。我們觀看一運動物體從位A移到位B，但卻不了解這是怎樣發(fā)生的?！?。聰明的芝諾曾用他那…著名悖論非常形象地描述了連續(xù)性的這種矛盾的本質(zhì)。（蘭佐斯《無窮無盡的數(shù)》第157頁，中譯本）因x數(shù)軸是連續(xù)的故沿軸從原點o→x=1處的動點x不經(jīng)過與o只相隔1個、2個、…有窮多個點∈x軸的階段就絕不能進入與o相隔無窮多個點∈x軸的階段，正如一人不經(jīng)過兒童期就絕不可進入少年期一樣；但有定理斷定此點x所能到達的各正數(shù)位置x都與o相隔無窮多個正數(shù)點∈x軸——顯然抹殺了x有序漸變的連續(xù)變化性，故此定理使書上x軸“是自相矛盾的非集”。產(chǎn)生邏輯悖論是因主觀認識與客觀實際不符。點的有序連續(xù)變化規(guī)律：沿一維空間K運動的點從一位置y有序連續(xù)運動到另一位置y+△y若不首先與y只相隔有窮多個位置點∈K就絕不可與y相隔無窮多個位置點∈K；同樣...。

由大到小取值且變域為[1， 2]？奐R的x有最后一次的取值即其取數(shù)過程是有完有了的。真正的無窮集必是“無窮無盡”與“有窮有盡”的對立統(tǒng)一體。

7 h常識和上述啟蒙知識讓幾千年初等數(shù)學一直未能識的最小正數(shù)一下子暴露出來——百年極限論一直存在重大錯誤

設數(shù)學內(nèi)的所有實（正）數(shù)組成S（S+）。中學幾千年“常識a”：“任何正數(shù)y=k（y/k），k>1”使自有函數(shù)概念幾百年來數(shù)學實際上一直認定S+Эy都有對應正數(shù)y/k=x∈S+即S+Эy>y/k=x∈S+。據(jù)h常識這就是說S+有正數(shù)xx=y/2>0中的y可取一切（任何）正數(shù)就是說x>0可<一切正數(shù)而取非正數(shù)。這一非弱智人都能明白的不等式常識說明并非每一正數(shù)y的下面都有對應正數(shù) y/2——意味必有未知正數(shù)y的下面沒對應正數(shù) y/2等。說⊥地平面的“y軸中由大到小一個不漏的各個正數(shù)元點y的下面都有正數(shù)點=y/2∈y軸”就是說y軸有正數(shù)元點在y軸一切正數(shù)元點的下面——病句。所以此“y軸”是“自相矛盾的非集”。

h定理7：元為正數(shù)且至少有兩元的V+必有最小元。

證2：獨立變量y>0與非獨立變量y>0有根本區(qū)別。變域是Z的y=kx>x>0中的y（x）被限制所取各數(shù)y都須有別的正數(shù)x=y/k∈V+與之對應從而不可不受任何限制地遍取V+一切數(shù)，說y=kx>x∈V+可取V+一切數(shù)就是說式中x可0就可遍取V+一切數(shù)，因其所取各數(shù)y無須被限制一定有≠y的正數(shù)∈V+與之對應。證畢。

據(jù)h定理7，①任何距離函數(shù)ρ≥0的變域都有最小正數(shù)元——使芝諾著名“運動不存在”世界難題迎刃而解；②V+=S+有“更無理”和“更虛”的最小元y=0′使相應符號y/2等，或不能代表數(shù)（此時y≠2（y/2）），正如當 x=0時c/x 不能代表任何數(shù)一樣；或代表數(shù)學以外的另類正數(shù)，正如比普朗克長度短的非0長度是物理學外的長度一樣。S+外的“正數(shù)”要么不是數(shù)，要么是數(shù)學外的數(shù)。

可用另一方法證U=（0，1）有最小元：S+？勱L=（0，k>1） =U∪[1，k）中的U=（0，1）Эx>0變大為y=kx∈L 組成Z？哿L。將S+中滿足y=k（y/k）=kx>x∈S+的元y=kx（k>1）稱為平凡正數(shù)，因這各y=kx都是由式中x變大為kx而來的，Z是L中一切平凡正數(shù)y=kx>x∈U組成的集。據(jù)h定理4U至少有一正數(shù)元xx，此Z外的x∈U顯然是非平凡正數(shù)x而沒對應正數(shù)x/k∈S+——說明此x=0′。據(jù)h定理1L≠Z（LЭx=y的絕對值是獨立變數(shù)x=y>0，ZЭy=kx的絕對值是非獨立變數(shù)y=kx>x。），其實L的元為x>0而Z的元是y=kx>x也從一側面說明L≠Z，包含Z的L≠Z表明L中至少有一？埸Z的元。

以上中學生都能看懂的一系列論據(jù)還很不夠，后文對0′還要作更有力的證明。發(fā)現(xiàn)0′說明“[0，1]Эx的對應數(shù)y=kx（k>1）的全體組成[0，k]”等等，是一系列重大錯誤。

極限論的j式：ε>ρ=|x-a|（正無窮?。?gt;0中的ε表示什么？ε可是0.1，可是0.01，可是...，...——可是任何有窮正數(shù)。據(jù)變量定義ε是每取一個數(shù)ε都可固定一下的變量，凡變量必有變域，故ε是其變域E的任一元。能由j式中的ε代表的數(shù)的全體E就是此ε的變域。由h常識EЭε>ρ>0表有無窮小正數(shù)ρ0可變至<任何正數(shù)ε而取非正數(shù)。非頭腦遲鈍的學生都能看出這一非常明顯的事實，因非數(shù)盲者都能一眼看出：說j式與c=0<ε中的ε均是任何正數(shù)就是說變數(shù)c=0（變域內(nèi)只有一元）與ρ>0都可變至<任何正數(shù)而取非正數(shù)。故中國大陸多數(shù)編書者都改說ε是“任意?。ńo）定的正數(shù)”（不說在哪一范圍內(nèi)任取且特意不用j式來定量闡明正無窮小概念）且認定這與“ε是任何正數(shù)”不等價（否則就不會作此改動）。然而標準數(shù)學中常見此推理：0≤|A|<ε，由ε的任意性知A=0（孫念增譯《高等數(shù)學教程二卷二分冊》第328頁：L-b<ε，由于ε的任意小性，可肯定L=b。）——等價于說：因ε是任何正數(shù)故非負的|A|<ε必=0。因若有正數(shù)不可由ε代表就不能斷定|A|=0。但這一出爾反爾就不易被初學者察覺了；掩蓋矛盾與消除矛盾有根本區(qū)別?！俺?shù)中只有0才是無窮小”的依據(jù)是“正數(shù)與0中只有0才可<ε”。這使標準數(shù)學自相矛盾，因j式中取正數(shù)的ρ可<ε（意味有正數(shù)ρ<ε）。所以極限論一直有重大錯誤： 直接或隱蔽地變相斷定ρ>0可<任何正數(shù)而取非正數(shù)。鮮明對比的是“任何有窮正數(shù)ε>ρ>0”就非病句。有專家說：A是數(shù)而j式中的ρ是變量而不是數(shù)，故你說的矛盾并不存在。但至少可取兩數(shù)的ρ是變量而不可取數(shù)的ρ不是變量，數(shù)與數(shù)之間才能比較大小，而非數(shù)的“鬼魂”ρ竟也>0和<ε；A與變數(shù)ρ的區(qū)別只是：A的變域內(nèi)只有一個數(shù)，ρ的變域內(nèi)至少有兩個數(shù)；只能代表一個數(shù)的A是數(shù)，至少能代表兩個數(shù)的ρ竟反而不是數(shù)？！越辯解就越是一片混亂??！起碼數(shù)學常識：j式表示ρ是介于0與ε之間的數(shù)或是取（0，ε）內(nèi)數(shù)的變量。然而教授說：“它是一個變量，它不代表任何確定的數(shù)，……[10]”（注：變量的變域是由確定的數(shù)組成的集）。這使不敢懷疑教授會犯常識性錯誤的學生不禁感嘆：數(shù)學真是高深莫測??！

j式的ρ∈R+說明標準數(shù)學暗含無窮小正變數(shù)ρ<ε，R中暗含<ε的正數(shù)ρ0<ε，不論你指定哪一有窮正數(shù)ε都有ρ0<ε。否認存在這類正數(shù)與否認無理數(shù)一樣都使數(shù)學自相矛盾。詳論見文獻[11-12]。

8 起碼數(shù)學常識顯示有未識正數(shù)不可1010倍于別的正數(shù)∈S+

y=x/1010+x=θ+1010θ>0中的末項x=1010θ>>θ>0總不可忽略即y≈x/1010+0總不成立是因可→0的x與首項x/1010=θ相比實在是總距0太遠了從而遠不可視其為0而忽略——說明→0的x也有相比下總距0太遠的另一面從而遠不可進入數(shù)學一直未能察覺的0的某充分小鄰域內(nèi)！在高精度近似計算中凡有變量x>0不可略必表明x相比下總距0極遠。DЭx=1010θ>>θ>0 直接表達DЭx分別1010倍于別的正數(shù)從而相比下都是距0極遠的>>0的極大正數(shù)（凡可1010倍于別的正數(shù)∈S+的正數(shù)都∈D）。各元（相比下）均為極大正數(shù)的集遠不能包含所有正數(shù)——凡違反此起碼邏輯學常識的集必是自相矛盾的假集。故中學“既含全部正數(shù)而又各元x（>>x/1010>0且<<1010x）相比下都是極大（小）正數(shù)”的“正數(shù)集”是假集。自相矛盾的理論是有頭腦且不愿盲從者無法接受的理論，從而極難學難教。絕不可將可取一切正數(shù)的x視為0而忽略——此起碼數(shù)學常識否定“x的變域D含一切正數(shù)”——說明D外有數(shù)學一直未能識的正數(shù)x而沒對應數(shù)x/1010∈S+。“各已知正數(shù)x>>x/103>>x/106>>…>>…相比下全是距0無限遠的極大極大…（無窮多個極大）的無窮大正數(shù)x。只識此類x猶如上述的只識光年尺度[13]”遠不夠用，遠不能滿足用數(shù)來表達運動的需要。

近與遠是相比較而言的。何謂質(zhì)點？愛因斯坦：“一個大小可忽略不計的物體，就作為一個點。”（《愛因斯坦文集（一）》第204頁，中譯本，1976年）在光年尺度下地球是質(zhì)點，北京與廣州相距極近而處于宇宙的同一位置：都在地球內(nèi)（與宇宙相比地球是微塵）；但在公里尺度下兩地相距極遠，只識光年尺度是遠不夠的。同理，0

9 二千幾百年“點無大小”使幾何學一直不能自圓其說

挖去x軸全部點，x軸就變成位置洞集?！伴L度都=0的位置洞能形成長≠0的洞集”是不合邏輯的。設x軸各元點不可重疊（合）在同一位置上使沿x軸移動的元點只能移動到空位內(nèi)；x軸沒空洞使各元點能沿軸移動的最大距離是0，正如擠滿人的電梯內(nèi)的人都沒運動的空間一樣。挖去x軸原點就空出一位置洞x=0（可供點運動的空間），這有洞x軸的線段h=（0，1]各點x都沿軸負向平移一個點的長度距離ρ3到空位內(nèi)形成元為點x′=x-ρ3的線段[0，1-ρ3]？奐有洞x軸從而又生一新空位x=1，h所平移的距離ρ3是容納原點的位置洞的長度?！唉?=0”就是說h能沿軸移動的最大距離是0即1-ρ3=1。這與事實不符——產(chǎn)生科學悖論的原因。h若沒移動就不能使原有的空位內(nèi)又有點了。故“=0”是自相矛盾概念。不能因不識未知正數(shù)ρ3就否認h可平移的事實。又例因“點是點集的一部分”，故“長為0的點能聚集成有長線段”中的“線段”是明顯不合邏輯的假無窮點集。故“點無大小”公理是不合邏輯的自相矛盾概念（這是數(shù)形結合出現(xiàn)“全部點可與部分點一樣多”“分球怪論”等形形色色怪論的根源）。后文還要續(xù)論此事實。故須提出符合客觀實際的“點”概念?！包c”的問題是點集論與幾何學的最根本問題。

10 提出數(shù)容器概念推翻百年集論從而可看圖識N的無窮大元——有首項的無窮序列都有末項

1，3，2中有數(shù)改變了位置就形成另一數(shù)列3，1，2了。可見數(shù)列不但與數(shù)有關且與各數(shù)的所在位置有關，故其一項中有兩個成員：數(shù)和數(shù)所在位置。直線是由其像素點各就各位地分別占據(jù)一定位置而形成的，同樣數(shù)列{an}無非是各數(shù)各就各位地進入各指定位置“座位”排成的一行（列）數(shù)，各座位與各an已一一配對：an？圮n號位。座位可由○形象表示（也可將○看成是只容一數(shù)的數(shù)容器），挖去一數(shù)就留下一單身位置○， 正如挖去復平面一個點就留下了一個“洞”那樣，挖去全部數(shù)就留下空位○序列。故可記數(shù)列N={①②③...}，其中○表示數(shù)的座位，僅僅挖去其全部奇數(shù)而非奇數(shù)項就得與其等長的L：○②○④○...，“拆東補西”地讓各n=2q都移入q=1，2，...號位得②④⑥…；○○...中各n=2q都換為q得①②③...；○○...——前列是“夫妻”列，后列是空位列，因“拆東補西”前、后的單身空位是一樣多的。各空位的位號數(shù)n顯然都是無窮大自然數(shù)>前列一切數(shù)q，詳論見文獻[14]。

N中各數(shù)可交換位置，看圖可知一n前移“奪占”n′的座位○的同時其原座位也變空而在n后，這是一對一的，故被奪占位置的數(shù)都可后移到空位上。故當N各偶數(shù)n=2q都前移到n=q號位（被奪座位的數(shù)可后移而總有空位與之對應）后就得K：②④⑥…；…——因K還含N全部數(shù)故K中有兩無窮數(shù)列：前列Q含N全部偶數(shù)，后列的數(shù)都是奇數(shù)jn（n=1，2，…）∈N且都處在K一切偶數(shù)n=2q的后面而都與②相隔無窮多個數(shù)；故K中有首項是②，末項的數(shù)是jn的各無窮數(shù)列。朱梧槚大著[4]第218頁中含N全部數(shù)的“2，3，4，…，n，n+1，…，1”中的1是該數(shù)列的末項。

h定理8（改天換地的改偶定理）：無窮“夫妻”數(shù)偶集F={（x，y）}內(nèi)“男、女”雙方的“人”之間任意重新配對（有的人“喜新厭舊另結新歡”改配偶使有的人變成“單身”，…。）后，一方出多少個單身，對方也必只能出多少個單身。

證：F中任一非“單身”改與另一非單身配為新夫妻的各自原配偶就成分屬男、女方的一對單身，一單身“再婚”就或使對方一單身也再婚，或拆散一對夫妻而生一與其同“性別”的新單身，沒別的可能。故F中人任意改配偶（新配偶必是F中人）后一方出n個單身的同時對方也只能出n個單身。證畢。

設兩不交且非空的集d、h 的并集記為d+h=H，d=H-h，非空D～D表示兩D的元已一一配對：x？圮x。

h定理9：任何無窮集W的任一非空真子集w的元必少于W？勱w的元而不～W；故凡～W的集必不是W的真子集。

證1：用反證法。假設A=w～W=w+g成立則據(jù)改偶定理在A、W雙方的元一一配對后再令A（=w）方各元y=x都改與W方的x（=y）∈w=A～w配對后，A（=w～w）方有0個單身的同時W=w+g方也只有0個單身，然而事實上非空g？奐W各元都是單身，故假設不成立。

證2：任何非空數(shù)集必占數(shù)宇宙的一定空間。數(shù)集W各數(shù)分別處在各不同位置上，一位置可形象化為一數(shù)容器○（這一概念的提出對撥亂反正地正確運用“配對”法判斷兩無窮數(shù)集是否等濃度起決定性作用）。W各數(shù)x都進入數(shù)容器○內(nèi)，各○與各x已一一配對：x？圮裝x的容器○，其中所有○組成的數(shù)容器集記為W器～W。非常顯然：W的任何真子集w都不可充滿W器（裝入了W的W器內(nèi)有部分數(shù)被挖去使W器內(nèi)數(shù)集是w？奐W就出現(xiàn)單身空容器○，W器內(nèi)一數(shù)x離開原位改入一單身○內(nèi)的同時必生一新單身○即一單身○變?yōu)榉菃紊淼耐瑫r必生一新單身○，故w不可充滿W器。）——一目了然地表明W的元必多于w的元。證畢。同理凡是～w的數(shù)集也必不可充滿W器表明有

h定理10：凡～w？奐W的數(shù)集的元必少于W的元，凡～W的集的元必多于w？奐W的元。

傅種孫：“有多邊形于此，截去一角所余必不與原形等積。試問何以知其然？答道‘全體大于部分。區(qū)區(qū)6字就解決了。事實上問題并不是這樣簡單，須知希爾伯特費十數(shù)頁的篇幅才把它解決的?！保ā稊?shù)學通報》1962/11，第25頁）——本來小學生也一看就知的極簡單的面積問題卻要“故弄玄虛”地費十數(shù)頁紙才能證明它。這是典型的化簡為繁、化清為濁。數(shù)學的證明中有不少類似這樣化簡為繁的例子（例對隱函數(shù)存在定理的證明）。這勢必大大增加學生的學習負擔和不得不延長學制。產(chǎn)生“高深莫測”的“數(shù)學”的癥結是對數(shù)與形的認識有驚人淺薄和極重大錯誤，“深入才能淺出，淺入就只能深出?！薄凹賯魅f卷書，真?zhèn)饕痪湓??！薄?/p>

再證N有最大元：G=N～N中的G的非1元x=n+1都被令改有新配偶n∈N（所有n=1，2，…組成V？哿N）后，G的1（原有配偶1∈N）就成單身，據(jù)改偶定理N也必出一單身x1？埸V（Эn=1，2，…都非單身），這V 外的x1>V？哿N一切元n顯然是n。證畢。將“N”換為“元是n=1，2，...的集”就證有

h定理11（末項定理）：各有首項的無窮序列都有末項。

11 數(shù)學教育界也有“皇帝新裝”現(xiàn)象——康脫對數(shù)與數(shù)列的認識有赤裸裸錯誤

于宗義：“一列有理數(shù)（...）就稱為一個實數(shù)，...。...。而且這個思想方法已被泛函分析和其它學科推廣了”（文獻[9]書第62-63頁）。康脫將由無窮多正（負）數(shù)組成的“基本數(shù)列”：{±1/n}和{1/n2}定義為一個數(shù)0即說{±1/n}={1/n2}=0。這是赤裸裸地將白定義為黑的錯誤。理由： （1）將一群正（負）數(shù)定義為一個數(shù)0是連偷換概念（單獨一個數(shù)與無窮多個各異數(shù)是兩不同概念，不可作分母的0與非0數(shù)也是兩不同概念。）也遠談不上的指鹿為馬。（2）不少課本說這3數(shù)列是無窮小變量，而正無窮小與負無窮小有根本區(qū)別且都≠0，還有：不同階的正無窮小是有重大差別的。課本有：設{an}和{bn}是兩基本有理數(shù)列，若|an-bn|→0（n→∞）就稱{an}={bn}。稱基本有理數(shù)列是一個實數(shù)，規(guī)定相等的基本有理數(shù)列是同一數(shù)。（文獻[9]書第56頁）按此定義由無窮多非0數(shù)（其中有>>0的各數(shù)）組成的“基本數(shù)列”A={1010，109，108，…，1011/10n，…}就=B={-1011/10n}（“=0”），因|1011/10n -（-1011/10n）|→0（n→∞）。這顯然與事實不符，因極顯然：正項數(shù)列與負項數(shù)列有根本區(qū)別，且按“相等”的含義兩無窮數(shù)列{an}和{bn}當且僅當其分別包含一樣多個數(shù)且an必=bn時它們才相等——數(shù)列起碼常識。“皇帝新裝”中人們不察皇帝光身，反而認為其“穿了件只有非蠢人才能看得見的高級時裝”，現(xiàn)實中師生們百年不察“偉大數(shù)學家”康脫赤裸裸錯誤，反而認為“這是聰明人才能理解的高深理論”。

12 證明有最小、大正數(shù)——起碼數(shù)學、邏輯學常識凸顯N只是正整數(shù)全體的滄海一粟，凸顯有未知正數(shù)x沒對應數(shù)1010x等

質(zhì)量為M=kx的地球上一砬質(zhì)量為x的沙子被風揚起到天上，M就受到擾動而變?yōu)?kx+（-x）≈kx+0，若x→∞則x與kx（k>>1固定不變）相比始終總是等價于一沙子與地球相比，以致于還可視x→∞為0而忽略。同樣，定義域為D的

y=1010x+微不足道的微擾項x≈主部1010x+0>>x>0

是說變域是D的微擾余項x（可→∞）與y的主要部分1010x[微擾項x>0僅占y的1/（1010+1）]相比實在是總距0太近了以致于可視其為0而忽略即說DЭx<>x>0）的元點（x，y1）均垂直上升使其高度均由y1（幾乎沒變化地）變?yōu)閥2=1010x+x≈y1=1010x生成元是點（x，y2）的射線y2（x）≈y1；兩射線幾乎重合是因點（x，y2）與點（x，y1）的距離y2-y1=x（變域是R+）→∞相比下總距0太近從而使兩點相比下總幾乎重合在一起，即各點（x，y1）上升的高度x→∞相比下均≈0， 亦即R+Эx相比下均≈0。

故中學斷定D可=S+（依據(jù)是自識正數(shù)幾千年來一直認定的“常識i”：不論哪一正數(shù)x都有對應kx>x），是膚淺認識。真正常識推翻“常識i”揭示D絕不可含一切正數(shù)。因凡有對應數(shù)1010x∈S+的正數(shù)x均∈D故D外正數(shù)x必沒對應1010x∈S+，此x是數(shù)學一直未能識的正數(shù)。所以“各元>0相比下均≈0的D含一切正數(shù)”中的D是違反起碼數(shù)學、邏輯學常識的“自相矛盾的非集”。x→∞距0的遠近性不能孤立片面地僅與定量相比而更要與論域中別的變量y→∞及1010x相比。

再三證明有0′：證1：設U=（0，1）？奐S+中一切有性質(zhì)a（見第7節(jié)）的元y=kx>x>0組成A？哿U（A或=U或？奐U，中學斷定A=U）。由0x”中的k>1是任何使kx∈S+的k>1。證畢。

13 證明R+有最小、大元，試提出符合實際的“點”概念

設0ε表y是正無窮大變數(shù)>一切有窮正數(shù)ε。

定義3：當a/b（a、b均≠0）=有窮數(shù)時稱a、b是同世數(shù)（同一數(shù)世界內(nèi)的數(shù)），記為atb，否則a、b是異世數(shù)。

兩非0同世數(shù)之間沒無窮大差別。R是數(shù)宇宙而由無窮多數(shù)世界（星球）組成，而S中有無窮多各大小不同的數(shù)宇宙。

大與小是相比較而言的。設y=o（x）表示y是比x高階的無窮小數(shù)，y/x=o（x）/x=o（1） 是比1高階的無窮小數(shù)，1與y>ε相比是無限接近零的“無窮小數(shù)”，正如各星球與宇宙相比均是無窮小天體，而各星球的沙子是較星球高級的無窮小那樣?！盁o窮小”是有現(xiàn)實原型的。y>ε與1相比是無窮大，但與無窮大倍于y>ε的y2相比就是無窮小了；1與正數(shù)x<ε相比是無窮大，...；...。

故R軸可由相對于R軸不可再分的大小都一樣的“分子”點：長為⊕的正方形點x（□的邊也是點集）組成，分子也是無限可分的，□點是由長=o（⊕）<<<（遠遠遠小于）⊕的點組成，□是由其一條邊運動生成的；但凡長≠⊕的點都非R軸的“分子”。kR（正數(shù)k≠1且不可>ε）軸由相對不可再分的“分子”點：長為k⊕的點組成?！癛各數(shù)（點）x”顯示R是數(shù)（點）集，但數(shù)集R與點集R有根本區(qū)別。R軸各點x均彈性伸長變?yōu)殚L是2⊕的點X=2x組成X=2x軸。詳論見后文。數(shù)形結合須躍出根本誤區(qū)。

定義4（點定義）：直線（點集）的元點是組成點集的有大小的“分子”。各點如原子有原子核那樣有中心，這中心稱為點的核心（設是圓形）而<<<“分子”，點的長度>>>其核心的直徑。兩點間的距離是它們的核心的連線的長。

定義5（線性直線定義）一直線中若沒一元點無窮大倍于另一元點就稱其為線性直線（相應平面是線性平面，…）。

線性的x軸變?yōu)榫€性X=kx軸是線性變換。x軸作點變換地變?yōu)閄=x3軸就是非線性變換了（點x變?yōu)辄cX=x3，有的點伸長，有的點縮短。）。y=x3+x6可代換為y=u+u2（u=x3，x軸變換為u=x3軸），要注意x的變域是R，但u=x3的變域（有最小正數(shù)元⊕3）與R有極重大差別，u=x3軸是極其復雜的非線性軸，其一元點可無窮大倍于另一元點；...。對數(shù)空間的結構的認識后文還要討論。

R兩異元之間若沒元∈R就稱它們在R中有相鄰關系，其余類推。R各元都有與之相鄰的元∈R。R中兩相鄰元n⊕與（n+1）⊕（n=0，1，2…）之間“有無窮多個標準正數(shù)”均？埸R，例0與⊕之間有R外標準正數(shù)⊕/k（k>1取一切可取的>1的數(shù)），故R+只是標準正數(shù)全體的滄海一粟。

定義6（線性直線的類型）各元點的大小、形狀都一樣且任何相鄰兩元點的距離是固定正數(shù)的直線稱為單一型線性直線（相應平面是單一型線性平面，…）。若線性直線A的一線段的元點均由長為⊕的點組成，另一線段的元點均由長為1.2⊕的點組成，...，但各線段分別也是相應單一型線性直線的區(qū)間，則稱A為復合型線性直線（這類直線各元點的大小、形狀并非都一樣，正如糖水內(nèi)既有水分子也有糖分子那樣。）；...。

14 坐標變換引起的“長度收縮”

長為c的線段s=（0，1）？奐R軸各點x伸長變?yōu)辄cX=3x使s伸長變?yōu)椋?，3）？奐3R。但要注意若s各點x本身都沒伸縮變化而只是坐標x變?yōu)閄=3x得元是X的線段（0，3）？奐3R的長就還是c而非3c。須正確認識“坐標軸平移和伸縮”概念。x軸R各點x沿軸保距平移同一距離（各點的位置都變了）變?yōu)辄cX=x±3生成X=x±3軸是x軸沿軸平移。R各點x都沒動，但各點x的位置都改由X=x+3來標示即只是在軸上另選一元點作為新原點得X=x+3軸，其原點是X=x+3=0（x=-3），但坐標變換前后的直線是同一位置的同一直線?！包c變換”與“坐標變換”有根本區(qū)別。同一點x，用另外的數(shù)X（x）來標示它的位置，與它本身被放大（縮小、移位、變形等）而變?yōu)榱硪稽cX（x），是兩不同概念。點以及標示點位置的方法都完全相同的坐標軸才是同一軸；...?？梢婞c集與數(shù)集有根本區(qū)別。

設xy面的x、y軸是釘在一起的十字形，各軸不可單獨平移但可單獨伸縮變化。相對論中有“長度收縮”。數(shù)學中也有“長度收縮”：x軸的射線x≥0各點x≥0本身沒變，但各點x的位置都改由X=x/3來標示得射線X=x/3≥0還是原射線，其起點A的舊、新坐標分別是x=0和X=x/3=0，另一元點B的坐標分別是x=6和X=x/3=6/3=2；同一線段AB在射線x≥0系中的長是6-0=6，而在射線X=x/3≥0系中的長是“2-0（兩坐標X=0與X=2的差的絕對值）=2<6”。同樣可有“長度膨脹”：...。射線x≥0各點x本身收縮變?yōu)辄cX=x/3使射線x≥0收縮變短為新射線X≥0（線段AB隨之也縮短），不知此射線根本不同于前述彼射線X≥0會使人們誤以為“同一線段在不同坐標系中可有不同長度”。保距平移的AB各點的運動速度必相等，否則若各動點作保序不保距平移，運動的AB的長度就有改變。運動的坐標軸若有伸縮的點變換，那就是非保距變換了。宇宙學家把膨脹或收縮的宇宙比喻成一氣球，“共動坐標系”如同畫在球面上的坐標網(wǎng)格。氣球脹（縮）時坐標軸就有伸縮的點變換了。

15 試提出R2的結構——存在元點之間均不相連的直線——幾百年解析幾何對直線的認識一直有極重大缺陷與錯誤

沿桌面運動的直徑是1的兩一元硬幣（幣面∥桌面，兩幣間的距離=兩幣的幣心的連線的長）接近到有碰觸部分時它們的距離是1，若距離<1而又>0則一幣的一部分必需翹起來覆蓋在另一幣上，稱兩幣接近到有重疊部分的程度。同樣，剛性的R軸兩相鄰元點（不可縮?。┑木嚯x是⊕，稱這兩點只有碰觸“接吻”部分而沒重疊部分，若距離<⊕而又>0則說明兩者有重疊部分。

定義7：單一型線性直線A的兩相鄰元點若均沒重疊部分就稱A為單一型h1類直線，若均有重疊部分就稱A為單一型h2類直線。kR軸可是由長為k⊕的點作直線運動劃出的單一型h1類直線。

n⊕（1/⊕）=n。在放大1/⊕倍的h思維“顯微鏡”下R軸由長度都為1的點組成；…。 h顯微鏡下R+={n⊕}是{n}，R的區(qū)間[0，1]是{0，1，2，...，1/⊕}，其各元x變?yōu)閥=2x=2n∈R且∈2R組成元是y的Z={0，2，4，6，...，2/⊕}？奐R不是R的區(qū)間[0，2/⊕]而只是該區(qū)間的真子集，但Z是2R的區(qū)間。數(shù)集與點集有根本區(qū)別。R軸？勱D=[1，2]各點x沿軸移動到位置x+△x=X=2x∈R軸處（點還是原來的點而只是改變位置）組成的直線段Z=[2，4] ？奐2R軸，數(shù)集Z也？奐數(shù)集R但不是R的區(qū)間。

古人曾猜想幾何平面是和布那樣由一根根線交織而成。幾何簿的方格平面由一個個小方格□組成，□是平面的“分子”元點，在該面上任意畫一曲線往往不是該面的子集。R+={n⊕}說明R2面可是由一個個長、寬都是⊕而面積是⊕2的無窮小□點組成的方格平面，各元點都必須放大足夠大的無窮大倍才肉眼可觀?！觞c∈R2以其核心為軸旋轉一相應角或保形均勻膨脹變大（壓縮變小）或改變形狀就變?yōu)榉荝2的“分子”了，雖然其位置坐標沒變（元點變換前后的核心是重疊在一起的）。故x、y均∈R的點也可不是R2的元點。R軸可是一元點□作相應直線運動劃出的寬為⊕的無窮長長方形。x軸、y=x軸？奐R2分別單獨作伸縮變換等而變?yōu)閄、Y軸就？埭R2了，而是相應XY平面的子集。x軸各點x均勻膨脹變大（壓縮變小）為點X=kx（k>0），x軸就伸縮變換為由長=k⊕的點組成的X=kx軸。

為方便研究將R2面置于h思維顯微鏡下，鏡下R軸是相應的整數(shù)x（=0，±1，±2，...）軸（R2面是相應的...）而由長、寬都是1的□點組成，兩元點x與x+△x之間的距離ρ=|△x|=1時稱它們相切或相碰，ρ>1時兩點完全分離開來，0<ρ<1時兩點有重疊部分，ρ=0時兩點完全重合。R軸的射線x≥0的點x=n=0，1，2，...全都沿軸正向前移成點X（n）=x+△x=1.2x=1.2n（點還是原來的點而只是改變位置）生成射線Z的元點的坐標X（n）=1.2x=1.2n有部分也∈R，但顯然有無窮多1.2n都不是整數(shù)而？埸R。當X不是整數(shù)時點X就非R軸的元點了，雖然其可疊壓在R軸上。射線Z的元點X=1.2n（n=0，1，2，...），其任意相鄰兩元點的距離|1.2（n+1）-1.2n|恒=1.2>1說明它們完全分離，故Z的元點之間是互不相連的。故存在元點之間均不相連的直線。

h顯微鏡下兩相鄰正方形元點：□□原來∈x軸是相連的：兩點間的距離是1，距離變大為k>1后兩點就成現(xiàn)在這樣而不再相連了；設各點的寬不變而長相應變大，各點就變?yōu)殚L方形點而可使兩點是相連的：兩點間的距離是長方形點的長k>1。直線（R2的子集）y=0各點（x，y=0）的高度均由y=0變?yōu)閥=1.2x=±1.2n生成元是點（x，y=1.2x）（點還是原來的點而只是...）的直線β：y=1.2x不是R2的子集而是R×1.2R的子集，因有無窮多y=1.2x都？埸R；但線β的大部分是可畫在R2上的，要注意重疊與重合有根本區(qū)別。...。顯然直線y=1.2x±1也非R2的子集；...。

定義8（直線的元點的沿線長度）：有大小的點p沿直線運動就生成單一型h1類直線（段）V。在點p各相應時刻的位置上都相應放上與點p相同但不動的點，它們所排列成的點列就是V。V兩相鄰元點（兩點相切）的核心的連線的長稱為V的元點沿線V的長度（后文常將“沿線”二字省略）。

點運動生成線，線動成面，...。點□的運動路線若∥□的一條邊則點□的沿線長=□的邊長f，否則就≠f。所以作曲線運動的同一點的沿線長是可變的。沿線長是1.2⊕的動點p沿x軸R運動劃出的軌跡是直線段V疊壓在x軸上，但V？埭x軸；...。同理沿R2面運動的動點劃出的拋物線、直線等也往往？埭R2。要注意圖形中的點不一定是其元點，正如沖入地球的流星不是組成地球的成員那樣。x軸可伸縮變換為相應的X=1.2x軸使V任一元點的核心與X軸一相應元點的核心的連線必⊥X軸。

點集中重合在一起的兩元點是點集的同一元。有x軸的二重元點A與B=A的位置是x=0，現(xiàn)點A單獨離開原位地沿軸移動，若B與A的距離>0但<⊕或=1+⊕/2？埸R等，則點A雖還在x軸上但卻不是x軸的元點了?？梢妜軸上是可有與元點大小、形狀等完全相同的非元點A的，但A的位置須用R外數(shù)∈kR（k≠1）標示；...。圖形一元點A移動變?yōu)辄cB的過程中當B≠A與A有部分重疊時B還不是圖形的元點。單一型h1類直線一元點A沿線移動的距離須≥點A的長度才能變?yōu)榱硪辉c。點集與數(shù)集有根本區(qū)別。R2中一線性點A（x，y）的核心若不與R2的任何元點的核心重合則A不是R2的元點， x、y中至少有一數(shù)？埸R而∈kR；...。沿R2面運動的質(zhì)點劃出的沒空隙的直線（段）等圖形A的各元點若往往？埸R2則A顯然？埭R2；...。其余類推。將R×1.7R面的子集直線（段）Z單獨提取出來疊壓在R2面上，但Z？埭R2。

上述說明R2上過（0，0）且定義域為R的直線y（x）=kx中除了直線y=±x和直線y=0外均非R2的子集；x軸以點x=y=0的核心為軸旋轉一角度往往就變成不是R2的子集了，平面z上的各不同直線zi=x（cosθi+isinθi）（i=1，2，...且θi≠相應角度）分別是各不同平面zi=z（cosθi+isinθi）的子集?？梢娊馕鰩缀螌χ本€的認識一直有極重大缺陷與錯誤，疊壓在平面A上的直線段等不一定？奐A；...。

某條件下x′=xcos45°軸可等價于長度是⊕cos45°的動點作直線運動劃出的單一型h1類直線。第5節(jié)中⊙1的一直徑是x軸的子部Z，Z以圓心為軸旋轉一周所得圓盤A是A所有直徑組成的集（各直徑都是Z以圓心為軸旋轉相應弧度而得），上述表明A？埭R2；因直徑有寬度⊕故在圓心附近A各直徑之間是可有重疊部分的。

x軸R變?yōu)閄=kx軸可有另一種幾何解釋： 剛性的x軸（可如伸縮桿那樣作非彈性縮短）作點變換變?yōu)閄=kx（正數(shù)k>1）軸是因x軸各“剛性”元點彼此保序均勻拉大一段距離而使x軸變換成X=kx軸，故兩軸均由長為⊕的點組成；但顯然X軸兩相鄰元點沒碰觸及重疊部分而不相連，除非各點X都均勻膨脹變大；若k<1則是因x軸中兩相鄰元點之間的距離都由⊕變?yōu)閗⊕（正數(shù)k<1）生成X=kx軸，其兩相鄰元點之間有重疊部分，除非各點X都均勻收縮變小。

當需深究直線段由多少個像素點組成，作直線運動的點是如何從一位置有序連續(xù)運動到另一位置時就須深入到“點”這一層次上來研究幾何圖形及其變換；組成成員相同但組織結構不同的直線有根本區(qū)別，正如棉線與鐵線有根本區(qū)別一樣。反之也是；...。當無需深究...時就可不管這些區(qū)別。

將長為1的閉直線段Z作1/k⊕（有窮正數(shù)k可=1）等分，Z就有1/k⊕個子部，可將各子部看成是Z的元點，Z由長均為k⊕的點組成。人們用積分法來求R軸的直線段Z=[2，3]的長時可將Z1/0′等分，Z各子部的長|dx|=0′——不必限制dx所取數(shù)均∈R同樣能得正確結果；同樣，求定義域為Z的曲線段y=y（x）的長時將曲線段分割為無窮多個子部，不必限制各子部均...。其余類推。

16 動點在R2面劃出的光滑曲線s實際上由直線段組成且s往往不是R2的子集

看圖知方格平面R2中除個別點外的元點p（x ，y）都有p的最小正方形鄰域？奐R2由點p和8個與p相鄰的點∈R2組成。

x=n⊕（n是有窮數(shù)）與其對應數(shù)x2不同世，因x/x2=1/x=1/n⊕。兩非0無窮小數(shù)相距充分近（遠）才能是同（異）世數(shù)。當k與k2等是有窮正數(shù)時k2⊕2=o（⊕）等都？埸R。⊕及非0的xt⊕∈R都是R中最高級無窮小數(shù)。量變能引起質(zhì)變。當非0 的x→∞（或0）超過一定限度地距0充分遠（近）時與相應的x2等就不是同世量了。y=x+x2中當xt⊕時x2？埸R+使y=x+x2？埸R+。

若所論正數(shù)x均有直線段與之對應則可將x形象化為數(shù)軸的點和相應直線段。注：沒大小的“點”和沒寬度的“線”是眼睛不可見的，從而談不上有什么形象，凡是眼睛可見的有形象者必有大小。所謂“將...形象直觀化”就是將...變換為眼睛可見的圖像，沒大小的“點”是不可放大到眼睛可見的研究對象的。故“將數(shù)x形象化為數(shù)軸的點或直線段”中的形都是有大小的，否則談不上“...形象化為...”?！皼]大小從而沒形象的點能聚集成（運動生成）有形象的直線”是不合邏輯的自相矛盾概念，這使“點集論”的“無窮點集”是“自相矛盾的非集”。說眼睛可看見沒大小的點顯然與事實不符。人的思想須與實際相符，否則必陷入自相矛盾。因點有大小故由點組成的直線段必有寬度。數(shù)形結合須躍出...。

研究運動物體須變換為研究紙上抽象的平面、直線上的抽象的點的運動。這一“紙上談兵”思想意義重大。可將不改向運動的汽車、螞蟻等映射為沿數(shù)直線運動的無窮小的點來研究。因汽車有大、小車之分，蟻與車也大小懸殊，…；故數(shù)學的點也應有大小之分，而大點所占有的空間位置就>小點所占有的空間位置。元點之間均不相連的X=2x軸由長均為⊕的點組成，其兩相鄰元點的距離>⊕；沿運動路線的長度是2⊕等的點p沿X軸運動，要知p在各時刻的位置只要讓X軸作相應的變換（讓各元點X彈性變長）就可以了。

“發(fā)生了非0位移”的通常含義是：點離開了原位而到達另一位置。在此含義下R軸的點x變?yōu)辄cx+△x，當|△x|≠0但=o（⊕）時對R軸來說點x與點x+△x還是處于R軸同一位置即完全可視|△x|=0，因顯然不可視點x已移到R軸另一位置（點x所占位置洞的長是⊕>>>⊕2）。例定義域為R軸的點x′=x2中的x由=0變到=0+⊕使點x′由=0變到=0+⊕2，對R軸來說點x′=⊕2還是處于位置x′=x=0處，不應認為點x′由=0處變到了R軸的另一位置，正如一人由一處走到另一處，在光年尺度下這人還處于宇宙的同一位置：地球上一樣。又例地球運動劃出橢圓線A，地球在A的元點a處（地球此時是A的元點a）沿A有一運動的距離是100米時地球還未變?yōu)锳的另一元點。打個比方：兩汽車A與B的車頭夾著個雞蛋，A不動，而B前移了距離>0但<<

h原理1：在“非0位移”的通常含義下若沿線性空間K運動的點A的位移的長≠0但<<<點A所占位置洞的長，就應認定A沒動而不應認定A由原位移到了另一位∈K，否則就會推出錯誤的結論；在幾何上有既不是非0位移也不是絕對的0位移，而是等效于0位移的相對0位移。將組成圖形的點與點之間的位置關系搞錯就會將直線誤為曲線。故有代數(shù)上的非0增量在幾何上卻是0位移即沒由一元點變?yōu)榱硪辉c。數(shù)形結合須躍出...。

研究炮彈運動劃出的運動軌跡（由長為炮彈的沿線長的元點組成）須變換為研究抽象的線性平面上的抽象的點的運動劃出的運動軌跡（由沿線長t⊕的元點組成）。kR軸是由放大到肉眼可觀的像素點組成的，要將長度是k⊕的元點p放大到肉眼可觀的程度從而將無窮細的軸放大到肉眼可觀。換言之人們畫出的由長<ε的點組成的曲、直線均是在相應思維顯微鏡下的圖形。平面？仔中若有長為⊕的直線段A：0x和長為⊕2的B：0y（A的一端點和B的一端點相交于點（0，0）），將？仔置于把A放大為長是0.1cm的線段的思維顯微鏡下，B還是不可觀的線段從而不可成為幾何圖形的線段；將？仔置于把B放大到肉眼可見的顯微鏡下，A就是無窮長線段使其一端點遠在地球之外而不可見A全部。故在同一顯微鏡下不可既看到直線的點也看到點的核心，不可既看到R軸也看到軸的髓線；在看到點的核心的鏡下點的長>>>1，在看到長=o（⊕）點的鏡下，長t⊕的點的長>>>1；...。

要確定？仔面中一有大小的點的位置就需在？仔中設立坐標軸。以上說明坐標軸中的線性x軸的元點的長ρx若t⊕，則y軸的元點的長ρy也應t⊕而不應=o（⊕），ρx若=o（⊕）則ρy也應與ρx是同級無窮小。平面中的點（x0，y0）是直線x=x0和直線y=y0的交點（設是矩形），這兩直線的寬度不應有無窮大差別。所以定義域為R的曲線y=x2的元點的縱坐標y=x2所取數(shù)均須∈kR。定義域為R+={n⊕}的y=x2的值域{（n⊕）2}≠R+說明定義域為R的變數(shù)y=x2所取數(shù)可？埸kR，但點的坐標y=x2所取數(shù)y均須∈kR，當x軸元點的長t⊕時。數(shù)形結合須躍出...。

h原理2：在質(zhì)量為M=ky的地球內(nèi)部挖出質(zhì)量為M=y<>>⊕2故可視y=6⊕±0∈kR從而可形象化為kR軸的點。同理當xt⊕時y1=x+x2+x3+…、y2=x2均？埸kR，但為了形象直觀地認識函數(shù)y的性質(zhì)與變化規(guī)律，由h原理2可視y1為y1=x∈kR、y2為y2=0而可形象化為kR軸的點。y=⊕x中的xt⊕時y=⊕x=o（⊕）？埸kR，由h原理2可視y=⊕x=0∈kR而可將y形象化為...，但此“y=0”可作分母。M=aR×bR（a、b是非無窮大正數(shù)）是線性平面，當x、y分別可形象化為aR軸及bR軸的元點時數(shù)偶（x，y）才可形象化為M面的元點。數(shù)偶（x=2⊕，y=x2=4⊕2？埸R+）不可形象化為某線性平面上的點，但由...可視其為（x=2⊕，y=0）從而可形象化為...。其余類推。

同樣，y=x+x2，dy=dx+2xdx=（1+2x）dx，d2y=2dx2，△y=dy+d2y/2！=（1+2x）dx+dx2是關于dx=±⊕的函數(shù)（固定一下的x是R 的任一非無窮大元（下同））；若dy=（1+2x）dx中的（1+2x）不是無窮小數(shù)和0則△y中的dy是比dx2低級的無窮小，...，由h原理1、2可視...。若（1+2x）=0即x=-1/2則△y=dx2=⊕2？埸kR，...。若（1+2x）是非0無窮小數(shù)即x無限逼近-1/2則連dy=（1+2x）dx也是比dx=±⊕高級的無窮小使△y？埸kR，...。

同樣，y=x3，△y=dy+d2y/2！+d3y/3！=3x2dx+3xdx2+dx3（變數(shù)dx=±⊕）中若x和 x2都不是無窮小數(shù)和0則dy=3x2dx是比3xdx2+dx3低級的無窮小，...；若x=0則△y=dx3=⊕3？埸kR，...。若x是非0無窮小數(shù)則dy=3x2dx也是比dx高級的無窮小...，...。

上述說明可證在以點x=y=0為中心的任一有窮大范圍內(nèi)定義域為x軸的光滑曲線y=y（x）的任一元點p為心的某充分小的子部其實是一∥或非∥x軸的直線段，各p均有兩個與其相鄰的元點，這3點形成的點集是直線段（斜率不同的直線段？奐不同的平面）。同理可證線性空間上的相應光滑空間曲線實際上是由各充分短直線段連接成的；同理可證...上的光滑曲面（曲線的集合）實際上是由各充分小平面塊組成的。炮彈p的運動軌跡是拋物線， p由點A運動到與A相鄰的點B處，p根本來不及改變方向就已經(jīng)到達B處了。

R2面上定義域為R且沒空隙的直線y（x）=kx+b（斜率k代表各不同正數(shù)）是R×（kR+b）（矩形元點的橫、縱向長分別是⊕與k⊕）的子集。R2面上定義域為R+的曲線A：y=x2（x>0）由各斜率不盡相同的直線段組成， A各元點可分屬各不盡相同直線y=kix+bi（i=1，2，...）等，各直線段分別是各不盡相同平面Mk的子集，各直線段在y=x軸的正投影的并集就是A在y軸的正投影；A各（直線段的）元點（x，y）在y=x軸上的正投影（x=0，y=x2）（其縱向長是ki⊕）并非均∈y=x軸而有部分投影分別∈各不盡相同的y（x）=kix+bi軸（由長是ki⊕的點組成）， 故A在y軸的正投影是由分屬各不盡相同的y=kix+bi軸的點組成的如定義6所述的復合型線性射線Q。故沿y軸運動而劃出Q的點在運動時是可彈性伸縮改變大小的：在某時段均是長為2⊕的點∈y=2x軸，在另一時段均是長為1.2⊕的點∈y=1.2x軸等等。

17 上述發(fā)現(xiàn)使“△f≈df反例”難題迎刃而解

求分別復雜和簡單的兩非0無窮小能否趨于重合相等沒差別是極重要問題?！?的點y→0和點y+△y→0若變動中總幾乎重合在一起成二重點則其兩變域（兩點劃出的兩圖形）幾乎是二重點集。將非0變數(shù)a表為兩部分的和：a=b+c（b、c均≠0），哪一部分可忽略？須分析、研究|b|與|c|之間的大小數(shù)量關系才能下結論。將不可略部分誤為可忽略必得面目全非結果。鄭銓質(zhì)疑相對論的理由之一：“廣義相對論在研究水星近日點進動問題時忽略了一個不應忽略的小量，這就是在復雜推理的過程中出錯的例子，...[17]”把一變量在所論場合中顯示的大小性質(zhì)搞反從而將不可略部分誤為可略或將可略部分誤為不可略都會鬧出笑話來。“非0的u和v的差別微不足道而幾乎重合在一起”的數(shù)學表達式是：變數(shù)u=v+余項（u-v）≈主要部分v（u·v≠0），u-v=α≠0與v相比總距0極近從而可視其為0而忽略即總有|v|>>|α|使u與v幾乎重合；此時因u·v=（v+α）v≈（v+0）v=v2>0故u與v同號（結論k）。“主要部分”是相對于可忽略的“次要部分”而言的。

數(shù)學常須研究點（x，y）的微小位移引起z（x，y）的微小變化的變化情況（包括變化的大小與方向），△z是關于dx、dy的二元曲面函數(shù)，須研究其正負號（反映△z的變化方向）以了解曲面△z在水平面△z=0的上側還是下側，進而了解...?！鱶=dz+d2z/2！+...往往是非常復雜的函數(shù)而無法將其精確地計算出來，不懂近似計算就不能了解其正負號，3百年微積分早就認定當非0變量△z充分逼近0即z幾乎沒變化時△z必與dz≠0同號。李炳熙：當...充分小時全微分dz≠0對△z的符號起決定性的作用，...。（《數(shù)學通報》1962/9，第43頁）。物理化學中能量變化△z的正負號反映變化的方向。若連曲面△z在原點△x=△y=△z=0鄰近的正負號也不能判斷，那就根本談不上“可知道△z在原點鄰近的性態(tài)”。這是不能滿足推理需要的近似計算，若搞錯正負號就犯方向性錯誤。沿曲面運動的點的位移△r=dr+d2r/2！+…“充分逼近0時必可用dr來替代”是分析力學推導公式定理的理論依據(jù)，力學常有“△r=dr”，若兩者異號就搞錯了點的運動方向而會得面目全非結果。

據(jù)上述近似計算理論，用來判斷z在（x，y）鄰近性態(tài)的K式： 當...時關于dx與dy的函數(shù)△z=dz+余項α≈dz（≠0）+0，表示式中dz與α=△z-dz≠0有關系：|dz|>>|α|>0使△z與dz同號。有前蘇聯(lián)專家說：K式中余項α≠0是比dz（→且≠0）高級的無窮小，故把dz稱為△z的主要部分而當...時△z≈dz[18]。

在數(shù)學與物理學的推理中常有“...，只保留級數(shù)的前n項，...?！薄坝萌⒎痔娲隽俊薄Ｈ簟啊鱢≈df”論不成立則以其為依據(jù)推導出來的公式定理也不成立。復變增量△w（z）=dw+d2w/2！+...是極復雜函數(shù)，若不知△w和△z都充分逼近0時可忽略△w的高階微分項，那就寸步難行了；不分析、研究△w中各非0微分項的絕對值之間的大小數(shù)量關系就不知哪一項可略。臺勞逼近法（指當...時可將級數(shù)△f（全增量）=df+d2f/2！+…的較高階微分項忽略）（以下簡稱T法）在數(shù)學中占極重要地位。例據(jù)該法充分小曲面△f≈切面df即光滑曲面的充分小子部幾乎是平面塊——沒此關鍵認識就沒曲面積分論；用微元法推導重積分的換元公式要用曲線（面）分割平面（空間），“可將充分小曲邊形（曲面體）看成是直線形（平面體）”以及許多非線性問題能局部線性化的理論依據(jù)都是T法。然而上述表明教科書卻一直沒能真正證明T法而說清為何能“忽略高階微分項”。不但要知“可忽略...”而更要知為何能忽略，不能滿足于只知結論不懂原理的低層次淺薄。例當且僅當K式中的α≠0與dz≠0或△z相比距0極近即有|dz|>>|α|時，才可視α為0而忽略。然而教材在未真正直接或間接證明有|dz|>>|α|時就斷定可忽略α——這是推理的原則錯誤。有不少課本根本沒任何推導證明、沒作數(shù)量分析，就有“全增量≈全微分”結論，這是與數(shù)學所要求的嚴密精確性背道而馳的。

h式：非0的△f=0+d2f/2！+余項≈d2f/2+0≠0成立的充要條件是非0|余項|<<|d2f/2|。課本推導f（x，y）的極值的充分條件的依據(jù)是：存在（x0，y0）的一個鄰域使得在此鄰域內(nèi)△f=d2f/2！+...的符號與d2f的符號相同，...[21]。理由：顧傳青：h式中的余項→0是比d2f/2高級的無窮小[22]。文[15]指出存在類似于上述“△f≈df反例”的“△f≈d2f/2反例”悖論。故3百年微積分一直沒能真正證明二元函數(shù)極值的充分條件，未能弄清T法的原理。原因是微積分一直不知各非0變數(shù)|dz|、|dx|、|dy|的變域中分別都有最小元（據(jù)h定理7），不知點有大小和線有寬度等。

T法斷定定義域是R3的u=u（x，y，z）=z+1010x2+0y3≈z（即z≠0是u的主部），在原點x=y=z=0的某充分小去心鄰域G內(nèi)。當u中z=z（x，y）=x2+0y≠0時u=x2+1010x2≈1010x2而遠不可≈z=x2。據(jù)T法拋物面z=x2的元點（x，y，z）（各數(shù)∈R）都遠在G外！這與空間解析幾何激烈沖突從而構成“反例”悖論。其實G內(nèi)點的非0坐標x、y均t⊕時z=x2=o（⊕）？埸kR使點p（x，y，z=x2）？埸R3（但由h原理1、2可視z是切平面z=0）。同樣，定義域是R3的u=z+1010（x2+y2）≈z，在原點的某充分小去心鄰域I內(nèi)。當z=x2+y2>0時u=z+1010z≈1010z>>z>0而遠不可≈z——T法揭示拋物面z=x2+y2的元點（x ，y，z）都遠在I外！這與空間解析幾何激烈沖突從而...。

18 結束語

百年集論百年來浪費了億萬學生（包括非數(shù)學專業(yè)學生）大量的寶貴時間（“時間就是金錢，……”）與精力以及億萬元寶貴學費，更要命的是它的重大誤導作用：重大核心錯誤會使人以其為核心滾雪球似地推出錯上加錯的一系列更重大錯誤。對此，偉大科學家龐加萊百年前就預見到：“數(shù)學終有一天將擺脫它的危害[23]?！泵髦獢?shù)學巨輪漏洞百出卻諱疾忌醫(yī)地隱瞞此重大真相不是真正熱愛數(shù)學、真正尊重與愛護數(shù)學家，恰恰相反，這會害巨輪遭滅頂之災。破除迷信、解放思想、實事求是、有錯必糾，才能創(chuàng)造世界奇跡使數(shù)學發(fā)生革命飛躍從而回到健康發(fā)展軌道。中華民族的偉大復興，人才是關鍵。育人課本一系列重大錯誤沒能及時發(fā)現(xiàn)與糾正就會培養(yǎng)出誤以為是合格的“合格”人才而誤國誤民。學（教）而不思是師生的大敵。

【參考文獻】

[1]蘇步青，劉鼎元.初等微分幾何[M].上海：上?？萍汲霭嫔?，1985：27-28.

[2]朱梧槚，肖奚安，杜國平，宮寧生.關于無窮集合概念的不相容性問題的研究[J].南京郵電大學學報（自然科學版），2006（6）.

[3]張喜安.康托爾集合論存在的矛盾[J].攀枝花學院學報，2009（3）.

[4][5]朱梧槚.數(shù)學與無窮觀的邏輯基礎[M].大連：大連理工大學出版社，2008；數(shù)學無窮與中介的邏輯基礎[M]，北京：科學出版社：2012.

[6]黃小寧.數(shù)學課本一系列重大錯誤使康脫誤入百年歧途：讓“深藏”5千年的最大自然數(shù)一下子暴露出來[J].科技視界，2013（31）.

[7]項武義.直說微積分[M].上海：復旦大學出版社，1986：20.

[8]宋開泰，等.高等數(shù)學教程（上）[M].武漢大學出版社， 1998：232.

[9]于宗義.實變函數(shù)論[M].2版.濟南：山東大學出版社，2003.

[10]黃正中.高等數(shù)學（上）[M].2版.北京：人民教育出版社， 1978：30.

[11][12]黃小寧.極限論總極難學真因：人有抵制思想混亂學說本能[J].科技信息，2010（33）.黃小寧.真正科學常識否定5千年“常識”：沒最大自然數(shù)——證實龐加萊百年前偉大科學預見推翻百年集論[J].科技信息，2011（27）.

[13]黃小寧.憑傻瓜數(shù)學獲重大發(fā)現(xiàn)：有正數(shù)x≠100…0（x/100…0）[J].科學咨詢，2007（25）：64.

[14]黃小寧.再論真正常識否定5千年“常識”：沒最大自然數(shù)——數(shù)學課本極重大根本錯誤：將兩異集誤為同一集[J].科技視界，2012（4）.

[15]黃小寧.發(fā)現(xiàn)最小正數(shù)推翻百年集論消除2500年芝諾悖論——中學重大錯誤：將無窮多各根本不同的點集誤為同一集[J].中國科技信息，2010（18）.

[16]黃小寧.一眼看出有最小、大正數(shù)一下子推翻百年集合論、破解2500年芝諾著名世界難題[J].發(fā)明與創(chuàng)新增刊，2006：125.

[17]鄭銓.近代物理學問題：相對論質(zhì)疑[M].北京：學術書刊出版社，1990：108.

[18]尼·阿·福羅洛夫.微積分學續(xù)篇[M].葉乃膺，譯.北京：人民教育出版社， 1961：76.

[19]路見可，熊全淹.高等數(shù)學（上）[M].修訂版.北京：人民教育出版社，1980：219.

[20]郭大鈞，等.數(shù)學分析[M].濟南：山東科技出版社，1982：367.

[21]復旦大學數(shù)學系，數(shù)學分析（上）[M].2版.上海：上?？萍汲霭嫔?，1962：267.

[22]顧傳青.高等數(shù)學（下）[M].北京：科學出版社，2011：48.

[23]李毓佩.數(shù)學趣史[M].福州：福建少年兒童出版社，1988：110.

[24]黃小寧.極淺顯常識揭示數(shù)學有極重大根本錯誤——非創(chuàng)立全新數(shù)學不可的原因[C]//中國學校教育與科研·數(shù)學·計算機卷.北京：中國農(nóng)業(yè)科技出版社，2003，5：7.

[責任編輯：曹明明]

據(jù)上述近似計算理論，用來判斷z在（x，y）鄰近性態(tài)的K式： 當...時關于dx與dy的函數(shù)△z=dz+余項α≈dz（≠0）+0，表示式中dz與α=△z-dz≠0有關系：|dz|>>|α|>0使△z與dz同號。有前蘇聯(lián)專家說：K式中余項α≠0是比dz（→且≠0）高級的無窮小，故把dz稱為△z的主要部分而當...時△z≈dz[18]。

在數(shù)學與物理學的推理中常有“...，只保留級數(shù)的前n項，...?！薄坝萌⒎痔娲隽俊?。若“△f≈df”論不成立則以其為依據(jù)推導出來的公式定理也不成立。復變增量△w（z）=dw+d2w/2！+...是極復雜函數(shù)，若不知△w和△z都充分逼近0時可忽略△w的高階微分項，那就寸步難行了；不分析、研究△w中各非0微分項的絕對值之間的大小數(shù)量關系就不知哪一項可略。臺勞逼近法（指當...時可將級數(shù)△f（全增量）=df+d2f/2！+…的較高階微分項忽略）（以下簡稱T法）在數(shù)學中占極重要地位。例據(jù)該法充分小曲面△f≈切面df即光滑曲面的充分小子部幾乎是平面塊——沒此關鍵認識就沒曲面積分論；用微元法推導重積分的換元公式要用曲線（面）分割平面（空間），“可將充分小曲邊形（曲面體）看成是直線形（平面體）”以及許多非線性問題能局部線性化的理論依據(jù)都是T法。然而上述表明教科書卻一直沒能真正證明T法而說清為何能“忽略高階微分項”。不但要知“可忽略...”而更要知為何能忽略，不能滿足于只知結論不懂原理的低層次淺薄。例當且僅當K式中的α≠0與dz≠0或△z相比距0極近即有|dz|>>|α|時，才可視α為0而忽略。然而教材在未真正直接或間接證明有|dz|>>|α|時就斷定可忽略α——這是推理的原則錯誤。有不少課本根本沒任何推導證明、沒作數(shù)量分析，就有“全增量≈全微分”結論，這是與數(shù)學所要求的嚴密精確性背道而馳的。

h式：非0的△f=0+d2f/2！+余項≈d2f/2+0≠0成立的充要條件是非0|余項|<<|d2f/2|。課本推導f（x，y）的極值的充分條件的依據(jù)是：存在（x0，y0）的一個鄰域使得在此鄰域內(nèi)△f=d2f/2！+...的符號與d2f的符號相同，...[21]。理由：顧傳青：h式中的余項→0是比d2f/2高級的無窮小[22]。文[15]指出存在類似于上述“△f≈df反例”的“△f≈d2f/2反例”悖論。故3百年微積分一直沒能真正證明二元函數(shù)極值的充分條件，未能弄清T法的原理。原因是微積分一直不知各非0變數(shù)|dz|、|dx|、|dy|的變域中分別都有最小元（據(jù)h定理7），不知點有大小和線有寬度等。

T法斷定定義域是R3的u=u（x，y，z）=z+1010x2+0y3≈z（即z≠0是u的主部），在原點x=y=z=0的某充分小去心鄰域G內(nèi)。當u中z=z（x，y）=x2+0y≠0時u=x2+1010x2≈1010x2而遠不可≈z=x2。據(jù)T法拋物面z=x2的元點（x，y，z）（各數(shù)∈R）都遠在G外！這與空間解析幾何激烈沖突從而構成“反例”悖論。其實G內(nèi)點的非0坐標x、y均t⊕時z=x2=o（⊕）？埸kR使點p（x，y，z=x2）？埸R3（但由h原理1、2可視z是切平面z=0）。同樣，定義域是R3的u=z+1010（x2+y2）≈z，在原點的某充分小去心鄰域I內(nèi)。當z=x2+y2>0時u=z+1010z≈1010z>>z>0而遠不可≈z——T法揭示拋物面z=x2+y2的元點（x ，y，z）都遠在I外！這與空間解析幾何激烈沖突從而...。

18 結束語

百年集論百年來浪費了億萬學生（包括非數(shù)學專業(yè)學生）大量的寶貴時間（“時間就是金錢，……”）與精力以及億萬元寶貴學費，更要命的是它的重大誤導作用：重大核心錯誤會使人以其為核心滾雪球似地推出錯上加錯的一系列更重大錯誤。對此，偉大科學家龐加萊百年前就預見到：“數(shù)學終有一天將擺脫它的危害[23]?！泵髦獢?shù)學巨輪漏洞百出卻諱疾忌醫(yī)地隱瞞此重大真相不是真正熱愛數(shù)學、真正尊重與愛護數(shù)學家，恰恰相反，這會害巨輪遭滅頂之災。破除迷信、解放思想、實事求是、有錯必糾，才能創(chuàng)造世界奇跡使數(shù)學發(fā)生革命飛躍從而回到健康發(fā)展軌道。中華民族的偉大復興，人才是關鍵。育人課本一系列重大錯誤沒能及時發(fā)現(xiàn)與糾正就會培養(yǎng)出誤以為是合格的“合格”人才而誤國誤民。學（教）而不思是師生的大敵。

【參考文獻】

[1]蘇步青，劉鼎元.初等微分幾何[M].上海：上?？萍汲霭嫔?，1985：27-28.

[2]朱梧槚，肖奚安，杜國平，宮寧生.關于無窮集合概念的不相容性問題的研究[J].南京郵電大學學報（自然科學版），2006（6）.

[3]張喜安.康托爾集合論存在的矛盾[J].攀枝花學院學報，2009（3）.

[4][5]朱梧槚.數(shù)學與無窮觀的邏輯基礎[M].大連：大連理工大學出版社，2008；數(shù)學無窮與中介的邏輯基礎[M]，北京：科學出版社：2012.

[6]黃小寧.數(shù)學課本一系列重大錯誤使康脫誤入百年歧途：讓“深藏”5千年的最大自然數(shù)一下子暴露出來[J].科技視界，2013（31）.

[7]項武義.直說微積分[M].上海：復旦大學出版社，1986：20.

[8]宋開泰，等.高等數(shù)學教程（上）[M].武漢大學出版社， 1998：232.

[9]于宗義.實變函數(shù)論[M].2版.濟南：山東大學出版社，2003.

[10]黃正中.高等數(shù)學（上）[M].2版.北京：人民教育出版社， 1978：30.

[11][12]黃小寧.極限論總極難學真因：人有抵制思想混亂學說本能[J].科技信息，2010（33）.黃小寧.真正科學常識否定5千年“常識”：沒最大自然數(shù)——證實龐加萊百年前偉大科學預見推翻百年集論[J].科技信息，2011（27）.

[13]黃小寧.憑傻瓜數(shù)學獲重大發(fā)現(xiàn)：有正數(shù)x≠100…0（x/100…0）[J].科學咨詢，2007（25）：64.

[14]黃小寧.再論真正常識否定5千年“常識”：沒最大自然數(shù)——數(shù)學課本極重大根本錯誤：將兩異集誤為同一集[J].科技視界，2012（4）.

[15]黃小寧.發(fā)現(xiàn)最小正數(shù)推翻百年集論消除2500年芝諾悖論——中學重大錯誤：將無窮多各根本不同的點集誤為同一集[J].中國科技信息，2010（18）.

[16]黃小寧.一眼看出有最小、大正數(shù)一下子推翻百年集合論、破解2500年芝諾著名世界難題[J].發(fā)明與創(chuàng)新增刊，2006：125.

[17]鄭銓.近代物理學問題：相對論質(zhì)疑[M].北京：學術書刊出版社，1990：108.

[18]尼·阿·福羅洛夫.微積分學續(xù)篇[M].葉乃膺，譯.北京：人民教育出版社， 1961：76.

[19]路見可，熊全淹.高等數(shù)學（上）[M].修訂版.北京：人民教育出版社，1980：219.

[20]郭大鈞，等.數(shù)學分析[M].濟南：山東科技出版社，1982：367.

[21]復旦大學數(shù)學系，數(shù)學分析（上）[M].2版.上海：上海科技出版社，1962：267.

[22]顧傳青.高等數(shù)學（下）[M].北京：科學出版社，2011：48.

[23]李毓佩.數(shù)學趣史[M].福州：福建少年兒童出版社，1988：110.

[24]黃小寧.極淺顯常識揭示數(shù)學有極重大根本錯誤——非創(chuàng)立全新數(shù)學不可的原因[C]//中國學校教育與科研·數(shù)學·計算機卷.北京：中國農(nóng)業(yè)科技出版社，2003，5：7.

[責任編輯：曹明明]

據(jù)上述近似計算理論，用來判斷z在（x，y）鄰近性態(tài)的K式： 當...時關于dx與dy的函數(shù)△z=dz+余項α≈dz（≠0）+0，表示式中dz與α=△z-dz≠0有關系：|dz|>>|α|>0使△z與dz同號。有前蘇聯(lián)專家說：K式中余項α≠0是比dz（→且≠0）高級的無窮小，故把dz稱為△z的主要部分而當...時△z≈dz[18]。

在數(shù)學與物理學的推理中常有“...，只保留級數(shù)的前n項，...。”“用全微分替代全增量”。若“△f≈df”論不成立則以其為依據(jù)推導出來的公式定理也不成立。復變增量△w（z）=dw+d2w/2！+...是極復雜函數(shù)，若不知△w和△z都充分逼近0時可忽略△w的高階微分項，那就寸步難行了；不分析、研究△w中各非0微分項的絕對值之間的大小數(shù)量關系就不知哪一項可略。臺勞逼近法（指當...時可將級數(shù)△f（全增量）=df+d2f/2！+…的較高階微分項忽略）（以下簡稱T法）在數(shù)學中占極重要地位。例據(jù)該法充分小曲面△f≈切面df即光滑曲面的充分小子部幾乎是平面塊——沒此關鍵認識就沒曲面積分論；用微元法推導重積分的換元公式要用曲線（面）分割平面（空間），“可將充分小曲邊形（曲面體）看成是直線形（平面體）”以及許多非線性問題能局部線性化的理論依據(jù)都是T法。然而上述表明教科書卻一直沒能真正證明T法而說清為何能“忽略高階微分項”。不但要知“可忽略...”而更要知為何能忽略，不能滿足于只知結論不懂原理的低層次淺薄。例當且僅當K式中的α≠0與dz≠0或△z相比距0極近即有|dz|>>|α|時，才可視α為0而忽略。然而教材在未真正直接或間接證明有|dz|>>|α|時就斷定可忽略α——這是推理的原則錯誤。有不少課本根本沒任何推導證明、沒作數(shù)量分析，就有“全增量≈全微分”結論，這是與數(shù)學所要求的嚴密精確性背道而馳的。

h式：非0的△f=0+d2f/2！+余項≈d2f/2+0≠0成立的充要條件是非0|余項|<<|d2f/2|。課本推導f（x，y）的極值的充分條件的依據(jù)是：存在（x0，y0）的一個鄰域使得在此鄰域內(nèi)△f=d2f/2！+...的符號與d2f的符號相同，...[21]。理由：顧傳青：h式中的余項→0是比d2f/2高級的無窮小[22]。文[15]指出存在類似于上述“△f≈df反例”的“△f≈d2f/2反例”悖論。故3百年微積分一直沒能真正證明二元函數(shù)極值的充分條件，未能弄清T法的原理。原因是微積分一直不知各非0變數(shù)|dz|、|dx|、|dy|的變域中分別都有最小元（據(jù)h定理7），不知點有大小和線有寬度等。

T法斷定定義域是R3的u=u（x，y，z）=z+1010x2+0y3≈z（即z≠0是u的主部），在原點x=y=z=0的某充分小去心鄰域G內(nèi)。當u中z=z（x，y）=x2+0y≠0時u=x2+1010x2≈1010x2而遠不可≈z=x2。據(jù)T法拋物面z=x2的元點（x，y，z）（各數(shù)∈R）都遠在G外！這與空間解析幾何激烈沖突從而構成“反例”悖論。其實G內(nèi)點的非0坐標x、y均t⊕時z=x2=o（⊕）？埸kR使點p（x，y，z=x2）？埸R3（但由h原理1、2可視z是切平面z=0）。同樣，定義域是R3的u=z+1010（x2+y2）≈z，在原點的某充分小去心鄰域I內(nèi)。當z=x2+y2>0時u=z+1010z≈1010z>>z>0而遠不可≈z——T法揭示拋物面z=x2+y2的元點（x ，y，z）都遠在I外！這與空間解析幾何激烈沖突從而...。

18 結束語

百年集論百年來浪費了億萬學生（包括非數(shù)學專業(yè)學生）大量的寶貴時間（“時間就是金錢，……”）與精力以及億萬元寶貴學費，更要命的是它的重大誤導作用：重大核心錯誤會使人以其為核心滾雪球似地推出錯上加錯的一系列更重大錯誤。對此，偉大科學家龐加萊百年前就預見到：“數(shù)學終有一天將擺脫它的危害[23]?！泵髦獢?shù)學巨輪漏洞百出卻諱疾忌醫(yī)地隱瞞此重大真相不是真正熱愛數(shù)學、真正尊重與愛護數(shù)學家，恰恰相反，這會害巨輪遭滅頂之災。破除迷信、解放思想、實事求是、有錯必糾，才能創(chuàng)造世界奇跡使數(shù)學發(fā)生革命飛躍從而回到健康發(fā)展軌道。中華民族的偉大復興，人才是關鍵。育人課本一系列重大錯誤沒能及時發(fā)現(xiàn)與糾正就會培養(yǎng)出誤以為是合格的“合格”人才而誤國誤民。學（教）而不思是師生的大敵。

【參考文獻】

[1]蘇步青，劉鼎元.初等微分幾何[M].上海：上?？萍汲霭嫔纾?985：27-28.

[2]朱梧槚，肖奚安，杜國平，宮寧生.關于無窮集合概念的不相容性問題的研究[J].南京郵電大學學報（自然科學版），2006（6）.

[3]張喜安.康托爾集合論存在的矛盾[J].攀枝花學院學報，2009（3）.

[4][5]朱梧槚.數(shù)學與無窮觀的邏輯基礎[M].大連：大連理工大學出版社，2008；數(shù)學無窮與中介的邏輯基礎[M]，北京：科學出版社：2012.

[6]黃小寧.數(shù)學課本一系列重大錯誤使康脫誤入百年歧途：讓“深藏”5千年的最大自然數(shù)一下子暴露出來[J].科技視界，2013（31）.

[7]項武義.直說微積分[M].上海：復旦大學出版社，1986：20.

[8]宋開泰，等.高等數(shù)學教程（上）[M].武漢大學出版社， 1998：232.

[9]于宗義.實變函數(shù)論[M].2版.濟南：山東大學出版社，2003.

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