劉建忠

(江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001)

0 引言

矩陣及算子不等式理論在自然科學(xué)、工程技術(shù)及社會科學(xué)各領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，通過對矩陣不等式的研究，可以深刻揭示數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系，而且其理論本身富有技巧性和創(chuàng)造性，在學(xué)術(shù)上是深刻有趣的.由于研究方法靈活多樣，應(yīng)用背景涉及眾多學(xué)科領(lǐng)域，有關(guān)矩陣不等式的結(jié)果散見在各種刊物和著作中，近年來的一種趨勢是利用一些一般的理論模式給出各種矩陣不等式的統(tǒng)一形式，例如通過控制不等式理論統(tǒng)一研究有關(guān)矩陣特征值、奇異值及酉不變范數(shù)的不等式[1]，利用矩陣空間上線性映射的理論統(tǒng)一處理有關(guān)矩陣二次型、跡、行列式、積和式等不等式[1－2]。

本文利用矩陣張量積的一些基本性質(zhì)及矩陣分塊技巧，得到了矩陣空間上正線性映射的一個(gè)不等式.在所得結(jié)果的基礎(chǔ)上，通過選取適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，可統(tǒng)一導(dǎo)出一些經(jīng)典的矩陣不等式，并可在此基礎(chǔ)上得到一些新的矩陣不等式.有關(guān)結(jié)論容易推廣到Hilbert空間上緊算子所構(gòu)成的空間上，為避免細(xì)節(jié)上的繁瑣，本文的論證僅在矩陣空間上展開。

1 記號及引理

Mn表示n階復(fù)方陣所成的線性空間，對于A∈Mn，A＞0，A≥0分別表示A為正定、半正定Herimitian陣，A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置，σ(A)表示A的譜，即A的特征值所成的集合。若映射Φ:Mn→Mk滿足:

(i)Φ(A+B)=Φ(A)+Φ(B)，A，B∈Mn;

(ii)Φ(c A)=cΦ(A)，A∈Mn，c為復(fù)數(shù);

(iii)當(dāng)A≥0時(shí)，Φ(A)≥0。

則稱Φ為Mn上的正線性映射;若進(jìn)一步滿足當(dāng)A＞0時(shí)，Φ(A)＞0，則稱Φ為Mn上的嚴(yán)格正線性映射;若Φ(In)=Ik，其中In為n階單位矩陣，則稱其為Mn上的單位映射。

引理1[2]設(shè)A，B均為正定陣，則分塊矩陣的充要條件是A≥XB－1X*。

引理2[3]設(shè) A≥0，B≥0，則 A?B≥0。

引理3[2]設(shè)H為Herimitian陣，且分塊矩陣，Φ為正線性映射，則0。

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)A為n階Herimitian陣且 σ(A)?[m，M]，f，g，h為[m，M]上的實(shí)值函數(shù)且當(dāng) λ∈[m，M]時(shí) f(λ)≥0，g(λ)≥0，f(λ)g(λ)≥h2(λ)，Φ為Mn上的正線性映射且 Φ(f(A))＞0，Φ(g(A))＞0，則有 Φ(f(A))≥Φ(h(A))Φ－1(g(A))Φ(h(A))。

由引理3及(1)得

由引理1及(2)即得結(jié)論。

通過選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f，g，g，由定理1可得到一些經(jīng)典的矩陣不等式，例如分別選取f(λ)=λ2，g(λ)，由定理1經(jīng)直接驗(yàn)算可得

推論1(Kadison's不等式)設(shè)Φ:Mn→Mk為單位正線性映射，則對任意的Herimitian矩陣A，

Φ2(A)≥Φ(A2)。

推論2(Choi's不等式)設(shè)Φ:Mn→Mk為單位正線性映射，則對任意的正定矩陣A，

Φ－1(A)≤Φ(A－1)。

當(dāng)k=1時(shí)，稱Φ為Mn上的線性泛函，下面我們借助于定理1給出矩陣空間上正線性泛函的一個(gè)新的矩陣不等式。

定理2 設(shè) Φ為Mn上的正線性泛函，A為正定陣，α1，α2，…，αm∈R，則有

證明 不妨設(shè)Φ為嚴(yán)格正線性泛函，取一組參數(shù)c1，c2，…，cm∈R+，使得c1c2…cm=1，由算術(shù)－幾何平均不等式得

Φ(f(A))≥Φ(h(A))Φ－1(g(A))Φ(h(A))，即

在定理2中分別取Φ(A)=x*A x，tr(AX)，其中x∈Cn，X為正定矩陣，可得

推論 3[4]設(shè) A為n 階正定 Herimitian 陣，x為n 維列向量，α1，α2，…，αm∈ R，則 有推論4 設(shè) A，X為n階正定 Herimitian陣，α1，α1，…，αm∈R，則有(Aα1X)tr(Aα2X)…tr(AαmX)。

[1]Rajendra B.Matrix analysis[M].New York:Springer－ Verlag，1997.

[2]Rajendra B.Positive Definite Matrices[M].Princeton:Princeton University Press，2007.

[3]詹興致.矩陣論[M].北京:高等教育出版社，2008.

[4]劉建忠.Cauchy不等式和 Kantorovich不等式的推廣[J].河北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，24(3):240－242.