丁本艷 張利群

(臨沂大學(xué)理學(xué)院,山東臨沂 276005；山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東濟(jì)南 250014)

一類PM2.5受風(fēng)力等因素影響的倉(cāng)室模型

丁本艷 張利群

(臨沂大學(xué)理學(xué)院,山東臨沂 276005；山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東濟(jì)南 250014)

通過(guò)與倉(cāng)室模型相聯(lián)系,研究在某種特定的情況下,風(fēng)力、溫度、濕度對(duì)PM2.5的影響,并通過(guò)微分方程的相關(guān)理論分析,給出這些因素對(duì)PM2.5的影響關(guān)系。

空氣污染；PM2.5；倉(cāng)室模型；拉格朗日變易法

空氣污染問題是全世界普遍關(guān)注的問題，PM2.5是指空氣中直徑小于等于2.5微米的顆粒物，也稱細(xì)顆粒物，含量越高就代表空氣污染越嚴(yán)重。細(xì)顆粒物指數(shù)已經(jīng)成為一個(gè)重要的測(cè)控空氣污染程度的指數(shù)。到2010年底，除美國(guó)和歐盟一些國(guó)家將細(xì)顆粒物納入國(guó)標(biāo)并進(jìn)行強(qiáng)制性限制外，世界上大部分國(guó)家都還未開展對(duì)細(xì)顆粒物的監(jiān)測(cè)。我國(guó)對(duì)PM2.5的研究起步比較晚，2011年1月1日首次對(duì)PM2.5的測(cè)定進(jìn)行了規(guī)范，2013年才開始有比較完整的數(shù)據(jù)記錄，而且系統(tǒng)尚不規(guī)范，因此對(duì)PM2.5研究的意義較大。

倉(cāng)室模型主要運(yùn)用在研究傳染病傳播等問題上，并取得了豐碩的成果。本文運(yùn)用倉(cāng)室模型研究PM2.5的傳播問題，并結(jié)合微分方程的相關(guān)理論，對(duì)影響PM2.5的風(fēng)力、溫度、濕度等因素進(jìn)行定性分析。此模型中主要考慮假定的因素，其余的因素假設(shè)影響很小，可以忽略，其中對(duì)風(fēng)力分析的時(shí)候也考慮一個(gè)特殊的風(fēng)向，比如從西往東吹，對(duì)相鄰的三個(gè)區(qū)域進(jìn)行分析。

1 模型的建立

為了描述某地區(qū)PM2.5的發(fā)生和演變，取G，S，X水平方向上的三地，設(shè)風(fēng)從西往東吹，來(lái)研究在不考慮其他因素的情況下，風(fēng)力、濕度和溫度以及左右兩地對(duì)其PM2.5的影響，建立模型，其他的風(fēng)向也可做類似討論。在假設(shè)相應(yīng)的變量系數(shù)后構(gòu)造如下倉(cāng)室模型：

其中G，S，X分別表示甲地、乙地、丙地的PM2.5。結(jié)合倉(cāng)室模型得到相關(guān)的微分方程如下：

其中，G0=（m1+v1）（α1-α2），S0=（m2+v2）（β1-β2），X0=（m3+v3）（γ1-γ2）。各參數(shù)的含義如下：mi≥0，（i=1，2，3）表示G，S，X三地的溫度對(duì)PM2.5的有效作用率，vj≥0，（j=1，2，3）表示G，S，X三地的濕度對(duì)PM2.5的有效作用率，α1，β1，γ1表示三地在常規(guī)狀態(tài)下生成的PM2.5的值，α2，β2，γ2表示在常規(guī)狀態(tài)下PM2.5的擴(kuò)散值，表示風(fēng)力對(duì)三個(gè)地方的有效作用率。

2 模型的分析

由(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程組的通解及拉格朗日變易法可得(1)的通解：

系統(tǒng)(1)中包含各地區(qū)內(nèi)在的溫度濕度的因素，也包括外在的風(fēng)力因素。運(yùn)用微分方程的理論，取其中S地的解來(lái)分析一下各因素對(duì)PM2.5的影響，由上述通解得：

定理1.對(duì)于S地區(qū)PM2.5的解(2)，當(dāng)t→+∞時(shí)，無(wú)論k變大還是變小，該地區(qū)的PM2.5的值與風(fēng)力無(wú)關(guān)，只與自身的溫度濕度有關(guān)；但當(dāng)t在一個(gè)小鄰域內(nèi)時(shí)，隨著k的變大，PM2.5的值會(huì)變小。

因?yàn)镾的左邊是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，在t一定時(shí)，隨k增大而變小。

定理2.當(dāng)下列幾種情況至少之一出現(xiàn)時(shí)，PM2.5的值S會(huì)逐漸減?。?）α1=α2或β1=β2或γ1=γ2時(shí)，即各地區(qū)的產(chǎn)生與擴(kuò)散的PM2.5的值相等；2）mi，vi（i=1，2，3）對(duì)PM2.5的有效影響率越小時(shí)，PM2.5的值會(huì)變小。

例.比較武漢市2013年1月份和7月份的PM2.5（選擇的目的是這兩個(gè)月的溫度、濕度有明顯差異）。

下圖很直觀清楚地反映出它們的PM2.5的差距，1月份大約在200個(gè)單位上下浮動(dòng)，而7月份則在60個(gè)單位上下變化，這就說(shuō)明溫度、濕度等對(duì)PM2.5的作用很大，也就是說(shuō)1月份溫度、濕度對(duì)PM2.5相應(yīng)的有效影響率會(huì)較大，7月份較小。

3 結(jié)論

綜上可知，在現(xiàn)實(shí)生活中，一年有四季，四季的溫度、風(fēng)力等會(huì)有較大的變化。冬季的PM2.5的值會(huì)比夏季的PM2.5的值高，而冬季和夏季它們的溫度、濕度和風(fēng)力是有很大差別的。但是在一個(gè)小的時(shí)間段內(nèi)，比如幾天之內(nèi)，甚至一天之內(nèi)，他們所對(duì)應(yīng)的相應(yīng)參數(shù)不會(huì)有太大變化，比如風(fēng)力，在短時(shí)間內(nèi)不會(huì)有太大變化，那么其主要變化作用的就是溫度和濕度。當(dāng)然影響PM2.5的產(chǎn)生因素有很多，在此就不予細(xì)論。由于我國(guó)對(duì)PM2.5的認(rèn)識(shí)才剛剛起步，相應(yīng)的數(shù)據(jù)收集并不完整，所以當(dāng)把模型與實(shí)際的數(shù)據(jù)相結(jié)合的時(shí)候，會(huì)有一定的誤差，但是我們相信當(dāng)有相對(duì)完整的數(shù)據(jù)時(shí)，就可以準(zhǔn)確地求出各地的有關(guān)PM2.5的參數(shù)，更加清晰地找出根本所在，并采取相關(guān)的措施加以治理。

[1]張芷芬等，微分方程定性理論[M].科學(xué)出版社，1997.

[2]馬知恩，周義倉(cāng)等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

O175

A

1003-5168(2014)04-0184-02

丁本艷(1989—)，女，山東萊蕪人，碩士研究生，從事常微分方程定性與分支理論研究。