呂鵬，袁永生，相榮霞，戴啟璠

(1.河海大學(xué)理學(xué)院，南京 210098;2.江蘇省灌溉總渠管理處，江蘇淮安 223200)

小樣本下改進(jìn)的PWM方法及其在導(dǎo)彈精度評(píng)定中的應(yīng)用

呂鵬1，袁永生1，相榮霞1，戴啟璠2

(1.河海大學(xué)理學(xué)院，南京 210098;2.江蘇省灌溉總渠管理處，江蘇淮安 223200)

針對(duì)運(yùn)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法對(duì)武器系統(tǒng)試驗(yàn)的小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)存在的不足，基于小樣本特征，研究了改進(jìn)的PWM區(qū)間估計(jì)方法。通過數(shù)據(jù)模擬，分別在正態(tài)分布、泊松分布以及指數(shù)分布下比較了經(jīng)典方法、百分位法以及改進(jìn)的PWM方法的優(yōu)良性，得出改進(jìn)的PWM方法具有更高的精度，并將該方法應(yīng)用到導(dǎo)彈精度評(píng)定當(dāng)中。

區(qū)間估計(jì);Bootstrap方法;改進(jìn)的PWM方法;導(dǎo)彈精度評(píng)定

一般武器系統(tǒng)研制周期比較長(zhǎng)，試驗(yàn)費(fèi)用比較昂貴，且屬于消耗性試驗(yàn)，得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)是有限的。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)分析方法是建立在適量樣本基礎(chǔ)上的，在小樣本情形下，樣本均值易受異常點(diǎn)的影響，導(dǎo)致整個(gè)置信區(qū)間的穩(wěn)健性受到影響，故精度不高。因此利用經(jīng)典方法進(jìn)行武器系統(tǒng)的試驗(yàn)分析會(huì)存在不足。

目前，解決小樣本問題的方法主要有Bootstrap方法和Bayes方法［1－2］。其中，Bootstrap方法的基本思想都是通過再抽樣將小樣本轉(zhuǎn)化成大樣本;Bayes方法主要是有效地利用先驗(yàn)信息。

PWM(投影深度加權(quán)平均)方法［3］是一種不依賴于總體分布的參數(shù)區(qū)間估計(jì)方法，通過合理引進(jìn)深度函數(shù)和權(quán)函數(shù)，抑制異常點(diǎn)的影響。相同置信水平下，該方法得到的置信區(qū)間更短，但是PWM方法在小樣本下會(huì)出現(xiàn)溢出。

本文結(jié)合小樣本數(shù)據(jù)，引進(jìn)一種新的導(dǎo)彈精度評(píng)定方法——改進(jìn)的PWM方法［4］。經(jīng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，該方法具有較高的精度，能較好地應(yīng)用到武器系統(tǒng)試驗(yàn)分析中。由于該方法不依賴于總體分布，因此也可應(yīng)用到其他工程的評(píng)定中(如產(chǎn)品的可靠性評(píng)估等)。

1 改進(jìn)的PWM方法

小樣本下，改進(jìn)的PWM方法的主要思想是借助Bootstrap抽樣方法［5］，將小樣本轉(zhuǎn)化成大樣本，再合理引進(jìn)深度函數(shù)［6－8］和權(quán)函數(shù)［9－10］來抑制異常點(diǎn)的影響，通過百分位方法截取置信區(qū)間。在介紹改進(jìn)的PWM方法之前，先介紹一下Bootstrap抽樣方法［11－14］。

設(shè)原始樣本為x1，x2，…，xn，Bootstrap抽樣方法有2種:

方法1

1)利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0，M)(M＞＞n)內(nèi)產(chǎn)生具有獨(dú)立性、滿周期性和均勻性的隨機(jī)整數(shù)η，n為所觀測(cè)樣本個(gè)數(shù);

2)令j=η%n，j為n整除η得到的余數(shù);

3)令i=j+1，x*=x(i)，其中x(i)是原始樣本x1，x2，…，xn按從小到大的排序后得到的第i個(gè)統(tǒng)計(jì)量，則x*即為所需的隨機(jī)樣本;

4)重復(fù)以上步驟n次，就得到一組再抽樣樣本x*=(x*1，x*2，…，x*n)。

方法2

1)利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0，1)內(nèi)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)η;

2)令β=(n－1)η，i=?β」+ 1;

3)令x*=x(i)+(β－i+1)(x(i+1)－x(i))，其中x(i)是原始樣本x1，x2，…，xn按從小到大的排序后得到的第i個(gè)統(tǒng)計(jì)量，則x*即為所需的隨機(jī)樣本;

通過數(shù)據(jù)模擬得到，第2種抽樣方法更接近于原總體分布，故本文采用第2種Bootstrap抽樣方法。文獻(xiàn)［13］證實(shí)了這種抽樣方法的可行性。

設(shè)樣本為x=(x1，x2，…，xn)，改進(jìn)的PWM方法具體步驟如下:

其中m是{PD(xi，x)，(i=1，2，…，n)}的中位數(shù)。s≥1且k＞0是一個(gè)固定的正常數(shù)，它可以調(diào)節(jié)想要區(qū)分的具有不同投影深度的點(diǎn)的多少。本文中令s=2，k=3。

4)定義深度加權(quán)平均PWM

可以證明，PWM具有漸進(jìn)正態(tài)性，并且PWM(x)→μ(n→∞)。

5)利用Bootstrap方法對(duì)原始樣本抽樣，得到M個(gè)樣本，對(duì)每一個(gè)樣本都按照以上4個(gè)步驟得到M個(gè)PWM值:PWM1，PWM2，…，PWMM，對(duì)這M個(gè)PWM值由小到大排序，得到PWM(1)，PWM(2)，…，PWM(M)，按照百分位法得到置信水平為1－α的置信區(qū)間是(PWM(Mα/2」+1)，PWM1－Mα/2」)。

2 通過數(shù)據(jù)模擬比較改進(jìn)的PWM方法的優(yōu)良性

本文分別取正態(tài)總體N(0，1)，泊松分布總體P(4)及指數(shù)分布總體Exp(1/4)。運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行模擬抽樣，令樣本數(shù)目分別為7，10和20，并且令Bootstrap抽樣次數(shù)M為500。程序運(yùn)行一次得到的結(jié)果整理見表1。通過表1可以看出:在同一總體分布下，百分位方法比經(jīng)典方法得到的置信區(qū)間長(zhǎng)度更短;而相比之下，改進(jìn)的PWM方法更好，得到的置信區(qū)間平均長(zhǎng)度最短。

3 改進(jìn)的PWM方法在導(dǎo)彈精度評(píng)定中的應(yīng)用

精度評(píng)定［17－18］(包括射程評(píng)估、CEP評(píng)估、設(shè)計(jì)密集度評(píng)估等)是武器系統(tǒng)裝備實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容，近年來，Bootstrap方法已應(yīng)用到該領(lǐng)域。目前，我國(guó)戰(zhàn)略導(dǎo)彈的定型試驗(yàn)僅為3～5發(fā)，在此小樣本下，很多方法都不適用。本文應(yīng)用改進(jìn)的PWM方法與傳統(tǒng)的方法及文獻(xiàn)［17］中的相關(guān)方法進(jìn)行優(yōu)良性的比較。

表1 3種方法下正態(tài)N(0，1)、泊松P(4)、指數(shù)Exp(1/4)分布的置信水平為95%的隨機(jī)模擬500次置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度

某型號(hào)導(dǎo)彈最大射程真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為5 510，5 532，5 528，由正態(tài)分布N(5 520，102)產(chǎn)生。在改進(jìn)前的型號(hào)做過的8次最遠(yuǎn)射程試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別是:5 519，5 498，5 533，5 532，5 514，5 520，5 518和5 512，由正態(tài)分布N(5 515，122)產(chǎn)生，單位為公里。Bootstrap抽樣1 000次，計(jì)算射程均值的80%置信區(qū)間，比較結(jié)果見表2。

通過表2可以看出:上述5種區(qū)間估計(jì)方法均包含了真值，在相同置信水平下，本文中改進(jìn)的PWM方法得到的導(dǎo)彈精度評(píng)定結(jié)果精度更高;在不考慮驗(yàn)前信息和考慮驗(yàn)前信息2種情況下，得到的置信區(qū)間長(zhǎng)度分別最短;考慮驗(yàn)前信息的數(shù)Bootstrap方法計(jì)算出的置信區(qū)間長(zhǎng)度已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于經(jīng)典方法和不考慮驗(yàn)前信息的Bootstrap方法;而在改進(jìn)的PWM方法下，考慮驗(yàn)前信息情形下得到的置信區(qū)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他4種方法得到的置信區(qū)間。因此，改進(jìn)的PWM方法可以很好地應(yīng)用到武器系統(tǒng)裝備實(shí)驗(yàn)的精度評(píng)定當(dāng)中。

表2 導(dǎo)彈射程精度評(píng)定結(jié)果

4 結(jié)束語

本文通過改進(jìn)PWM區(qū)間估計(jì)方法，比較了正態(tài)分布、泊松分布以及指數(shù)分布下的均值區(qū)間估計(jì)方法的優(yōu)良性。通過計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)模擬以及在導(dǎo)彈射程精度評(píng)定中的應(yīng)用得出結(jié)論:改進(jìn)的PWM方法具有更高的精度;相同置信水平下得到的置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度更短;改進(jìn)的PWM方法不依賴于總體分布。因此，該方法能很好地應(yīng)用到武器系統(tǒng)裝備評(píng)定等其他小樣本估計(jì)問題的工程領(lǐng)域中。

［1］樊立明，吳鵬，萬偉.基于Bayes自助法的小子樣命中精度評(píng)估［C］//Proceedings of 2010 The 3rd International Conference on Computational Intelligence and Industrial Application.USA:［s.n.］，2010.

［2］李靜，馮志剛.隨機(jī)加權(quán)最大熵法在可靠性評(píng)估中的運(yùn)用［J］.可靠性與環(huán)境適應(yīng)性理論研究，2008，26 (6):62－65.

［3］Yijun Zuo.Is the t confidence interval:±tα(n－1)s/optimal?［J］.The American Statistician，2010，64 (2):170－173.

［4］相榮霞，袁永生，戴啟璠.改進(jìn)的PWM方法及小樣本下的穩(wěn)健區(qū)間估計(jì)［J］.曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，38 (4):25－27.

［5］Bradley Efron.Second Thoughts on the Bootstrap［J］.Statistical Science，2003，18(2):135－140.

［6］Yijun Zuo.Data Depth Trimming Counterpart of the Classical t(or T2)Procedure［J］.Journal of Probability and Statistics，2009，19:1－9.

［7］李強(qiáng).兩類數(shù)據(jù)深度及深度加權(quán)M估計(jì)［D］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2008.

［8］范允征，林路.穩(wěn)健的深度加權(quán)小波估計(jì)［J］.南通大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，7(4):78－81.

［9］范允征，林路.線性回歸模型的深度加權(quán)最小二乘估計(jì)和擬合檢驗(yàn)［J］.南京師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，31(3):39－43.

［10］Yijun Zuo，Robert Serfling.General Notation of Statistical Depth Function［J］.The annals of Statistics，2000，28(2) :461－482.

［11］Thomas J.DiCiccio，Bradley Efron.Bootstrap Confidence Intervals［J］.Statistical Science，1996，11(3):189－228.

［12］扎庫(kù)拉.戈文達(dá)拉玉盧.抽樣理論與方法(英文版)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版，2005.

［13］張守玉，封偉書.基于Bootstrap方法的正態(tài)分布樣本數(shù)據(jù)生成研究［J］.裝配指揮技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，20 (2):97－100.

［14］曹欣，孫新利，李振.改進(jìn)灰自助法及其在可靠性評(píng)定中的應(yīng)用［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版，2010，40(1): 144－148.

［15］卯詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［16］夏樂天，郭寶才，肖艷文.指數(shù)分布參數(shù)置信區(qū)間的最短化研究［J］.河海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2003，31 (3):354－357.

［17］胡正東，曹淵等.特小子樣試驗(yàn)下導(dǎo)彈精度評(píng)定的Bootstrap方法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008，30 (8):1493－1497.

［18］李書進(jìn)，鈴木祥之.基于Bootstrap濾波的非線性系統(tǒng)的識(shí)別［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，25(5):30－32.

(責(zé)任編輯 劉舸)

Improved PWM Method under Small Sample and Its Application on Missile Precision Evaluation

LYU Peng1，YUAN Yong－sheng1，XIANG Rong－xia1，DAI Qi－pan2
(1.College of Science，Hohai University，Nanjing 210098，China;
2.Administration Office of Irrigation in Jiangsu Province，Huai’an 223200，China)

It is inadequate to analyze the data of small sample with classical statistical method in experiment of weapon system.Based on the characteristics of small sample，this paper firstly introduces the improved PWM interval estimation methods reasonably，then compared the classical method，bootstrap percentile CI method and the improved PWM method through data simulation respectively in normal distribution，Poisson distribution and exponential distribution.The result shows that the improved PWM method is more efficient.Finally，we applies this method to the missile precision evaluation.

interval estimation;Bootstrap method;improved PWM method;missile precision evaluation

O212

A

1674－8425(2014)05－0139－04

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.05.026

2013－10－22

江蘇省水利科技創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(2011059);河海大學(xué)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2009426311)

呂鵬(1990—)，男，山東青島人，碩士研究生，主要從事小樣本理論及其應(yīng)用研究。

呂鵬，袁永生，相榮霞，等.小樣本下改進(jìn)的PWM方法及其在導(dǎo)彈精度評(píng)定中的應(yīng)用［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014(5):139－142.

format:LYU Peng，YUAN Yong－sheng，XIANG Rong－xia，et al.Improved PWM Method under Small Sample and Its Application on Missile Precision Evaluation［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(5):139－142.