沈建偉

1 預(yù)備知識

ρ～混合序列是一類極為廣泛的相依混合序列。對于混合序列的研究已取得了不少成果。Bradley［1］研究了其極限定理；Peligrad等［2］討論了混合序列的幾乎處處收斂性；吳群英［3－5］得到了混合序列的若干收斂性質(zhì)及其加權(quán)和的完全收斂性和強收斂性，并研究了ρ～混合序列的線性模型M估計的強相合性；韋靜等［6］得到了混合序列加權(quán)和最大值的幾乎處處收斂性；胡學(xué)平等［7］得到了混合序列部分和的若干收斂性質(zhì)，推廣了文獻［3］中的結(jié)論；Guo等［8］研究了行混合陣列加權(quán)和的矩完全收斂性；沈建偉［9］給出了混合序列部分和的一個強大數(shù)律。

下面給出ρ～混合序列的定義及與本研究相關(guān)的一些引理。為行文方便，總是假設(shè)c代表正常數(shù)，在不

同的地方可以代表不同的值；用“?”代表通常意義下的“O”。記代表集A的示性函數(shù)。

設(shè)｛Xn，n≥1｝是定義在概率空間（Ω，A，P）上的隨機變量序列，F(xiàn)S＝σ（Xi，i∈S??）；Fn1＝σ（Xi，i≤n），F(xiàn)∞n＋k＝σ（Xi，i≥n＋k）為σ－域。在A中給定σ－域F和R。令

對k≥0，令

定義1 對隨機序列｛Xn，n≥1｝，若存在k∈?，使得（k）＜1，則稱｛Xn，n≥1｝為ρ～混合序列。

引理1［10］設(shè)｛Xn，n≥1｝為ρ～混合序列，EXn＝0，E｜Xn｜p＜∞，對某些p≥2和任意n≥1，則存在與n無關(guān)的正常數(shù)D使得

引理2［11］設(shè)｛an，n≥1｝是非降的正常數(shù)列，且對某個常數(shù)c有c＜∞。若對?ε＞0，有，則

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)｛Xn，n≥1｝為ρ～混合序列，｛an，n≥1｝是常數(shù)列且滿足0＜an↑∞，且對某個常數(shù)c有1≤。g（x）是定義在R R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間x＞0中取正值、不減；函數(shù)g（x）滿足下列條件之一：

假定

在定理1中，令g（x）＝｜x｜p，p＞0，可得

推論1 設(shè)｛Xn，n≥1｝為混合序列，｛an，n≥1｝是常數(shù)列，滿足0＜an↑∞，且對某個常數(shù)c有＜p≤2，且1＜p≤2時EXn＝0。假定則→0，a.s.。

在推論1中，取an＝［n（log n）1＋δ］1／p，δ＞0，有

推論2 設(shè)｛Xn，n≥1｝為ρ～混合序列，0＜p≤2，且1＜p≤2時EXn＝0。假定E｜Xn｜p＜∞，則對于

注：此結(jié)果直接推廣了文獻［3］中推論3的結(jié)果。

在定理1中，令g（x）＝x2，取an＝nα（log n）β，α＞0，β≥0，有

推論3 設(shè)｛Xn，n≥1｝是均值為零的ρ～混合序列，假定

定理1的證明 記Xann ＝XnI（｜Xn｜≤an）

假設(shè)g（x）滿足條件1），可得

假設(shè)g（x）滿足條件2），注意到EXn＝0可得

故無論g（x）滿足條件1）或2），都有

從而由式（1）、式（2）可得

由Kronecker引理得

由Chebyshev不等式及式（1）可知

由式（3）、式（4）及Borel－Cantelli引理可知，要證明定理成立，只需證明

假設(shè)g（x）滿足條件1），則在區(qū)間｜x｜≤an中，可得

假設(shè)g（x）滿足條件2），則在區(qū)間｜x｜≤an中，可得

因此，無論g（x）滿足條件1）或條件2），在區(qū)間｜x｜≤an中，都有

結(jié)合式（6），｛an，n≥1｝為一非降、趨于無窮的正常數(shù)列可知

由 Mar kov不等式、引理1、式（6）、式（7）和式（1）可得

由引理2可得定理1結(jié)論成立。

從定理的證明過程可知，該結(jié)果主要是利用了文獻［11］中關(guān)于證明強大數(shù)律的一般方法并結(jié)合ρ～混合序列的矩不等式得到的。利用該方法，也可得到其他一些相依序列關(guān)于強大數(shù)律的結(jié)論。

［1］ Bradley R C.On the spectral density and asy mptotic nor mality of weakly dependent random fields［J］.Journal of Theoretical Probability，1992，5（2）：355－373.

［2］ Peligrad M，Gut A.Al most－sure results for a class of dependent random variables［J］.Journal of Theoretical Probability，1999，12（1）：87－104.

［3］ 吳群英.ρ混合序列的若干收斂性質(zhì)［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2001，18（3）：58－64，50.

［4］ 吳群英.ρ混合序列加權(quán)和的完全收斂性和強收斂性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2002，15（1）：1－4.

［5］ 吳群英.ρ～混合線性模型 M 估計的強相合性［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2005，25（1）：41－46.

［6］ 韋靜，唐國強.ρ～混合隨機變量序列加權(quán)和最大值的幾乎處處收斂性［J］.桂林理工大學(xué)學(xué)報，2011，31（4）：633－636.

［7］ 胡學(xué)平，桂春燕.ρ～混合序列部分和的若干收斂性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)雜志，2012，32（3）：521－528.

［8］ Guo M L，Dong J，Ren Y.Complete mo ment conver gence of weighted su ms for arrays of rowwiseρ＊－mixing rando m variables［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2013，26（1）：18－27.

［9］ 沈建偉.ρ～混合序列的一個強大數(shù)律［J］.浙江科技學(xué)院學(xué)報，2013，25（5）：325－328.

［10］ Utev S，Peligrad M.Maxi mal inequalities and an invariance principle f or a class of weakly dependent random variables［J］.Jour nal of Theoretical Probability，2003，16（1）：101－115.

［11］ Yang S C，Su C，Yu K M.A general method to the strong law of large numbers and its applications［J］.Statistics ＆Probability Letters，2008，78（6）：794－803.