侯繼紅,馬聰承,2
(1.廣州科技貿易職業(yè)學院,廣東 廣州511442;2.華南理工大學機械與汽車工程學院,廣東 廣州510640)
隨汽車保有量不斷增加帶來的環(huán)境、能源和交通問題,很多汽車制造商和研究機構均研究設計混合動力、純電動的四輪或兩輪車.2001年,Segway Inc顛覆傳統(tǒng)思想,生產出全世界第一臺商業(yè)用途的雙輪同軸平行布置載人自平衡電動車,這種車比傳統(tǒng)雙輪前后布置的電動單車在占地面積、轉彎半徑、運動靈活性等方面更有優(yōu)勢.近幾年很多高校及科研機構開始對這種新型的交通工具進行研究[1],所采用的控制算法有多種,如極點配置算法、模糊控制、自適應PID控制算法等,如Segway Inc的Segway PT(personal transporter)采用的冗余控制算法[2]、卡莫森學院研發(fā)的 HTV(human transporter vehicle)采用模糊控制[3]、阿德萊德大學研發(fā)的EDGAG采用PD控制[4]、中國科學技術大學研發(fā)的Free Mover采用PID控制等[5].目前還缺少對各類方法在多種工況下(上下坡等)的仿真分析和比較.本文中借助MATALAB仿真軟件進行自平衡兩輪電動車的多工況下控制算法的設計及效果分析.
自平衡兩輪電動車是車輪對稱分布于車架的左右,中間為載人部分的車身,其結構跟一級倒立擺類似,屬于自然不穩(wěn)定系統(tǒng)[6-7].要實現自平衡電動車直立行走,必須根據系統(tǒng)運動學及動力學方程并結合相關的控制算法設計自平衡控制器,以保持車的平衡.
自平衡兩輪電動車的工作原理是:系統(tǒng)利用加速度、陀螺儀傳感器,檢測車身傾斜角度、傾角變化率、車速等姿態(tài)變化,用微處理器將感知車身姿態(tài)的傳感器信號進行采樣,經過計算得出車身傾斜角度、傾角變化率、車速等參數,并用這些參數轉換成控制電機扭矩的PWM信號及驅動電機前進或后退動作,以保持車身的平衡.
本文中在對自平衡兩輪電動車進行物理結構力學分析的基礎上,用牛頓第二定律建立車的多輸入、多輸出非線性力學平衡方程,經計算化簡及線性化處理得出系統(tǒng)狀態(tài)方程.用此模型在MATLAB環(huán)境下利用acer極點配置、線性二次最優(yōu)控制(RQL)算法設計控制器,仿真分析車在水平位置、15°斜坡時控制器對車身姿態(tài)及速度的控制情況,驗證控制方法的可行性,比較兩種控制算法對系統(tǒng)控制的性能.
圖1 自平衡兩輪電動車在斜坡位置的受力分析圖
1.1 系統(tǒng)受力分析 自平衡兩輪電動車在斜坡位置的系統(tǒng)受力分析如圖1所示[6].車的行走方向為x軸,車輪軸線方向為y軸,與路面垂直方向為z軸,md為車體(包括駕駛員)的質量中心,θ為車體偏離平衡位置的傾角,α為車行駛的方位角,D為兩輪之間的距離,l為質心到輪子軸心的距離,β為地面的斜坡度,fL、fR分別為左右輪與地面的摩擦力,CL、CR分別為左右電機的輸出轉矩,FHL、FHR分別為底盤與車輪在水平方向的作用力,mwg為車輪的重力,FVL、FVR分別為底盤與車輪在垂直方向的作用力,R為車輪的半徑,以上參數的單位均為國際單位.
1.2 系統(tǒng)數學模型的建立 由上述力學模型,根據牛頓第二定律的力學分析方法建立力學平衡方程[8].設左右車輪在x軸方向的位移分別為xL、xR,車體重心沿x軸方向的位移為xm,車體底盤沿x軸方向的位移為xd,車體重心繞y軸的轉動慣量為Jθ,車輪繞軸心的轉動慣量為Jw,車轉彎時繞z軸的轉動慣量為Jα.
根據牛頓第二定律,車輪的運動方程為:
同理,根據牛頓第二定律,車體的運動方程為:
由車體的結構可知:
根據以上關系式,通過計算及化簡,并在θ=±5°處線性化處理,即取sinθ≈θ,cosθ≈1,˙θ2≈0,可將非線性的系統(tǒng)模型線性化為:
1.3 系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立 電動車的具體參數如下:md=78kg,mw=5.5kg,l=0.85m,R=0.12m,C=18.569N·m,Jw=0.039 6kg·m2,Jθ=18.785kg·m2.
將電動車的參數及路面坡度代入(13)~(14)式,通過計算及化簡,可得到水平路面(β=0°)及坡度為15°的路面(β=15°)的系統(tǒng)狀態(tài)方程.
當車行駛在水平路面(β=0°)時,系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:
當車行駛在坡度為15°的路面(β=15°)時,系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:
式中A為系統(tǒng)矩陣,B為輸入矩陣,C為輸出矩陣,D為直接傳遞矩陣,X為狀態(tài)向量,u為輸入向量.
系統(tǒng)的可控性指輸入對狀態(tài)的控制能力,是極點可實現配置的充分條件;系統(tǒng)的可觀性指表征輸出對狀態(tài)的反應能力.因此在設計系統(tǒng)控制器之前必須進行可控性、可觀性分析[9].
由可控性判斷矩陣:
且rank(M)=4,系統(tǒng)可控.
同理,由可觀性判斷矩陣:N=[C CA CA2CA3],可知rank(N)=4,系統(tǒng)可觀.
3.1 期望極點配置算法 系統(tǒng)狀態(tài)方程是一個不穩(wěn)定的開環(huán)系統(tǒng),需要引入一個角度和位移組成的反饋量,將系統(tǒng)構成可控的閉環(huán)系統(tǒng).根據系統(tǒng)控制理論,當線性系統(tǒng)加入反饋環(huán)節(jié)后,其狀態(tài)反饋的控制規(guī)律為[9]
式中,A+BK為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣,K為閉環(huán)系統(tǒng)的反饋增益,R為系統(tǒng)的參考輸入,C+DK為系統(tǒng)的輸出矩陣.可以看出,閉環(huán)系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣均與反饋矩陣K有關,可以通過調整K以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性、穩(wěn)定誤差及系統(tǒng)的可控性與可觀性[10].
通過設定期望極點方法求取反饋增益K,在MATLAB中通過acker函數根據期望極點求取K.在直角坐標平面的左半面,選取多組期望極點進行仿真,并對仿真結果進行比較分析,然后選取最優(yōu)的期望極點,得到最優(yōu)的反饋控制增益.下面以水平路面的系統(tǒng)狀態(tài)為例,仿真分析期望極點選取對系統(tǒng)的影響.選取如下3組期望極點,以位移為研究對象,經過MATLAB仿真后,結果如圖2所示.
圖2 不同期望極點下系統(tǒng)位移隨時間變化的曲線
由圖2可知,當配置極點遠離坐標原點時,將加快曲線的收斂速度,提高系統(tǒng)的動態(tài)響應,減少系統(tǒng)到達穩(wěn)定的時間,但增大了相對波動的幅度,同時增大了系統(tǒng)控制中所需的力,但當極點過遠時,又會引起波動時間過長,導致系統(tǒng)控制過量,引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定.因此,需要選擇合適的期望極點,使系統(tǒng)在獲得較短的收斂時間的同時,不引起過大的超調量.通過上述分析,并要求車體在偏離平衡位置后,1s內回復到平衡位置,則選取系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點為: P=[-3.5+5j -3.5-5j -15 -30].
分別將兩個路面狀態(tài)方程的常數矩陣A、B及選取的期望極點P,代入MATLAB的Acker(A,B,P)函數,分別得出與兩個狀態(tài)方程對應的反饋矩陣為:
3.2 線性二次型最優(yōu)控制算法(LQR) 除了用期望極點配置算法求取系統(tǒng)閉環(huán)控制的反饋增益外,還可用線性二次型最優(yōu)控制算法(LQR)求取系統(tǒng)閉環(huán)的反饋增益.對可控、可觀的系統(tǒng),可通過MATLAB的LQR函數求取閉環(huán)系統(tǒng)最優(yōu)的反饋增益,用最優(yōu)的反饋增益構建閉環(huán)最優(yōu)控制.通過Q和R的值平衡狀態(tài)向量和輸入向量,使性能指標J達到最優(yōu).
將車行駛在水平路面及坡度為15°路面的狀態(tài)方程的A、B值及Q、R值代入MATLAB的函數(K,P,E)=LQR(A,B,Q,R),分別求得兩個路面坡度的最優(yōu)反饋矩陣:
該反饋矩陣遠小于用期望極點配置算法求得的反饋矩陣.
為了驗證期望極點配置及LQR兩種算法設計的自平衡控制器的有效性,對系統(tǒng)進行了相應的仿真,并對仿真結果進行比較分析.
通過期望極點配置,為兩種路面坡度系統(tǒng)狀態(tài)找到了合適的反饋增益K1、K2.給系統(tǒng)設定0.087 27 rad(5°)的角度擾動為初始值,即x0=[0 0 0.087 27 0]T,通過如下的 MATLAB 系統(tǒng)仿真程序:
得出車的4個中間狀態(tài)變量即位移、速度、車體傾斜角度及角速度響應曲線,如圖3所示.由仿真曲線可知,無論車體在水平路面還是在斜坡路面,當車體受到0.087 27rad(5°)的擾動后,車的位移、速度、車體傾斜角度及角速度均在1s內回到平衡狀態(tài),擾動的角度越小,系統(tǒng)各變量回到平衡位置的時間越短.因此,可知系統(tǒng)模型線性化后的狀態(tài)反饋設計達到系統(tǒng)控制的要求,并具有較好的控制效果.比較兩圖可知,斜坡路面系統(tǒng)調整的超調量比水平路面更小,且K值也小,說明上斜坡路面所需調整力也更小.
圖3 期望極點配置算法系統(tǒng)仿真響應曲線圖
LQR方法求取系統(tǒng)閉環(huán)的反饋增益K3、K4,代入MATLAB對給定系統(tǒng)初始條件x0=[0 0 0.087 27 0]T系統(tǒng)仿真程序,系統(tǒng)仿真響應曲線如圖4所示.由圖可知,車體受到5°的擾動后,車體傾斜角度和角速度在0.5s內回到平衡位置,但不太穩(wěn)定,位移回到平衡位置的時間較長,兩種坡度路面的控制效果幾乎一樣.
圖4 線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)仿真響應曲線圖
仿真結果表明,電動車在不同斜坡路面受到擾動時,LQR控制和極點配置控制均能較好地控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,能夠使車保持在平衡狀態(tài).對兩種控制方法的仿真比較可知,LQR控制比期望極點配置控制的超調量小,但位移的收斂時間較長,且穩(wěn)定性也較差,所以采用期望極點配置控制能使系統(tǒng)具有優(yōu)良的穩(wěn)定性,有更好的實際應用價值.
本文中對自平衡兩輪電動車進行了系統(tǒng)動力學分析,利用牛頓第二定律建立系統(tǒng)動力學控制模型方程.分別采用期望極點配置算法和LQR算法設計控制器,并用MATLAB對兩種方法設計的閉環(huán)控制器進行系統(tǒng)仿真.通過仿真驗證所設計的兩種閉環(huán)控制器能夠使自平衡電動車的位移、速度、車體傾斜角度及角速度,在系統(tǒng)設計要求的收斂時間內逐漸趨于穩(wěn)定.通過仿真分析,極點配置控制算法設計的控制器在系統(tǒng)穩(wěn)定性方面優(yōu)于LQR算法設計的控制器,具有更好實際應用價值.
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