鐘繼隆， 周 蘇，2， 王明強(qiáng)

(1.同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院，上海201804;2.同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院，上海 200092)

0 引言

電感是對(duì)電機(jī)性能有重大影響的參數(shù)，它不僅直接影響電機(jī)的穩(wěn)態(tài)性能，還與電機(jī)的換相及轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)等動(dòng)態(tài)性能密切相關(guān)[1].由于飽和效應(yīng)的影響，電感在電機(jī)運(yùn)行過程中也體現(xiàn)出動(dòng)態(tài)特性.而在以往的永磁無刷直流電機(jī)模型中，相繞組電感都視為常值，因而忽略了電感參數(shù)的飽和效應(yīng)，這就勢(shì)必導(dǎo)致性能計(jì)算值與實(shí)際情況出現(xiàn)偏差.在無刷直流電機(jī)的控制方面，目前已有研究利用電感的飽和效應(yīng)進(jìn)行無位置傳感器電機(jī)的啟動(dòng)控制及轉(zhuǎn)子位置估計(jì)[2～3]，但并未對(duì)電感的變化規(guī)律作系統(tǒng)的研究和闡述.

因此，對(duì)電機(jī)電感參數(shù)的準(zhǔn)確描述無論對(duì)電機(jī)本體本身的設(shè)計(jì)還是對(duì)電機(jī)的控制都有重要意義.本文將從電感飽和效應(yīng)的基本原理出發(fā)，系統(tǒng)分析影響電感變化的因素及其規(guī)律性，并給出無刷直流電機(jī)各相繞組自感和互感的計(jì)算方法.

1 電感飽和性質(zhì)

1.1 基本性質(zhì)

電感是電路元件的一種集總性質(zhì)，表征了元件儲(chǔ)存磁能的能力.對(duì)于一個(gè)通電電流為，電感為L(zhǎng)的N匝線圈，其反電動(dòng)勢(shì)

可見電感又是關(guān)聯(lián)磁場(chǎng)與電場(chǎng)的物理量.電磁理論研究表明，繞組磁鏈Ψ與通入其中的電流有如圖1所示的關(guān)系.結(jié)合式，從中可以看到電感具有以下性質(zhì):

(1)始終為正，這也可以從磁能表達(dá)式得出;

(2)通電電流為0或磁場(chǎng)最弱時(shí)，電感最大;

(3)隨著磁場(chǎng)增強(qiáng)，電感逐漸減小;

圖1 線圈電感隨磁鏈的變化圖

此即電感的飽和特性.磁路分析法表明，繞組電感

其中N為繞組元件匝數(shù)，Λ為磁導(dǎo)，Rm為磁阻.

因此，當(dāng)繞組確定時(shí)，匝數(shù)確定，電感僅由磁導(dǎo)或磁阻決定，而由于磁路具有飽和性質(zhì)，磁阻在接近飽和狀態(tài)時(shí)，將急劇增大，電感趨于0.因此，電感的飽和性質(zhì)其實(shí)是磁路飽和效應(yīng)的一種體現(xiàn).

1.2 無刷直流電機(jī)電感的影響因素分析

文獻(xiàn)[4]指出，對(duì)于通電線圈，其磁鏈

則電感

其中L0為電流為0時(shí)電感，也即最大電感.可見，式與圖1描述的電感飽和規(guī)律相互驗(yàn)證.對(duì)無刷直流電機(jī)的某相繞組而言，其磁鏈不僅包括該繞組電流產(chǎn)生的自磁鏈，還包括外部磁場(chǎng)通量交鏈:其他繞組電流對(duì)其產(chǎn)生的磁通交鏈及作為勵(lì)磁元件的永磁體產(chǎn)生的磁通交鏈.因此，式(3)應(yīng)修正為

對(duì)于p相繞組，其磁鏈0

φmp為永磁體在相繞組內(nèi)的磁通，則p相繞組自感

由于各相永磁磁通跟轉(zhuǎn)子位置有關(guān)，因此可以定性地認(rèn)為，某一特定無刷直流電機(jī)的各相電感隨三相電流及轉(zhuǎn)子位置θ變化而變化.

2 無刷直流電機(jī)磁路分析和電感計(jì)算

無刷直流電機(jī)三相繞組磁路及對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系如圖2所示，其中永磁鐵轉(zhuǎn)子位置θ以轉(zhuǎn)子D軸來表征.

圖2 無刷直流電機(jī)各相繞組磁路示意圖

2.1 磁鏈的計(jì)算

此時(shí)無刷直流電機(jī)各相磁鏈為:

此即磁鏈方程.忽略永磁體退磁效應(yīng)，永磁磁通交鏈Ψma，Ψmb，Ψmc僅取決于轉(zhuǎn)子位置.其變化產(chǎn)生了梯形反電動(dòng)勢(shì)，即:

顯然，Ψma(0)是永磁體通過A相繞組的最大磁鏈，Ψma(0)=Nφm(φm為極面氣隙磁通).根據(jù)三相反電動(dòng)勢(shì)因數(shù)Kea，Keb，Kec與轉(zhuǎn)子位置的梯形函數(shù)關(guān)系解式(5)中的方程得A相永磁磁通交鏈

由Ψma(π)=－Ψma(0)=－Nφm得

利用Ψma(θ)，Ψmb(θ)，Ψmc(θ)之間的120°電角度關(guān)系，得

2.2 互感的計(jì)算

由電磁學(xué)相關(guān)理論知，相繞組間互感有如下關(guān)系:Lab=Lba，Lac=Lca及Lbc=Lcb，且相繞組間互感具有與自感機(jī)理相同的飽和效應(yīng).那么，對(duì)于互感飽和效應(yīng)，需要考慮兩相繞組互磁路飽和情況，例如計(jì)算AB兩相繞組互感時(shí)應(yīng)考慮AB互磁路即以Lab或Lba為磁路軸線的虛擬繞組磁路飽和效應(yīng)，如圖2所示.

以Lab，Lba磁路為軸線的互磁路磁鏈分別為Ψab(θ)=Lbbibcos150°+Laaiacos30°+ Ψma(θ+30°)Ψab(θ)=Lbbibcos30°+Laaiacos150°+ Ψma(θ－150°)

上文已述，電感L=L0－b0|Ψ|.由于互磁路與自感磁路路徑不同，因而L0與b0參數(shù)值不同，分別另記為M0與c0，注意到繞組方向，互感為負(fù)，得:

同理可得BC和AC相互感公式，整理得互感方程

流電機(jī)的電感方程:

取六個(gè)符號(hào)變量S1～S6∈{1，－1}，作用于方程組(10)中，得

整理成矩陣形式得:

2.3 無刷直流電機(jī)電感方程

綜上對(duì)三相繞組自感及互感的論述，得無刷直

2.4 電感方程的求解

對(duì)于電機(jī)的某一具體運(yùn)行狀態(tài)，電感方程中S1～S6的取值是確定的.其求解方法可歸納如下:

1)代入S1～S6某個(gè)組合，求解方程;

2)驗(yàn)證是否滿足方程組(10)中的去絕對(duì)值符號(hào);

3)若滿足，方程得解;若不滿足，代入下一個(gè)組合，重復(fù)1)～3).

因此，最多26=64次計(jì)算，即可求得三相繞組自感及互感.

實(shí)際上，為減少方程求解時(shí)間，可預(yù)先判定方程組(10)中的去絕對(duì)值符號(hào)，方法見表1.運(yùn)用這種預(yù) 判方法，可以有效地減少求解電感方程的計(jì)算量.

表1 符號(hào)變量S1～S6的確定方法

3 電感仿真及變化規(guī)律驗(yàn)證與分析

3.1 Matlab/Simulink 和 Ansoft Maxwell建模

根據(jù)電感方程，在Matlab/Simulink環(huán)境下搭建無刷直流電機(jī)電感計(jì)算仿真模型.模型輸入為ia，ib，ic三相相電流及電機(jī)轉(zhuǎn)子位置θ，輸出為電機(jī)各相自感及互感.模型相關(guān)參數(shù):極面氣隙磁通φm=0.098Wb、最大自感 L0=0.036H、參數(shù) b0=0.0002A－1、最大互感 M0=0.0014H、參數(shù) c0=0.0002A－1、相繞組匝數(shù) N=12.

由于本文提出的電感方程基于磁路計(jì)算法，其采用解析的方法對(duì)復(fù)雜的電機(jī)磁場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算，難以全面考慮電機(jī)磁場(chǎng)的細(xì)節(jié)，因而可能導(dǎo)致計(jì)算準(zhǔn)確度較低.因此，在磁路計(jì)算完成后，需對(duì)電機(jī)進(jìn)行電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算和分析，校核磁路計(jì)算的準(zhǔn)確性和有效性.在所有電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法中，有限元法是應(yīng)用最廣泛、最有效的一種方法[5].

有限元法將無刷直流電機(jī)空間劃分為微小的網(wǎng)格空間，設(shè)置邊界條件和激勵(lì)后，通過仿真環(huán)境如Ansys、Ansoft Maxwell等對(duì)微小網(wǎng)格空間的電磁特性求解，得到整個(gè)無刷直流電機(jī)電磁場(chǎng)分布繼而得到轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩等動(dòng)力性能.有限元方法能完整而精確地呈現(xiàn)無刷直流電機(jī)瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性.

Ansoft Maxwell是一款高性能的電磁場(chǎng)設(shè)計(jì)和有限元仿真分析軟件.它包括電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)、渦流場(chǎng)、瞬態(tài)場(chǎng)和溫度場(chǎng)分析模塊，可用于分析電磁裝置的靜態(tài)、穩(wěn)態(tài)、瞬態(tài)、正常工況和故障工況特性，具有強(qiáng)大的計(jì)算分析能力和良好的易用性.本文將采用Ansoft Maxwell軟件提供的瞬態(tài)場(chǎng)(Transient Field)求解器對(duì)如圖3所示的內(nèi)轉(zhuǎn)子式永磁無刷直流電機(jī)模型進(jìn)行計(jì)算求解，其基本參數(shù)見表2.

圖3 Maxwell中的無刷直流電機(jī)2D Transient模型

表2 Maxwell 2D無刷直流電機(jī)模型參數(shù)

以上基于Ansoft Maxwell的模型完整而充分地考慮了無刷直流電機(jī)的具體結(jié)構(gòu)，結(jié)合基于有限元法的瞬態(tài)求解器高計(jì)算精度，得到的結(jié)果精確可信.

基于兩個(gè)軟件的計(jì)算方法之間互無關(guān)聯(lián)，其模型用到的參數(shù)也互不相同，且難以做到相互對(duì)應(yīng).同時(shí)由于本文的目的在于探討無刷直流電機(jī)電感的變化規(guī)律，故本文將借助有限元法重點(diǎn)對(duì)提出的電感方程所映射的電感變化規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，而非著眼于仿真結(jié)果的電感數(shù)值上.

3.2 仿真結(jié)果及電感變化規(guī)律分析

在實(shí)際的電感測(cè)量中，由于一般無刷直流電機(jī)無中性點(diǎn)，儀器設(shè)備只能對(duì)各導(dǎo)通相的耦合電感(而非單相電感)進(jìn)行直接測(cè)量，且耦合電感的變化會(huì)直接反映在電機(jī)瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能上.依此，本文將對(duì)導(dǎo)通相的耦合電感進(jìn)行著重分析.

(1)兩相運(yùn)行時(shí)耦合電感變化規(guī)律及分析

以導(dǎo)通AB兩相為例，即ia=－ib，此時(shí)電機(jī)的耦合電感為L(zhǎng)t=Laa+Lbb－2Lab.分別在Matlab/Simulink和Maxwell軟件下對(duì)電機(jī)空載、ia=20A、ia=50A三種工況進(jìn)行仿真，得到耦合電感與轉(zhuǎn)子位置的關(guān)系如圖4中a)和b)(由于Maxwell模型中的電機(jī)極對(duì)數(shù)為2，圖中b)的橫軸實(shí)為電角度，其值為轉(zhuǎn)子位置的2倍.為便于比較說明，統(tǒng)稱為轉(zhuǎn)子位置，下同).

圖4 導(dǎo)通兩相時(shí)耦合電感隨電角度變化的仿真波形

仿真結(jié)果顯示，無論空載還是負(fù)載，耦合電感波形有兩個(gè)波谷，且出現(xiàn)的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)子位置不隨電流變化，都在150°和330°處;空載時(shí)的兩個(gè)波谷值相等，而一定負(fù)載時(shí)，150°處的波谷值隨電流增大，330°處的波谷值隨電流增大而減小，為最小值.無論空載還是負(fù)載，波形有兩個(gè)峰值，且兩者相等，同為最大值;空載時(shí)最大值出現(xiàn)在60°及240°，而一定負(fù)載時(shí)，最大值出現(xiàn)位置隨負(fù)載增大逐漸偏離了空載時(shí)的60°和240°，例如圖 4中 a)顯示 ia=20A，時(shí)的最大值分別出現(xiàn)在68.3°及 231.7°，而 ia=50A 時(shí)則分別出現(xiàn)在 82.4°及 217.6°.整個(gè)波形關(guān)于波谷位置軸對(duì)稱，空載波形近似于正弦波形.這些特性在兩個(gè)軟件的仿真結(jié)果中表現(xiàn)完全一致，很好地驗(yàn)證了本文提出的電感計(jì)算方程.

圖5 電流磁通與永磁磁通的矢量合成

圖6 導(dǎo)通三相時(shí)耦合電感隨電角度變化的仿真波形

以上結(jié)果可以用矢量理論來解釋.如圖5所示，磁通或磁鏈既有大小又有方向，視為矢量，AB相電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)在繞組中的磁通在330°方向，與永磁磁通共同組成繞組合成磁通，且永磁磁通幅值大于繞組電流磁通.合成磁通在AB磁路軸線上的分量幅值決定了耦合電感的飽和情況，也即決定了其變化情況.空載時(shí)，繞組電流磁通可視為0，耦合電感的飽和情況僅取決于永磁磁通在AB繞組軸線的分量;顯然永磁體位置330°和150°時(shí)該分量幅值最大，都等于永磁磁通幅值，電感最小;而θ1=60°及 θ2=240°兩個(gè)位置，該分量幅值為 0，電感最大.隨著負(fù)載的增大，繞組電流磁通也增大，合成磁通分量幅值在330°和150°時(shí)分別為兩個(gè)磁通分量的和與差，對(duì)應(yīng)形成耦合電感的最小值和一個(gè)局部最小值，且兩者之間的差值也隨負(fù)載增大而增大;而對(duì)應(yīng)最大耦合電感的合成磁通分量幅值為0的位置 θ1，θ2則逐漸偏離空載時(shí)的60°和240°.

因此，耦合電感局部最小值發(fā)生位置不隨負(fù)載變化，而最大值發(fā)生位置隨導(dǎo)通電流大小而變化.

(2)三相運(yùn)行時(shí)耦合電感變化規(guī)律及分析

以導(dǎo)通順序A－BC為例，一般BC相電流相差不大，可以認(rèn)為ia=－2ib=－2ic.此時(shí)電機(jī)的耦合電抗為

而耦合電感是其虛部.令

則耦合電感

仿真工況同樣設(shè)為電機(jī)空載、ia=20A和ia=50A三種，兩種方法仿真得耦合電感波形分別如圖6中a)和b)所示，兩者的規(guī)律性同樣十分吻合.耦合電感的兩個(gè)波谷值分別出現(xiàn)在0°及180°，最大值對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)子位置則隨電流影響分別出現(xiàn)在90°及270°附近，這樣的結(jié)果表明A－BC導(dǎo)通電流產(chǎn)生的磁通在0°方向.其他變化規(guī)律與兩相運(yùn)行時(shí)類似，并且同樣可以用矢量理論進(jìn)行解釋，這里不再贅述.

綜合以上仿真計(jì)算結(jié)果和分析，總結(jié)出無刷直流電機(jī)電感的以下幾條變化規(guī)律:

(1)無刷直流電機(jī)導(dǎo)通相的耦合電感隨轉(zhuǎn)子位置變化的規(guī)律可從磁通矢量的角度予以解釋，且變化情況取決于合成磁通在導(dǎo)通相磁路軸線的分量幅值;

(2)無論電機(jī)是兩相導(dǎo)通還是三相導(dǎo)通，空載還是負(fù)載，其耦合電感一個(gè)電周期內(nèi)有兩個(gè)局部最小值，且其對(duì)應(yīng)的電機(jī)轉(zhuǎn)子位置不隨負(fù)載變化而變化;空載時(shí)，兩個(gè)局部最小值相等;隨著負(fù)載增大，兩個(gè)局部最小值分別增大和減小;

(3)無論電機(jī)是兩相導(dǎo)通還是三相導(dǎo)通，其耦合電感一個(gè)電周期內(nèi)有兩個(gè)局部最大值，且兩者相等;一定負(fù)載時(shí)，最大值對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子位置相對(duì)于空載時(shí)發(fā)生偏移，且負(fù)載越大(電流越大)，偏移量越大;

4 結(jié)論

本文從理論的角度對(duì)無刷直流電機(jī)的磁路機(jī)理和電感飽和效應(yīng)進(jìn)行了基礎(chǔ)的分析探討，并推導(dǎo)出了基于磁路法的電感計(jì)算方程.基于該電感方程的模型在Matlab/Simulink環(huán)境下的仿真結(jié)果與基于有限元方法在Ansoft Maxwell軟件下的仿真計(jì)算結(jié)果在規(guī)律性上表現(xiàn)一致，這很好地驗(yàn)證了該計(jì)算方法的正確性.同時(shí)文章結(jié)合矢量理論，對(duì)無刷直流電機(jī)不同運(yùn)行工況下的電感參數(shù)變化規(guī)律進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，得出了對(duì)其電感飽和效應(yīng)明確的規(guī)律性認(rèn)識(shí).這對(duì)深化無刷直流電機(jī)的理論，建立精確的分析模型和正確的參數(shù)測(cè)試方法等，都有重要的意義.

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