張智卿， 秦銳夫

(浙江樹人大學城建學院，浙江杭州 310015)

0 引言

樁基縱向振動理論是樁基抗震、防震設(shè)計，動力機器基礎(chǔ)設(shè)計和動力試樁的理論基礎(chǔ).近幾十年來，學者們以樁周土體力學模型的建立為切入點，采用各種理論方法研究了動態(tài)豎向荷載作用下樁基的振動特性.王奎華[1]采用廣義Voigt模型模擬樁周土體，研究了粘彈性樁的縱向振動性狀.Militano[2]利用平面土模型，在時域內(nèi)研究了瞬態(tài)扭轉(zhuǎn)和縱向荷載作用下單樁的動力響應(yīng)問題.闕仁波等[3]，鄭長杰等[4]基于連續(xù)介質(zhì)模型模擬樁周土體，分別研究了實心樁和管樁的縱向振動問題.余俊等[5]，王小崗[6]將樁土體視為飽和多孔介質(zhì)，分別研究了飽和地基以及橫觀各向同性飽和地基中樁的縱向振動特性.然而，以上研究問題的主要對象為完全埋入式樁基.

值得注意的是，上述研究問題的主要對象為完全埋入式樁基.然而，部分埋入式樁基已在道路，橋梁和近海平臺等大型工程中得到了廣泛的應(yīng)用，關(guān)于該問題的研究目前主要集中在部分埋入單樁的自由振動特性和群樁縱向振動特性.李炳求等[7]采用特征值搜索法得出部分埋入單樁的自振頻率和振型.鐘銳等[8]在考慮土體非線性的前提下，研究了部分埋入群樁的縱向振動特性.

迄今為止，關(guān)于部分埋入樁完整性分析方面的研究仍相對不足.余云燕等[9]基于回傳射線矩陣法，研究了部分埋入變模量樁的動力響應(yīng)問題.然而，該研究采用的彈簧和阻尼參數(shù)難以直接與工程實際參數(shù)相匹配.因此，本文基于單相土體的運動方程，采用解析的方法研究均質(zhì)土體中部分埋入樁的縱向振動響應(yīng)問題.

1 基本假設(shè)及定解問題

計算模型如圖1所示，樁身沿著垂直方向分為完全埋入地基土體的樁段1和未埋入地基土體的樁段2.為了建立適合該問題的數(shù)學模型，現(xiàn)假設(shè)如下:(1)樁段1周圍土體為均質(zhì)、各向同性線性粘彈性體，其材料阻尼采用滯回阻尼形式;，地基土層上表面為自由邊界;(2)樁為彈性、垂直、圓形均勻截面樁，樁身底部為彈性邊界，樁與周圍土體完全連續(xù)接觸;(3)樁土系統(tǒng)初始處于靜止狀態(tài).

忽略土體縱向位移沿深度方向梯度時，土體在瞬態(tài)縱向激勵力作用下的控制方程可以表示為:

式中:wz(r，t)表示土體縱向振動位移;Gs，Ds和 ρs分別表示土體的剪切模量，阻尼系數(shù)和密度.

由于樁土體系初始為靜止狀態(tài)，對式(1)進行拉普拉斯變換可得:

圖1 樁土動力相互作用示意圖

鑒于樁土系統(tǒng)初始靜止，經(jīng)過拉普拉斯變換后樁段1和樁段2動力平衡方程可以分別表示為:

式中:Ep，ρp和r0分別表示樁的彈性模量，質(zhì)量密度和半徑分別表示拉氏變換后樁段1和2的縱向位移表示拉氏變換后樁周土體作用在樁身的側(cè)壁切應(yīng)力.

樁段1拉氏變換后的邊界條件可以寫為(采用局部坐標表示):

樁段2拉氏變換后的邊界條件(采用局部坐標表示):

式中:H2表示樁段2的長度;kpb2表示樁段1頂部作用于樁段2底部的支撐系數(shù);P*0(s)表示拉氏變換后作用于樁頂?shù)呢Q向力.

樁土接觸面兩側(cè)的銜接條件:

2 部分埋入樁縱向振動問題求解

2.1 土體縱向振動解

方程(2)解的可以表示為:

式中:I1(qr)和K1(qr)分別為一階第一類和第二類修正的貝塞爾函數(shù).由土層無限遠處土體的應(yīng)力和位移衰減為零，可得A=0，則方程(8)可以進一步表示為:

樁土接觸面處的側(cè)壁切應(yīng)力可以表示為:

2.2 樁縱向振動問題求解

利用樁土接觸面的位移銜接條件式(7)，將式(9)和(10)代入式(3)中，可得:

方程(11)的解可以表示為:

式中:

將式(12)代入邊界條件(5)中可以得到C1和C2，則樁段1頂部阻抗函數(shù)可以進一步表示為:

方程(4)的解可以表示為:

式中:κ =(－ ρps2/Ep)1/2

圖2 樁段2長度變化對樁頂速度導(dǎo)納和速度時域響應(yīng)影響(H1=20m，Gs=21×07Pa)

根據(jù)阻抗函數(shù)遞推原理，樁段1頂部阻抗與樁段2底部支撐系數(shù)相等，即kpb2=Z1(s).然后，將式(14)帶入邊界條件式(6)可以得到D1和D2，則樁頂阻抗函數(shù)可以進一步表示為:

令s=iω，可以在頻域內(nèi)得到樁頂速度響應(yīng)函數(shù)(或稱為樁頂速度導(dǎo)納):

式中:θ= ωTc，t=t/Tc和T=T0/Tc分別表示無量綱頻率，時間和脈沖寬度;Tc=H/Vp表示彈性縱波從樁頂傳遞到樁底經(jīng)歷的時間.

圖3 樁段1長度變化對樁頂速度時域響應(yīng)影響(H2=4m，Gs=2×107Pa)

圖4 樁土模量比變化對樁頂速度時域響應(yīng)影響(H1=20m，H2=4m)

3 數(shù)值計算與討論

下面將通過數(shù)值計算研究主要參數(shù)對樁頂速度導(dǎo)納和速度時域響應(yīng)的影響，土體及樁的常用參數(shù)取為:ρs=1600kg/m3，r0=1.0m，ρp=2500kg/m3，Vp=3700m/s，μ =0.25，Ds=0.02，kpb1=4Gsr0/(1－ μ).

樁段2長度變化對樁頂速度導(dǎo)納和速度時域響應(yīng)的影響如圖2所示.由圖2(a)可見，當H2為0(即完全埋入樁)時，速度導(dǎo)納曲線上除第1階共振峰外，以后各階共振峰幅值相等;隨著H2的增大，各階共振頻率逐漸減小，存在大峰夾小峰的現(xiàn)象，這與缺陷樁響應(yīng)曲線類似，表明速度導(dǎo)納曲線無法應(yīng)用于部分埋入樁的完整性分析之中，因此下文中將不再研究部分埋入樁的速度導(dǎo)納響應(yīng)變化特征.由圖2(b)可以看出，部分埋入樁樁段分界面處存在著一定程度的界面反射信號，且該信號不存在2次反射現(xiàn)象.隨著H2的增大，由于縱波傳播距離的增大，界面和樁底反射信號對應(yīng)的時間也相應(yīng)延后，而樁底反射信號幅值基本上未發(fā)生改變，這表明入射脈沖能量在上部樁段耗散地很少.

圖3反映了樁段1長度變化對樁頂速度時域響應(yīng)的影響.由圖3可見，樁段分界面處的反射信號與H1大小無關(guān)，而隨著H1的增大，入射脈沖在下部樁土體系中產(chǎn)生了更多的耗散，導(dǎo)致樁底反射信號的幅值逐漸減小.

圖4反映了固定樁身彈性模量時，樁土模量比變化對樁頂速度時域響應(yīng)的影響.由圖4可見，隨著樁土模量比大范圍地增大(即土體剪切模量減小)，樁段分界面處的反射信號的幅值有著略微的減小，因此在實際工程中可以不考慮土體性質(zhì)變化對界面反射信號的影響.此外，隨著樁土模量比的增大，樁底反射信號幅值有著明顯地增大，這與完全埋入樁的變化規(guī)律相同.

4 結(jié)論

(1)樁段2長度對樁頂速度導(dǎo)納響應(yīng)有著明顯的影響，隨著的增大，導(dǎo)納曲線的變化規(guī)律與缺陷樁響應(yīng)曲線類似，因此速度導(dǎo)納曲線無法應(yīng)用于部分埋入樁的完整性分析之中.

(2)隨著樁段2長度的增大，樁段界面和樁底反射信號對應(yīng)的時間相應(yīng)延后，樁底反射信號幅值基本上未發(fā)生改變.樁段1長度變化與樁段分界面處的反射信號無關(guān)，且隨著H1的增大，樁底反射信號的幅值逐漸減小.

(3)部分埋入樁樁段分界面處存在著一定程度的界面反射信號，該信號不存在2次反射現(xiàn)象，且受到樁周土體性質(zhì)變化的影響很小.因此，在實際工程中可以忽略土體性質(zhì)變化對界面反射信號的影響，同時需要注意防止此類信號作為缺陷信號的誤判.

(4)樁土模量比變化對樁底反射信號幅值的影響與完全埋入樁的變化規(guī)律一致，隨著樁土模量比的增大，樁底反射信號幅值有著明顯地增大.

[1]王奎華.成層廣義Voigt地基中粘彈性樁縱向振動分析與應(yīng)用[J].浙江大學學報(工學版)，2002，36(5):565－571.

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[4]鄭長杰，丁選明，劉漢龍，等.考慮土體三維波動效應(yīng)的現(xiàn)澆大直徑管樁縱向振動響應(yīng)解析解[J].巖土工程學報，2013，35(12):2247－2254.

[5]余俊，尚守平，任慧，等.飽和土中樁豎向振動響應(yīng)分析[J].工程力學，2008，25(10):187－193.

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[7]李炳求，鄭鎮(zhèn)燮，李光范，等.部分埋入彈性地基的變截面樁自由振動[J].巖土工程學報，1999，21(5):609－613.

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[9]余云燕，余莉芬.均質(zhì)土中部分埋入變模量樁的波動響應(yīng)研究[J].振動工程學報，2010，23(2):200－205.