馬剛，孫麗萍

（哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

基于總體坐標(biāo)法的大變形錨泊線的靜力分析

馬剛，孫麗萍

（哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

為解決錨泊線軸向大拉伸問題，提出了一種聯(lián)合應(yīng)用總體坐標(biāo)、能量變分原理和有限元法的解決方法。通過總體坐標(biāo)使用節(jié)點斜率取代轉(zhuǎn)角，直接在總體坐標(biāo)系下以當(dāng)前構(gòu)形形成微元非線性應(yīng)變位移關(guān)系的描述方法，同時建立當(dāng)前構(gòu)形與參考構(gòu)形下的參量映射關(guān)系；利用能量變分原理建立應(yīng)變能和外力功的平衡方程，進而形成錨泊線的單元剛度矩陣；按照有限元法完成單元組裝和數(shù)值求解。這種方法在三維空間內(nèi)較為準(zhǔn)確地刻畫了錨泊線的大轉(zhuǎn)動和大拉伸變形，并且在單元組裝時，不必進行局部坐標(biāo)與總體坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，節(jié)省了計算時間。與具有解析解的可拉伸懸鏈線理論的對比顯示，該方法具有較快的收斂速度和較高的計算精度。

總體坐標(biāo)；能量變分原理；有限元法；錨泊線；靜力分析

錨鏈?zhǔn)巧钏∈浇Y(jié)構(gòu)物進行錨泊定位的主要構(gòu)件之一。在計算分析中，一般認(rèn)為錨鏈完全柔性，不具備抗彎能力，屬于錨泊線構(gòu)件［1］。因為錨鏈由較高強度的鋼材構(gòu)成，在工作載荷下只有較小的應(yīng)變產(chǎn)生，所以通過在經(jīng)典懸鏈線理論中假設(shè)錨鏈沒有軸向拉伸或小拉伸，也可以得到較為可靠的計算結(jié)果。在這種假設(shè)下，集中質(zhì)量法和細長桿法也是對完全柔性的錨泊線進行分析的重要理論［2-3］。集中質(zhì)量法采用能量原理和有限元法，通過單元局部坐標(biāo)和總體坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換完成總體剛度矩陣的組裝；細長桿法在總體坐標(biāo)系中使用矢量力學(xué)方法和有限元法，省去了單元局部坐標(biāo)與總體坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，并且與集中質(zhì)量法相比，基于總體坐標(biāo)法的細長桿法不再使用轉(zhuǎn)角作為單元坐標(biāo)，而是使用斜率，這種方式具有更靈活的特性?；诳傮w坐標(biāo)方法的索、桿、梁等單元的研究在海洋工程和其他學(xué)科中也得到了廣泛的關(guān)注［4-8］。但是，目前對于索單元的研究限制在軸向無變形和小變形的假設(shè)下。一般認(rèn)為懸鏈?zhǔn)藉^鏈通過自身的重力效應(yīng)產(chǎn)生較大的水平力從而實現(xiàn)定位功能。在精確度要求不高的工程應(yīng)用中，假設(shè)纜索軸向無拉伸或小拉伸，雖然計算結(jié)果仍然較為可信，但卻不符合實際情況，因為它忽略了軸向彈性變形對錨泊力的貢獻，這在由聚酯材料構(gòu)成的張緊式錨泊線中的體現(xiàn)尤為明顯。在張緊式錨泊線中，水平錨泊力主要通過纜索的軸向彈性變形獲得。這也要求對錨泊線的研究必須較為嚴(yán)格地考慮軸向變形因素。另外，由于小變形假設(shè)不區(qū)分變形前后的構(gòu)形和采用了線性幾何關(guān)系，因此不能直接應(yīng)用于大變形的分析中。

總體坐標(biāo)法的相關(guān)理論正在持續(xù)發(fā)展，并形成了矢量力學(xué)總體坐標(biāo)法和能量變分總體坐標(biāo)法。在海洋工程中，矢量力學(xué)總體坐標(biāo)法已經(jīng)有了較為深入的研究，不過，目前大多用于研究大彎曲變形和軸向小（無）拉伸變形。能量變分總體坐標(biāo)法目前主要在機械、多體動力學(xué)等領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用，并集中在全參數(shù)實體桿梁單元的研究上［9］，針對應(yīng)用在深水環(huán)境中的錨鏈等一維柔性構(gòu)件的研究還不深入［10］。在矢量力學(xué)總體坐標(biāo)法中，單元坐標(biāo)由15個分量構(gòu)成，包括6個平動坐標(biāo)，6個斜率坐標(biāo)和3個拉格朗日乘子（近似張力）。通過能量變分總體坐標(biāo)法形成的單元坐標(biāo)由前12個分量構(gòu)成，這在一定程度可以減少求解方程數(shù)量［11］。本文借助總體坐標(biāo)法來研究錨泊線的軸向大變形問題。利用能量原理和有限元法提出一種解決軸向大變形問題的錨泊線靜力計算方法。

1 錨泊線的能量變分總體坐標(biāo)法

1.1 基本假定

在分析中，錨泊線的計算方法將遵循以下假設(shè)：1）剛性截面假設(shè)：截面在外載荷作用下截面尺寸和形狀不發(fā)生變化，即由于錨泊線軸向尺寸遠遠大于截面尺寸，因此截面變形忽略不計。2）錨泊線發(fā)生變形后，中心線和截面依然保持垂直，且忽略相對扭轉(zhuǎn)。3）材料線彈性假設(shè)：應(yīng)力和應(yīng)變呈線性關(guān)系。4）完全柔性假設(shè)：錨泊線不具備抗彎能力，完全依靠張力維持平衡。5）質(zhì)量守恒：變形前后總質(zhì)量不發(fā)生變化。

1.2 總體坐標(biāo)法和非線性應(yīng)變位移關(guān)系

深水錨泊線的軸向尺寸遠遠大于截面尺寸，因此將其中心線當(dāng)做一條空間中的曲線來進行模擬。將無應(yīng)力狀態(tài)的曲線看作參考狀態(tài)，曲線上任意一個質(zhì)點可以由矢徑r表示（即總體坐標(biāo)），其中矢徑是參考構(gòu)形下弧長s的函數(shù)。曲線在外載荷的作用下，由參考狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)樽冃魏鬆顟B(tài)（或稱當(dāng)前狀態(tài)）。在變形后狀態(tài)下，矢徑r是變形后弧長s～的函數(shù)。在曲線任意質(zhì)點上均伴隨一個活動標(biāo)架，該活動標(biāo)架是一個直角坐標(biāo)系，由單位切向量τ、單位法向量n和單位副法向量b組成，如圖1所示。切向量的方向為質(zhì)點沿曲線運動的方向，切向量隨著弧長變化的方向為法向量的方向，通過切向量和法向量按照右手螺旋規(guī)則確定副法向量的方向。

圖1 空間中的曲線的描述方法Fig.1 Description of the curve in the space

在曲線上任意選取一段微元作為研究對象，參考構(gòu)形和當(dāng)前構(gòu)形下的關(guān)系如圖2所示。

圖2 變形前后單元坐標(biāo)Fig.2 Cable element in the reference configuration and deformed configuration

設(shè)參考構(gòu)形下弧長為ds，當(dāng)前構(gòu)形下弧長為ds～，微元的軸向應(yīng)變即為εl＝?s～／?s-1，式中?s～／?s是一個標(biāo)量，其物理意義為：在軸線上一點附近的微元在切向的伸長比。同時，由微分幾何關(guān)系可知，單位切向量和總體坐標(biāo)之間的關(guān)系為

式中：r′＝?r／?s為斜率，s為變形前弧長。因此，微元的軸向應(yīng)變可以寫為

該式即為微元的非線性應(yīng)變位移關(guān)系式。

本文采用有限元法研究錨泊線的求解問題。從曲線上選取一個單元作為研究對象，單元上任意一個質(zhì)點的坐標(biāo)通過形函數(shù)S和單元坐標(biāo)q插值獲得。錨鏈處于完全柔性狀態(tài)，認(rèn)為其在空間中連續(xù)、光順，因此曲線保持節(jié)點坐標(biāo)連續(xù)和坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，是一條C1型曲線。

借助艾爾米特（Hermite）插值多項式，將任意質(zhì)點的位置矢量寫成r＝Sq，式中S為形函數(shù)，q為單元節(jié)點坐標(biāo)。形函數(shù)的表達式為

式中：I為單位矩陣。形函數(shù)的具體形式為

式中：ξ＝s／L，s為單元弧長度。三維空間中單元節(jié)點坐標(biāo)為

式中：

1.3 錨泊線能量變分法

由于錨泊線在外載荷的作用下發(fā)生了較大變形，因此不同于小變形情況，相關(guān)方程必須在變形后的狀態(tài)下建立。為了充分利用已知的變形前的各項特征參數(shù)，在錨泊線靜力計算方法中，通過變形前后弧長的映射關(guān)系，實現(xiàn)完全拉格朗日格式的平衡方程。

在靜力分析中，錨泊線受到外力作用，產(chǎn)生相應(yīng)的變形。通過能量守恒原理，可得總功W為零，即應(yīng)變能WS等于外力功WE，有

由于錨泊線的拉伸變形是主要的關(guān)注點，因此，將應(yīng)變能展開成具體的形式，可將能量方程寫為

通過對全量形式的方程兩邊取變分得到增量形式的方程，同時將外力功展開成分布外力作用的形式，有

式中：f表示單位長度上施加的外載荷。引入有限元位移模式q，有變分關(guān)系式：

應(yīng)用單元位移變分δq獲得新形式的平衡方程：

此時，平衡方程可簡寫，整理有

為求解方程組，整理出完整形式的切線剛度矩陣KT。按照此前軸向應(yīng)變的定義εl＝r′-1，同時借助高斯積分法即可較為方便地計算出該切線剛度矩陣。之后，按照標(biāo)準(zhǔn)有限元流程進行單元組裝，使用牛頓法和高斯消去法求解即可獲得結(jié)果。

因此，該模型是一個2節(jié)點單元，每個節(jié)點具有6個自由度，具有一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的特性。單元內(nèi)各處截面屬性相同，重點涉及了錨泊線的單元長度、抗拉剛度和線密度等參數(shù)。由于錨泊線有鋼鏈、鋼纜、纖維纜等多種形式，其截面也各不相同，因此計算中需要采用等效的方法進行估算，如等效截面積，可通過廠商提供的錨泊線手冊查得。單元長度由分析者在無拉伸狀態(tài)下指定。節(jié)點初始自由度通過位置坐標(biāo)給出即可，方便起見，可按某個角度下的直線給出，由迭代法計算得到平衡狀態(tài)。

2 新理論與彈性懸鏈線的對比分析

因為錨泊線呈懸鏈形態(tài)，所以具有解析解的懸鏈線理論經(jīng)常被用來校核相關(guān)理論是否準(zhǔn)確。在此次分析中，軸向拉伸變形特性是主要的分析特征，所以本節(jié)將使用具有軸向拉伸特性的彈性懸鏈線理論與錨泊線理論進行對比分析。

2.1 可拉伸懸鏈線基本數(shù)據(jù)

假設(shè)懸鏈線頂端鉸接，底端只受水平力作用，計算出懸鏈線的形態(tài)，通過懸鏈線水平投影、垂向投影分別與總鏈長比值的無量綱量對比計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，如圖3所示。

圖3 底端水平的懸鏈線Fig.3 Catenary line with tangent lower point

在這種情況下，底端只受水平力作用意味著錨鏈底端與海底相切，在觸地點的水平力即為錨鏈的張力。根據(jù)觸地點水平力的大小不同對比計算分為4種情況，每個張力下通過4組單元數(shù)量來驗證程序的收斂性，通過與精確解的對比驗證結(jié)果的準(zhǔn)確性。

在本次分析中，選取一條錨泊線的參數(shù)作為計算數(shù)據(jù)，抗拉剛度4.35×107N，單位長度重力1 084 N／m，總長度3 536 m，計算收斂誤差1.00× 10-11。錨泊線的初始形態(tài)按照水平直線給出，由程序計算出平衡狀態(tài)下的位形和各點處的張力，完成平衡構(gòu)形分析。在40個單元情況下各個張力下的懸鏈線形態(tài)如圖4所示，從圖中可以看出水平力越小，曲線越趨于垂直狀態(tài)。其他相關(guān)計算結(jié)果如表1、2所示。

表1 水平段無量綱值的計算結(jié)果與解析解Table1 Comparison of calculated and analytical results on non-dimensional horizontal displacement

表2 垂直段無量綱值的計算結(jié)果與解析解Table2 Comparison of calculated and analytical results on non-dimensional vertical displacement

圖4 各張力參數(shù)下懸鏈線形態(tài)Fig.4 The catenary shapes under different tensions

2.2 計算結(jié)果對比分析

從表1和表2中的結(jié)果可以看出，在各個工況下，隨著單元數(shù)量的增加，計算結(jié)果不斷趨近于精確解，表現(xiàn)出了一致的收斂性。在水平段無量綱值的第4種張力中，由于水平力較小，收斂性最為復(fù)雜，僅從前3組單元中很難判斷結(jié)果的收斂情況。通過增加一組40個單元的計算可以看出，結(jié)果與20個單元的計算值逐漸趨于一致。與精確解相比也達到了小數(shù)點后6位的匹配度。

整體來看，在各種張力的計算中，程序表現(xiàn)出了較好的收斂性和較快的收斂速度。在水平段無量綱值的第1種情況下，1個單元的計算已經(jīng)取得了小數(shù)點后3位的匹配度。隨著單元數(shù)量增加到10個，結(jié)果可以吻合至小數(shù)點后7位，計算精度有了顯著的提升。從表3和表4的相對誤差分析中也可以看出，計算結(jié)果收斂迅速，10個單元的情況下計算結(jié)果已經(jīng)趨于穩(wěn)定。從圖5和圖6中可以看出，在本次計算中10個和20個單元已經(jīng)取得較好的計算結(jié)果，因此在實際計算中，從節(jié)省計算資源的角度來看，10～20個單元是建議的取值范圍。

表3 水平段無量綱值的相對誤差Table 3 The relative errors for horizontal segment

表4 垂直段無量綱值的相對誤差Table 4 The relative errors for the vertical segment

圖5 各張力參數(shù)下水平段相對誤差分析Fig.5 The relative errors of horizontal segment under tensions

圖6 各張力參數(shù)下垂直段相對誤差分析Fig.6 The relative errors of vertical segment under tensions

4 結(jié)束語

總體坐標(biāo)方法通過斜率代替轉(zhuǎn)角坐標(biāo)，克服了原先復(fù)雜的大變形問題描述過程，省去了單元局部坐標(biāo)和全局坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，能方便地通過有限元法進行求解。同時，結(jié)合能量變分法和非線性幾何方程較為準(zhǔn)確地描述了軸向大拉伸問題。通過與彈性懸鏈線方法的對比結(jié)果可以看出，基于能量變分總體坐標(biāo)法的錨泊線理論可以有效地應(yīng)用于解決軸向大變形錨泊線問題。

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Static analysis of the mooring line under large deformation by utilizing the global coordinate method

MA Gang，SUN Liping
（College of Shipbuilding Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

To solve the defect of large axial stretching of the mooring line，a new solution jointly applying the global coordiantes，the energy variational principle and the finite element method have been proposed.The rotation angles were replaced by the slope of the node in the global coordinate，in order to make the description of the nonlinear relationship of the strain and the displacement.At the same time，mapping relationships of the parameters of the current and the reference configurations were set up.Then the equilibrium equations of the strain energy and externalforce work were created on the basis of the energy variational principle so as to form the element stiffness matrix of the mooring line.Finally，all the elements were assembled and solved by use of the numerical method.This new method shows a precise presentation of the deformation of the large rotation and the large stretch in the 3D，and no translation is needed between the element coordinates and the global coordinates when the assembling is performed.One comparison was executed with the extensible catenary theory which has the analytical resolution.The comparison results show that this new method has rapid convergency and good accuracy.

global coordinate method；energy variational principle；finite element method；mooring line；static analysis

10.3969／j.issn.1006-7043.201306006

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201306006.html

O33

A

1006-7043（2014）06-0674-05

2013-06-03.網(wǎng)絡(luò)出版時間：2014-05-14 15：52：55.

國家高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計劃資助項目（B07019）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專向資金資助（HEUCFD1402）；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金新教師類資助課題（20132304120008）.

馬剛（1984-），男，博士研究生；孫麗萍（1962-），女，教授，博士生導(dǎo)師.

馬剛，E-mail：magang＠hrbeu.edu.cn.