楊明星，郭宗和，王德軍，崔榮江

(1.山東理工大學(xué)，山東淄博 255049；2.山東省農(nóng)業(yè)機械科學(xué)研究所，山東濟南 250100)

空間四自由度并聯(lián)機構(gòu)較Steward等并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單、造價低，同時比三自由度并聯(lián)機構(gòu)具有較多的自由度等優(yōu)點，是國內(nèi)外研究并聯(lián)機構(gòu)的重要類型之一。CARRICATO［1］提出了一種完全各向同性的四自由度并聯(lián)機構(gòu)，并對此機構(gòu)進行了運動學(xué)分析和實時控制研究。GOGU［2］介紹了無奇異完全各相同性的T2R2型四自由度并聯(lián)機器人，分析驗證了操縱器有很好的運動傳輸能力。黃真等人［3］提出了一種新型4-RPTR并聯(lián)機器人機構(gòu)，求出機構(gòu)的位置正解并繪制了對應(yīng)的三維機構(gòu)裝配簡圖。馬履中等［4］研究一種新型3T-1R四自由度并聯(lián)機器人機構(gòu)，運用正交遺傳算法對機構(gòu)的工作空間進行優(yōu)化設(shè)計。趙鐵石等［5］基于螺旋理論綜合出三移一轉(zhuǎn)四自由度雙重驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)。傘紅軍等［6］提出一種新型2-TP/2-TPS空間4自由度并聯(lián)機構(gòu)，運用約束螺旋理論對機構(gòu)的運動性質(zhì)和奇異位形進行分析研究。游達(dá)章等［7］設(shè)計了一種可實現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動的四自由度并聯(lián)機構(gòu)，分析了其工作空間的設(shè)計原理及過程。季曄等人［8］以各性能指標(biāo)在任務(wù)空間內(nèi)變化較小且分布均勻為目標(biāo)，對4-UPU四自由度并聯(lián)機構(gòu)進行優(yōu)化得到最佳的機構(gòu)參數(shù)。

2-RPC/2-SPC并聯(lián)機構(gòu)是作者所在課題組提出的［9］一種新型空間4自由度并聯(lián)機構(gòu)，該機構(gòu)可以實現(xiàn)三維移動和繞著y軸的轉(zhuǎn)動。本文作者對該并聯(lián)機構(gòu)進行了運動學(xué)分析，給出約束條件的基礎(chǔ)上以機構(gòu)的運動空間最大為目標(biāo)函數(shù)對機構(gòu)進行優(yōu)化，對優(yōu)化的結(jié)果運用Adams軟件驗證了該機構(gòu)在減震平臺上的應(yīng)用。

1 機構(gòu)的運動學(xué)分析

1.1 2-RPC/2-SPC并聯(lián)機構(gòu)模型的建立

2-RPC/2-SPC并聯(lián)機構(gòu)如圖1所示，該并聯(lián)機構(gòu)由動平臺B1B2B3B4，定平臺A1A2A3A4以及連接兩平臺的4個支鏈組成，其中1、3支鏈為對稱布置且由結(jié)構(gòu)相同的R-P-C副組成，2、4支鏈為對稱布置且由結(jié)構(gòu)相同的S-P-C組成。動平臺和定平臺均為矩形，且與1、3支鏈相連的動、定平臺長度分別為a、d，與2、4支鏈相連的動、定平臺長度分別為b、c。根據(jù)該機構(gòu)的特點，建立定坐標(biāo)系O-XYZ在定平臺的中心位置O上，動坐標(biāo)系p-xyz在動平臺的重心位置p上。通過驅(qū)動縱向移動副Pi改變支鏈SiCi的長度和轉(zhuǎn)向，從而實現(xiàn)動平臺位姿的變化。

圖1 2-RPC/2-SPC并聯(lián)機構(gòu)簡圖

1.2 機構(gòu)的自由度計算

機構(gòu)的第2、4支鏈布置相同且都為無約束支鏈，只需對該機構(gòu)的第1、3支鏈進行螺旋分析?，F(xiàn)取圖2所示機構(gòu)的支鏈1進行分析，可得:

圖2 支鏈1螺旋系的建立

根據(jù)螺旋理論中運動螺旋與約束螺旋之間的互易關(guān)系，可求得RPC支鏈約束反螺旋為兩力偶:

因1、3兩條RPC支鏈平行布置，可知:

根據(jù)線矢在共軸條件下最大線性無關(guān)數(shù)為1，則機構(gòu)

約束螺旋系仍為兩力偶:

基于以上分析，由于機構(gòu)約束反螺旋為兩力偶，約束了動平臺繞X軸和Z軸的旋轉(zhuǎn)運動，所以機構(gòu)可以實現(xiàn)三平移和繞Y軸轉(zhuǎn)動。

1.3 機構(gòu)的位置反解

位置反解可以簡單的描述為:已知動平臺的位姿(xP，yP，zP，β)，求解縱向連桿的桿長Li。選擇RPY(繞固定軸Z-X-Y旋轉(zhuǎn))坐標(biāo)表示法描述姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣，定義首先將動坐標(biāo)系繞定坐標(biāo)系的Z軸旋轉(zhuǎn)α角，再繞定坐標(biāo)系的Y軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞定坐標(biāo)系的X軸旋轉(zhuǎn)γ角。由于α=γ=0則兩坐標(biāo)系之間的變換矩陣為:

則:R=TR0+P

式中:R為動平臺上一點在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo);

R0為動平臺上一點在動坐標(biāo)系中的坐標(biāo);

P為動平臺中心點p在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

同理，可求得另外3個桿長

對于已知動平臺的位姿，則由公式 (4)— (7)可以求出縱向的4個驅(qū)動桿長，即求得機構(gòu)的位置反解。

1.4 機構(gòu)的雅克比矩陣及其奇異性

這里，J為動平臺位姿速度對各支鏈輸入速度的一階影響系數(shù)矩陣，即通常所說的Jacobian矩陣。

可以看出，機構(gòu)的逆雅克比矩陣J1的行列式不可能為0，故以正雅克比矩陣J2為基礎(chǔ)，對該機構(gòu)的奇異位型進行分析。令det(B)=0，整理得

由式 (10)可求得機構(gòu)發(fā)生位形奇異的情況:

(1)當(dāng)d－a=0時，即第1、3支鏈與動、定平臺相連處的尺寸相同，在實際中這種奇異位型是可以避免的。

(2)當(dāng)xpsinβ+zpcosβ=0時，用Mathematica繪圖得，機構(gòu)處于奇異位型時的點，如圖3所示。

圖3 機構(gòu)奇異位形圖

針對這種奇異情形，在進行機構(gòu)軌跡規(guī)劃時要盡量避免出現(xiàn)的奇異點。

(3) 當(dāng)zp(xpcosβ－zpsinβ)+0.25bsinβ(b－ccosβ)=0時，機構(gòu)出現(xiàn)的奇異位型與機構(gòu)的尺寸和軌跡點同時有關(guān)，這就要求我們根據(jù)實際情況合理的進行尺寸選取和軌跡規(guī)劃。

2 2-RPC/2-SPC并聯(lián)機構(gòu)參數(shù)優(yōu)化及結(jié)果分析

2.1 機構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化函數(shù)的建立

在實際的問題中，希望所設(shè)計的結(jié)構(gòu)參數(shù)盡可能地使整個機構(gòu)具有較大空間，并且希望整體機構(gòu)的驅(qū)動性能較好。因此，選取機構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計變量、約束條件如下:

(1)目標(biāo)函數(shù):

其中，v=Aw/A0，使用蒙特卡洛方法［12］求解并聯(lián)機構(gòu)的工作空間符合條件的采樣點空間Aw與采樣空間點集A0的比值v(也稱相對體積)，V0為選定空間的體積。

(2)設(shè)計變量:

其中:a、b分別為動平臺的長和寬;c、d分別為定平臺的長和寬，h為動、定平臺的初始高度差。

(3)約束條件:根據(jù)整體結(jié)構(gòu)尺寸及布置的可能性要求，在設(shè)計中給出個設(shè)計變量的允許變化范圍，可以表示為:s.tlb≤X≤ub其中，lb為變量下限，ub為變量上限。

2.2 優(yōu)化實例

根據(jù)2-RPC/2-SPC并聯(lián)機構(gòu)自身的結(jié)構(gòu)特點可知，設(shè)動平臺的尺寸為a=150 mm，b=140 mm，則影響該機構(gòu)性能的因素主要有以下幾個方面:

(1)定平臺的整體尺寸c、d，以及動、定平臺的初始高度差h。

(2)縱向移動副滑移量限制。從并聯(lián)機構(gòu)的應(yīng)用出發(fā)，絕大多數(shù)并聯(lián)機構(gòu)各分支桿的滑移長度變化是有范圍的。這里假設(shè)機構(gòu)的4個縱向連桿的桿長Li相對初始桿長L0的滑移量Si;位移最大量為Smax，則機構(gòu)在運動中應(yīng)符合的條件是-Smax≤Si≤Smax

(3)轉(zhuǎn)動副和球副的轉(zhuǎn)角限制。轉(zhuǎn)動副和球副在連接機構(gòu)連桿的同時，也要求轉(zhuǎn)角不能隨意轉(zhuǎn)動，必須符合設(shè)計的要求。這里定義縱向連桿與豎直方向的夾角為 θi，夾角允許的最大值為 θmax，最小值為θmin，則 θi應(yīng)滿足的條件是:θmin≤θi≤θmax機構(gòu)參數(shù)的約束條件為:

2.3 優(yōu)化結(jié)果及分析

為了研究方便，分別取定平臺的長c、寬d以及動、定平臺的初始高度差h這三個參數(shù)中的一個為變量，其余2個為常數(shù)進行分析，得到結(jié)果如圖4所示。

圖4 結(jié)構(gòu)參數(shù)與工作空間關(guān)系

可以看出，隨著定平臺的尺寸增大，機構(gòu)的工作空間先增大后減小;并且當(dāng)與動、定平臺相連的同一支鏈的對應(yīng)尺寸相同時，機構(gòu)的工作空間達(dá)到最大值。同時，當(dāng)想讓機構(gòu)達(dá)到更大工作空間時，在滿足一定空間和性能的情況下盡量使初始動、定平臺的高度差盡可能大些。

3 仿真驗證及結(jié)論

3.1 仿真驗證

圖5 2-RPC/2-SPC并聯(lián)機構(gòu)的仿真模型

在希望機構(gòu)運動空間較大的同時盡量避免因結(jié)構(gòu)參數(shù)帶來位形奇異，期望機構(gòu)有較好的運動學(xué)性能。基于以上分析，設(shè)想把該并聯(lián)機構(gòu)用于減震平臺，選取機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為a=150 mm，b=140 mm，c=140 mm，d=140 mm，h=170 mm在 ADAMS環(huán)境下建立的2-RPC/2-SPC并聯(lián)機構(gòu)減震平臺模型，如圖5所示。

為了驗證減震效果，取動平臺的質(zhì)量為20 kg，在縱向連桿移動副處添加k=10.0 N/mm、阻尼系數(shù)為c=2.0 N·s/mm的阻尼彈簧，并且對動平臺中心施加x、y、z3個方向的脈沖力F和繞著y向脈沖力矩M，力的幅值為500 N，力矩幅值為500 N·mm，脈沖總時間都為0.4 s，脈沖函數(shù)為:STEP(time，0，0，0.1，500)+STEP(time，0.1，500，0.3，-500)+STEP(time，0.3， -500，0.4，0)，進行End Time=10、steps=100的動力學(xué)仿真，可以得到在脈沖激勵下，動平臺的加速度隨時間變化的曲線。如圖6所示，橫坐標(biāo)為時間 (單位s)，縱坐標(biāo)為加速度 (單位mm/s2)，由曲線可以看出動平臺的加速度有明顯的衰減，因此該機構(gòu)可以實現(xiàn)很好的減震性能。

圖6 減震平臺的加速度曲線圖

3.2 結(jié)論

(1)對2-RPC/2-SPC并聯(lián)機構(gòu)進行了運動學(xué)分析，求得了該機構(gòu)的位置反解、速度雅克比矩陣并進行了奇異性分析，為該新型并聯(lián)機構(gòu)的研究提供了理論基礎(chǔ)。

(2)給出約束條件的基礎(chǔ)上以機構(gòu)的工作空間最大為目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化出最佳尺寸參數(shù)，仿真驗證了優(yōu)化結(jié)果在并聯(lián)機構(gòu)減震平臺的應(yīng)用，對該機構(gòu)的其他應(yīng)用具有重要參考的價值。

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