齊錦剛， 高 勇， 趙作福， 王家毅， 李 揚， 吳 敵， 王建中

（遼寧工業(yè)大學材料科學與工程學院，遼寧錦州 121001）

貝納德對流產(chǎn)生的溫差條件

齊錦剛， 高 勇， 趙作福， 王家毅， 李 揚， 吳 敵， 王建中

（遼寧工業(yè)大學材料科學與工程學院，遼寧錦州 121001）

在Boussinesq近似的基礎(chǔ)上，忽略貝納德對流擾動方程二階和更高階的擾動，建立速度場和溫度場的擾動方程.通過無量綱處理得到控制貝納德對流的超越方程，利用MATLAB求解超越方程，得到實驗室產(chǎn)生貝納德對流的參數(shù)，為貝納德對流實驗提供參考和指導.

貝納德對流；擾動；耗散結(jié)構(gòu)

0 引言

貝納德實驗在非平衡熱力學、非平衡態(tài)統(tǒng)計物理和非線性力學中都是一個非常重要的研究課題.連續(xù)介質(zhì)力學中的貝納德對流是布魯塞爾學派最早用來說明他們的耗散結(jié)構(gòu)物理圖像的典型例子之一［1］，而且在力學中也是混沌現(xiàn)象的代表性實驗［2］.國內(nèi)外不少文獻對其實驗和產(chǎn)生的非線性理論作了定性描述［3－4］.近年來有國外學者在Boussinesq假設(shè)下從理論上初步研究了三維情況下，溫度場和磁場對貝納德對流的擾動，并建立了溫度場和磁場的擾動方程［5］.有學者以三維圓柱體腔體為模型，在不同瑞利數(shù)下對貝納德對流熱耗散率作了統(tǒng)計分析，得出無量綱數(shù)之間的標度律關(guān)系［6］.

八十年代，Libchaber研究組提出了混合理論［8］.該理論認為腔體內(nèi)的液體分為三個區(qū)域.并認為冷熱羽流從上下溫度邊界層產(chǎn)生，在混合區(qū)域內(nèi)合并，然后進入中央?yún)^(qū)域內(nèi).當上下溫差達到一定的臨界值時，液體會出現(xiàn)平穩(wěn)的、類似以六邊形的對流翻滾狀態(tài).在六邊形的中心液體向上流動，六邊形的邊緣，液體向下流動.

Gertsenshtein，Zheligovsky基于Boussinesq近似，研究了三維腔體中平面薄層液體在外場擾動下的理論.但是沒有得到試驗驗證.盡管混合理論對貝納德對流現(xiàn)象的定性解釋比較完美，但是未能實驗驗證.在1991年，有研究認為貝納德對流與瑞利流不同，不是浮力而是表面張力的作用［11］.這使人們對混合理論產(chǎn)生了疑問.1997年Ning，Yoshifumi，Hideo認為貝納德對流是非線性科學中的一個重要的模型，具有實驗簡單并且易于控制的優(yōu)點，支配方程比較明確，于是將其作為研究非線性科學的重要課題［12］.1999年王晉軍等人認為，存在的問題是硬湍流是否為Benard對流的極限狀態(tài)［7，9］.

在近十年來對貝納德對流的研究相當活躍.學者們從自組織結(jié)構(gòu)出發(fā)，認為當溫度梯度達到一臨界值時，靜止的液體出現(xiàn)了許多規(guī)則的六邊形，在元包中心液體向上運動，邊緣液體向下運動，這時液體內(nèi)分子出現(xiàn)宏觀有序組織［10－15］.

國內(nèi)學者利用貝納德對流現(xiàn)象的產(chǎn)生對地震進行預測［7］，也有學者利用貝納德對流原理分析冰雹的產(chǎn)生和預測［8］取得了初步模型的成功.這些研究對從理論到實驗的過度和跨越有一定參考價值.但定量上討論貝納德對流的穩(wěn)定性和產(chǎn)生條件等問題則報道較少.本文在Boussinesq近似的基礎(chǔ)上，忽略貝納德對流擾動方程二階和更高階的擾動，建立速度場和溫度場的擾動方程，通過對變量的無量綱處理得到控制貝納德對流的超越方程，最后利用MATLAB對超越方程進行求解，得到實驗室產(chǎn)生貝納德對流現(xiàn)象的溫差參數(shù)，探討貝納德系統(tǒng)的產(chǎn)生機理.

1 貝納德對流的物理模型

如圖1所示，在直角坐標系Oxy中，有一立方體腔體，格線表面分別是上下固定表面，用來保持一定的溫度梯度.周圍四個面是絕熱面，與外界沒有任何熱傳遞.腔體中充滿液體.從下固定邊界加熱，上表面保持溫度不變.由于液體的上層溫度T2低于液體的下層溫度T1，下層液體受熱膨脹，密度減小，在浮力的作用下向上層運動，與此同時上層液體向下運動，由于液體具有粘性，這些運動會受到液體粘滯力的阻礙.當溫差ΔT＝T1－T2較小的時候，由溫差產(chǎn)生的浮力不足以克服粘滯力的作用，液體靜止不動，呈現(xiàn)典型的靜態(tài)熱傳導過程．當下部繼續(xù)加熱，溫差ΔT大于某個值時，將出現(xiàn)一種平穩(wěn)的類似六角形的對流翻滾狀態(tài)，在六角形的中心流體向上運動，邊緣流體向下運動.

圖1 貝納德對流實驗模型Fig.1 Experimental model for Benard convection

2 貝納德對流方程

2.1 溫度梯度

分析模型條件可以看出，立方體腔體內(nèi)溫度只沿z方向變化，是一維穩(wěn)態(tài)導熱，導熱過程可用導熱微分方程描述

根據(jù)假設(shè)簡化成

邊界條件為z＝－1／2，T＝T1，z＝1／2，T＝T2．對上式積分帶入邊界條件得出沿z方向的溫度分布為

其中.β為溫度梯度，h為上下液層厚度.

2.2 流體運動的動力學方程

1）動量守恒方程

其中，πij＝ρuiuj－σji為動量通量張量，σij＝σji，為應力張量［9］，f為單位質(zhì)量力，u為速度矢量，ρ為液體密度.

采用Boussinesq近似［10］密度ρ＝ρ0［1＋α（T1－T）］，其中：α為熱脹系數(shù)，T1為腔體下底板的溫度，T為Z方向上任一高度的溫度，ρ0為加熱時下底板的密度.

2）能量守恒方程

其中，e為單位質(zhì)量流體的內(nèi)能，de＝cVdT，cV為體積比熱容；σ：?u為兩個張量的雙點積；Q表示有輻射或化學能釋放等因素而產(chǎn)生的系統(tǒng)內(nèi)單位體積內(nèi)流體熱量的增量；q為熱通量向量，前面的負號表示熱量進入系統(tǒng)，否則就是熱量從系統(tǒng)散失.

在不可壓縮和Boussinesq近似的條件下，能量守恒方程可改寫為

其中，κ＝λ／（ρ0cV）為熱擴散率，λ為導熱系數(shù).

考慮速度、溫度分布的擾動，忽略擾動的非線性項之后，以上兩動力學方程可寫為

其中，θ為溫度的擾動變化量，ω為速度的擾動變化量.

2.3 外場擾動方程

通過前面的描述，必須用一套完整的模型去分析任意擾動對貝納德穩(wěn)定性的影響.鑒于此，建立了二維周期波的擾動函數(shù)模型［10］，如此，描述貝納德對流的擾動就是依賴于x，y和時間t，擾動的表達式

其中，k是擾動的波數(shù)，p是一個常數(shù).

根據(jù)以上擾動模型，我們不難建立速度場ω，溫度場θ對貝納德對流的擾動函數(shù)表達式

為了簡化問題，設(shè)

將其代入方程（5）、（6），可得

為了討論問題的方便，進行無量綱化處理，令

其中，a表示波數(shù)，σ表示時間常數(shù).然后將其帶入方程（11）、（12）得

其中方程（15）右邊的gαβd3／（νκ）便是瑞利數(shù)R，即R＝gαβd3／（νκ）．

通過證明得，對于所有的正的瑞利數(shù)R，常數(shù)σ都是實數(shù)［10］，所以貝納德對流從穩(wěn)定到不穩(wěn)定的發(fā)生肯定是通過一個定態(tài)產(chǎn)生的．因此，邊緣方程肯定是通過σ＝0產(chǎn)生的，于是將σ＝0帶入方程（13）、（14）可得

通過方程（16）、（17）分別消去Θ，W得

3 臨界方程

為求解建立的模型方程，須尋求合適的邊界條件.本文中，由于立方體腔體中上下表面都是固定表面而且對稱，為解決問題的方便，建立如圖2所示的坐標系，此時液體在z＝±1／2之間.

圖2 時間常數(shù)隨波數(shù)變化的MATLAB曲線Fig.2 MATLAB curves of wave number changes with time constants

為解方程（18），根據(jù)實際情況建立以下邊界條件

通過觀察方程和z＝±1／2時，邊界條件的連等式，發(fā)現(xiàn)方程（18）的解應該是兩個不相聯(lián)系的奇偶解，把方程（18）的解表示為

其中q0，q1，q2是關(guān)于波數(shù)a和時間常數(shù) 的表達式，即方程（25）是一個關(guān)于a和 的函數(shù)，又因為通過方程（22）得： ＝（R／a4）1／3，所以方程（25）是關(guān)于波數(shù)和瑞利數(shù)的一個函數(shù).通過MATLAB軟件［11］可求出R的臨界值RC≈1 700.

當R＞RC時貝納德對流產(chǎn)生．根據(jù)方程（15）得出的瑞利數(shù)為R＝gαβd3／（νκ）．其中：g為重力加速度；α為熱膨脹系數(shù)；β為上下表面的溫差；ν為運動粘度；κ為熱擴散系數(shù)．本文通過各物性參數(shù)［12］，計算得出了以下兩種液體作貝納德對流實驗所需要的溫差β.

表1 硅油貝納德實驗的參數(shù)Table 1 Parameters of Benard experiments with silicone

表2 水貝納德實驗的參數(shù)Table 2 Parameters of Benard experiments with water

表3 潤滑油貝納德實驗的參數(shù)Table 3 Parameters of Benard experiments with lubricating oil

4 結(jié)論

通過以上方程，得出了以下結(jié)論：

1）貝納德對流現(xiàn)象可以在Boussinesq假設(shè)的基礎(chǔ)上通過動量守恒方程，內(nèi)能守恒方程來描述，外場對貝納德對流的擾動能夠用二維周期波函數(shù)來建立.

2）貝納德對流從穩(wěn)定到發(fā)生對流的過度可通過臨界瑞利數(shù)來判斷.

3）以硅油、水和潤滑油為例計算出在實驗室完成貝納德實驗需要的參數(shù).

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Temperature Conditions of Bénard Convection

QI Jingang，GAO Yong，ZHAO Zuofu，WANG Jiayi，LI Yang，WU Di，WANG Jianzhong
（School of Material Science and Engineering，Liaoning University of Technology，Jinzhou 121001，China）

Disturbance equations of velocity and temperature fields are built based on Boussinesq approximation，in which second order and higher-order disturbance of Bénard convection are ignored.Transcendental equations controlling Bénard convection are obtained with non-dimensional treatment of variables.Specific parameters of Bénard convection are obtained，which provide reference and guidance for Bénard convection experiments.

Bénard convection；disturbance；dissipative structure

date： 2013－12－24；Revised date： 2014－04－10

N34

A

2013－12－24；

2014－04－06

國家自然科學基金（51074087，51354001）；遼寧省自然科學基金（201102088）及遼寧省高等學校杰出青年學者成長計劃（LJQ2011065）資助項目

齊錦剛（1973－），男，博士，教授，研究方向為冶金熔體科學，E-mail：qijingang1974＠sina.com

1001-246X（2014）06-0675-06