李培巒，張?jiān)鲈?/p>

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023）

Black-Scholes定價(jià)模型

李培巒，張?jiān)鲈?/p>

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023）

研究連續(xù)時(shí)間衍生品的定價(jià)，建立Black-Scholes定價(jià)模型，給出了Black-Scholes微分方程的推導(dǎo)過程以及基于鞅方法的Black-Scholes公式。結(jié)合歐式期權(quán)的定價(jià)公式給出了避險(xiǎn)參數(shù)的表達(dá)式及意義。

金融衍生工具；Black-Scholes模型；歐式期權(quán)；避險(xiǎn)參數(shù)

0 引言

隨著全球經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，金融衍生工具的品種日益復(fù)雜和多樣化，加上衍生工具的高風(fēng)險(xiǎn)性，通過模型研究衍生工具顯得尤為重要。1973年，F(xiàn)ischer Black和Myron Scholes利用無風(fēng)險(xiǎn)投資理論和隨機(jī)微分方程理論，得到了著名的Black-Scholes隨機(jī)偏微分方程［1］，并利用相應(yīng)的邊界條件和概率方法得到了歐式看漲（跌）期權(quán)價(jià)格的計(jì)算公式。Black-Scholes方程的推導(dǎo)方法是定義期權(quán)價(jià)格的基礎(chǔ)，相關(guān)的方法較多［2－3］，大部分都是用布朗運(yùn)動(dòng)入手，結(jié)合偏微分方程的邊值理論，但過程較復(fù)雜，本文完全采用偏微分方程的理論來推導(dǎo)Black-Scholes方程，過程較簡單，并推導(dǎo)了基于鞅方法的Black-Scholes公式，還結(jié)合歐式期權(quán)的定價(jià)公式介紹避險(xiǎn)參數(shù)的表達(dá)式及意義。

Black-Scholes方程是一個(gè)連續(xù)時(shí)間衍生品的定價(jià)模型。為了從偏微分方程入手討論Black-Scholes定價(jià)公式，首先要對市場做如下假設(shè)：

（Ⅰ）基礎(chǔ)資產(chǎn)不支付紅利，且其價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即基礎(chǔ)資產(chǎn)（以下均假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)為股票）的價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程：

其中，μ、σ為常數(shù)。

（Ⅱ）市場是完全的、無套利的；可以無限制的賣空；市場無摩擦，即無稅收成本、無交易成本。

（Ⅲ）無風(fēng)險(xiǎn)利率是一個(gè)常數(shù)，且任何期限的借貸利率都相等。

（Ⅳ）基礎(chǔ)資產(chǎn)可以以任何數(shù)量在任何連續(xù)的時(shí)間交易。

在這些假設(shè)條件下，可以推導(dǎo)出衍生品價(jià)格滿足的偏微分方程的Black-Scholes微分方程，結(jié)合邊界條件可以求出衍生品的價(jià)格。

1 Black-Scholes微分方程的推導(dǎo)

引理1［2－3］令f（t，St）是關(guān)于t和隨機(jī)過程St的二次可微函數(shù)，d St＝αtd t＋σtd Wt（t≥0），漂移項(xiàng)αt和擴(kuò)散項(xiàng)σt都有很好的性質(zhì)。則

證明下面給出Black-Scholes微分方程的完全利用偏微分理論的推導(dǎo)過程。

用T表示衍生品的期限，f（t，St）表示衍生品t時(shí)刻的價(jià)格。假設(shè)函數(shù)f（·，·）具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，由It?引理可得：

由式（1）和式（2）可以構(gòu)建一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合π以消去d Wt項(xiàng)。假設(shè)持有－1單位的衍生品單位的股票，則t時(shí)刻組合π的價(jià)格為：

兩邊求微分可得：

將式（1）和式（2）代入式（3）可得：

整理可得：

從式（4）可以看到：組合π價(jià)格的變化僅與時(shí)間有關(guān)，與市場的狀態(tài)無關(guān)，因此π是無風(fēng)險(xiǎn)組合。故

由式（4）和式（5）可得：

整理可得：

等式（6）就是Black-Scholes微分方程。

基于Black-Scholes微分方程的推導(dǎo)過程，可以得到以下兩個(gè)推論：

推論1式（1）中的μ和σ可以度量股票的收益和風(fēng)險(xiǎn)。

證明將式（1）差分，得到：

其中，△St＝St＋△t－St；△Wt＝Wt＋△t－Wt。因△Wt～N（0，△t），所以基于t時(shí)刻的信息集F Ft對式（7）兩邊求條件期望可得所以，μ的含義是股票的連續(xù)收益率。同理，求△St基于F Ft的條件方差可得所以，σ的含義是收益率的（瞬時(shí)）標(biāo)準(zhǔn)差。故μ和σ分別度量了股票的收益和風(fēng)險(xiǎn)。

推論2歐式看漲期權(quán)滿足的邊界條件為：f（T，ST）＝max｛ST－K，0｝，解Black-Scholes微分方程就得到標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的價(jià)格：

例1 一個(gè)1年期歐式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)為一只公開交易的普通股票，已知：a.股票現(xiàn)價(jià)為122元；b.股票年收益標(biāo)準(zhǔn)差為0.2；c.ln（股票現(xiàn)價(jià)／執(zhí)行價(jià)現(xiàn)價(jià)）＝0.2。利用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算該期權(quán)的價(jià)格。

解 利用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式可得：

從Black-Scholes微分方程及其推導(dǎo)過程，還可以知道組合π是動(dòng)態(tài)的。由π的定義可以看出：π的價(jià)格是隨時(shí)間變化的，組合中的系數(shù)也是隨時(shí)間變化的，這表明套期保值［4－5］是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程。

假設(shè)式（1）只涉及一個(gè)d Wt項(xiàng)，這表明市場是由一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的，也就是說市場只有一個(gè)“風(fēng)險(xiǎn)源”。如果衍生品設(shè)計(jì)多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)，如隨機(jī)利率的股票期權(quán)的定價(jià)中涉及到兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)，需要用d W1t和d W2t描述其對價(jià)格的影響。這樣的模型稱為雙因素模型。衍生品價(jià)格滿足的微分方程的推導(dǎo)中將用到二維的It?引理，但推導(dǎo)的思路與單因素的情形相同。

如果基礎(chǔ)資產(chǎn)支付紅利，其價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程變?yōu)椋?/p>

與式（6）的推導(dǎo)類似，可以推導(dǎo)出衍生品價(jià)格滿足的微分方程：

其中，q為股票的紅利率。

2 基于鞅方法的Black-Scholes公式

隨機(jī)偏微分方程的求解非常麻煩，有時(shí)甚至根本求不出具體的解，所以需要考慮一種簡單的方法求解衍生品的定價(jià)公式，下面給出基于鞅方法的Black-Scholes公式。

定理1 在Black-Scholes模型的假設(shè)下，市場存在唯一的風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度Q，且T時(shí)刻到期的衍生品在t時(shí)刻的價(jià)格可以表示為：

其中，XT為在衍生品到期時(shí)的支付額。

證明 建立貼現(xiàn)的基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格過程：

通過Girsanov定理［6］，找到風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度Q，使得Dt是一個(gè)Q鞅。通過求解式（1）可得客觀概率測度下：

由Girsanov定理，可以找到概率測度Q，使得：

定義過程Vt和Et由條件期望的塔性質(zhì)［7］可知Et是一個(gè)Q鞅。

由鞅表示定理可知：存在一個(gè)F Ft可料過程φt（稱φt是F Ft可料過程，如果φt是F Ft可測的，其中使得：d Et＝φtd Dt。

設(shè)：ψt＝Et－φtDt。因此，如果在t時(shí)刻持有φt單位的基礎(chǔ)資產(chǎn)和ψt單位的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（其價(jià)格為Bt＝ert），則t時(shí)刻組合的價(jià)格為：

并且，d Vt＝φtd St＋ψtd Bt，所以該策略是自融資的，其資產(chǎn)組合在t時(shí)刻的價(jià)格等于衍生品t時(shí)刻的價(jià)格，即：

由式（11）可以較容易地得到式（8）。事實(shí)上，對歐式看漲期權(quán)式（11）可寫為：ct＝e－r（T－t）EQ［max（ST－K，0）］。不失一般性，求解c0。因ST在Q下服從對數(shù)正態(tài)分布，因此在Q下服從對數(shù)正態(tài)分布

設(shè)事件A＝｛ST＞K｝，則

其中，IA為A的示性函數(shù)。在已知ST分布的情況下計(jì)算表達(dá)式中的兩個(gè)期望是不難的。證畢。

可以看出，鞅方法將前面求解Black-Scholes微分方程的復(fù)雜過程變?yōu)楹唵蔚那箅S機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，這正是鞅方法的優(yōu)勢所在。

3 “希臘字母”及其意義

隨著金融的高速發(fā)展，期權(quán)的定價(jià)理論得到了很好的發(fā)展，期權(quán)理論已趨向成熟，期權(quán)在實(shí)務(wù)中的應(yīng)用也日趨頻繁。雖然期權(quán)是一個(gè)很好的避險(xiǎn)工具，但是期權(quán)的應(yīng)用本身也會(huì)引發(fā)一定的風(fēng)險(xiǎn)，那么一個(gè)現(xiàn)實(shí)的問題就是：怎樣降低由于期權(quán)的應(yīng)用而引發(fā)的風(fēng)險(xiǎn)。希臘字母是衍生品的常用避險(xiǎn)參數(shù)的總稱［8－10］。這些避險(xiǎn)參數(shù)度量了衍生品價(jià)格對各變量的敏感性，也引起了學(xué)者的關(guān)注［10－15］。本文結(jié)合歐式期權(quán)的定價(jià)公式，利用偏微分方程的方法重點(diǎn)介紹3種避險(xiǎn)參數(shù)的表達(dá)式及意義。

在實(shí)務(wù)中，△度量了基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)對衍生品價(jià)格的影響，因此△是對資產(chǎn)價(jià)格敏感性的度量。由于每個(gè)資產(chǎn)都有△（基礎(chǔ)資產(chǎn)本身的△＝1），因此通過調(diào)整資產(chǎn)組合中各個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重，可能達(dá)到各單一資產(chǎn)按投資比例加權(quán)的△值為0，此時(shí)稱資產(chǎn)組合處于△中立狀態(tài)。這意味著基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)導(dǎo)致資產(chǎn)組合價(jià)格的該變量為0?！髦辛顟B(tài)是風(fēng)險(xiǎn)管理者消除基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的最佳狀態(tài)。

Γ度量了基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變化對△的影響，即度量了衍生品價(jià)格與基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格之間的凹凸性。如果某個(gè)時(shí)刻投資者處于△中立狀態(tài)，當(dāng)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格變化時(shí)，資產(chǎn)組合新的加權(quán)△的值可能不為0。Γ給出了如何重新回到△中立狀態(tài)的方法。事實(shí)上，如果Γ＜0，則基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的上升將使得資產(chǎn)組合的△＜0，因此需要增加組合中有正△值資產(chǎn)的頭寸以重新達(dá)到組合的△＝0。

v度量了基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)性的變化對衍生品價(jià)格的影響。資產(chǎn)組合的v較小意味著資產(chǎn)組合的價(jià)格對基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率的變化不敏感。因此，對v較小的資產(chǎn)組合而言，沒有必要花費(fèi)較大的成本獲得σs的準(zhǔn)確值；反之，若組合的v較大，有必要獲得σs較準(zhǔn)確的信息。波動(dòng)率σs不能直接觀察到，通常情況下，σs是基于基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)估計(jì)出來的，這樣得到的σs稱為歷史的波動(dòng)率。另一種獲得σs的方法是基于某個(gè)定價(jià)公式，如Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式，將被定價(jià)的價(jià)格用其市場價(jià)格代替，反解出σs，這樣得到的σs稱為隱含的波動(dòng)率。兩種方法哪種更好視具體情況而定。

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O175

A

1672－6871（2014）05－0082－05

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11001274，11101126，11261010）；中國博士后基金項(xiàng)目（20110491249）；河南省教育廳科技重點(diǎn)研究項(xiàng)目（12B110006）；河南科技大學(xué)青年基金項(xiàng)目（2012QN010）；河南科技大學(xué)自然科學(xué)領(lǐng)域創(chuàng)新能力培育基金項(xiàng)目（2013ZCX020）

李培巒（1979－），男，河南鶴壁人，副教授，博士后，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的研究.

2013－10－14