胡廣存，魏鐵建，鄧四二，賈永川，張 雪

（1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2.許昌職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程汽車系，河南 許昌 461000；3.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037）

雙列圓錐滾子軸承動(dòng)力學(xué)分析

胡廣存1，魏鐵建2，鄧四二1，賈永川1，張 雪3

（1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2.許昌職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程汽車系，河南 許昌 461000；3.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037）

基于滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)理論，建立了雙列圓錐滾子軸承動(dòng)力學(xué)分析模型。采用精細(xì)積分法和預(yù)估 －校正Adams-Bashforth-Moulton多步法相結(jié)合的方法，對軸承非線性動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行求解。研究了雙列圓錐滾子軸承的最大接觸壓力、滾子打滑率、滾子歪斜角以及軸承疲勞壽命等動(dòng)態(tài)性能。分析結(jié)果表明：軸承的最大接觸壓力隨軸向預(yù)緊量的增加呈先減小后增大的趨勢，最佳預(yù)緊量隨外載荷的增加而變大；滾子歪斜角隨徑向載荷的增加而變大，“壓緊”側(cè)的滾子歪斜角略微大于“放松”側(cè)；軸承疲勞壽命隨軸向預(yù)緊量的增加而增大直至最大值，隨后迅速下降。

軸承動(dòng)力學(xué)；雙列圓錐滾子軸承；軸向預(yù)緊量；疲勞壽命

0 引言

雙列圓錐滾子軸承具有承載能力大，可同時(shí)承受徑向和軸向聯(lián)合載荷以及壽命長等性能，被廣泛應(yīng)用于汽車、機(jī)床、機(jī)車、軋機(jī)等重型機(jī)械行業(yè)。作為重要的動(dòng)力傳動(dòng)部件，雙列圓錐滾子軸承的動(dòng)態(tài)性能直接影響到整機(jī)的正常運(yùn)行。

文獻(xiàn)［1］首先提出了動(dòng)力學(xué)分析模型，研究了4個(gè)自由度滾動(dòng)體和6個(gè)自由度保持架的位移、速度以及軸承內(nèi)部的打滑等，但是沒有考慮軸承受力不平衡時(shí)所產(chǎn)生的慣性力和慣性力矩的影響。隨后，文獻(xiàn)［2］根據(jù)動(dòng)力學(xué)微分方程建立了滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)分析模型，對包括圓錐滾子軸承在內(nèi)的各類軸承進(jìn)行了全面的動(dòng)態(tài)分析，但該分析模型十分復(fù)雜，未能在實(shí)際中得到應(yīng)用。文獻(xiàn)［3］利用數(shù)值計(jì)算方法對雙列圓錐滾子軸承動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行求解，提出了雙列圓錐滾子軸承的綜合模型，研究了軸承在非New ton流變模型下的拖動(dòng)等性能，但忽略了保持架的平移運(yùn)動(dòng)。國內(nèi)學(xué)者也對軸承力學(xué)性能進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［4］對彈性接觸問題的基本方程進(jìn)行了研究，給出了圓錐滾子軸承接觸應(yīng)力的簡化算法和步驟。文獻(xiàn)［5］研究了圓錐滾子軸承負(fù)荷分布并給出了相應(yīng)的計(jì)算方法，建立了軸承系統(tǒng)承載運(yùn)行時(shí)的平衡方程。

目前，國內(nèi)外對圓錐滾子軸承的研究大多以單列為主，對雙列圓錐滾子軸承的動(dòng)力學(xué)分析較少。鑒于此，針對某一型號(hào)雙列圓錐滾子軸承，利用滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)理論［6］，結(jié)合圓柱滾子軸承仿真分析［7］，建立雙列圓錐滾子軸承動(dòng)力學(xué)分析模型，采用精細(xì)積分法和預(yù)估－校正Adams-Bashforth-Moulton多步相結(jié)合的方法，對軸承非線性動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行求解，并開發(fā)了雙列圓錐滾子軸承動(dòng)力學(xué)分析軟件DTRB／HKD。在此基礎(chǔ)上，研究了雙列圓錐滾子軸承滾子與滾道、大擋邊間的最大接觸壓力，滾子打滑率、滾子歪斜角以及軸承疲勞壽命等動(dòng)態(tài)性能，為今后軸承的優(yōu)化分析提供了理論性指導(dǎo)。

1 軸承動(dòng)力學(xué)模型

圖1為雙列圓錐滾子軸承幾何模型示意圖。雙列圓錐滾子軸承的兩個(gè)內(nèi)圈通過鎖扣連結(jié)在一起，并進(jìn)行固定，外圈以角速度ωe帶動(dòng)保持架與滾動(dòng)體一起旋轉(zhuǎn)。為了便于分析，引入以下主要坐標(biāo)系：原點(diǎn)在軸承中間橫截面上的空間慣性坐標(biāo)系（X，Y，Z），外圈坐標(biāo)系（Xe，Ye，Ze）以及滾子坐標(biāo)系（Xrm，Yrm，Zrm）。下標(biāo)m表示軸承列數(shù)，m＝1，2（表示軸承列1和列2，下同）。

1.1 滾動(dòng)體與滾道間的接觸載荷

雙列圓錐滾子軸承會(huì)受到軸向載荷、徑向載荷以及傾覆力矩的綜合作用，滾動(dòng)體發(fā)生傾斜、歪斜，使軸承內(nèi)部相互作用變得更為復(fù)雜。針對上述問題，本文采用“切片法”［8］計(jì)算滾子與滾道間的接觸載荷，如圖2所示。根據(jù)經(jīng)典Hertz彈性線接觸理論，每一切片上滾動(dòng)體與滾道間的接觸壓力為：

式中，qi（e）jk是第j個(gè)滾子第k個(gè)切片與內(nèi)外滾道的法向接觸壓力；Ki（e）是滾子與內(nèi)外滾道接觸處的負(fù)荷－變形常數(shù)；δi（e）jk是第j個(gè)滾子第k個(gè)切片與滾道間的彈性變形量；i、e分別表示內(nèi)、外滾道（下同）。

滾子與滾道間的總接觸載荷，可由滾動(dòng)體有效接觸長度Ls上每一片與滾道的接觸壓力沿滾動(dòng)體軸線方向進(jìn)行積分求和得到：

圖2 滾子與滾道間作用力

1.2 滾動(dòng)體與滾道間的拖動(dòng)力

滾動(dòng)體與滾道間的潤滑劑在擠壓過程中會(huì)在接觸表面形成潤滑油膜。滾動(dòng)體與內(nèi)外滾道接觸處由于相對滑動(dòng)引起的摩擦力可根據(jù)潤滑劑的拖動(dòng)力來計(jì)算。圖2為滾子與滾道間作用力，沿著滾動(dòng)體軸線方向?qū)L動(dòng)體進(jìn)行切片，則滾子與滾道間的拖動(dòng)力為每一片上拖動(dòng)力的總和：

每一切片上的拖動(dòng)力可表示為：

式中，qi（e）jk是第j個(gè)滾子第k個(gè)切片與內(nèi)外滾道的法向接觸壓力；μi（e）jk是第j個(gè)滾子第k個(gè)切片的潤滑油膜拖動(dòng)系數(shù)，見參考文獻(xiàn)［9］。

1.3 滾動(dòng)體與內(nèi)圈大擋邊間的接觸載荷

軸承在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，滾動(dòng)體通常與內(nèi)圈大擋邊接觸。此處假設(shè)圓錐滾子大端面為球形基面，內(nèi)圈大擋邊為錐形面。滾子與大擋邊間接觸處表面上會(huì)產(chǎn)生一接觸橢圓區(qū)，如圖3所示。在接觸橢圓區(qū)域上，假設(shè)滾動(dòng)體與大擋邊間的作用力作用在最大彈性變形點(diǎn)處，則根據(jù)文獻(xiàn)［10］的研究成果可得到滾子端部與大擋邊間接觸力為：

圖3 滾動(dòng)體與大擋邊間作用力

式中，k0＝1．033 9（Rη／Rξ）0．636；Rη、Rξ為兩物體接觸點(diǎn)處的等效曲率半徑；E′為滾動(dòng)體與軸承內(nèi)圈大擋邊的當(dāng)量彈性模量

滾子大端端面與大擋邊間的摩擦力為：

滾子大端端面與大擋邊間的摩擦力矩為：

式中，μfj為滾子大端球基面與擋邊間接觸點(diǎn)的摩擦因數(shù)［11］；h為滾子大端球基面與擋邊接觸點(diǎn)的高度；L1為滾子偏斜中心距滾子大端的距離；αzj、αyj分別為滾子的傾斜角及歪斜角。

1.4 滾動(dòng)體與保持架間的接觸載荷

滾動(dòng)體在滾道上滾動(dòng)，同時(shí)又在保持架兜孔內(nèi)繞自身軸線進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)滾子公轉(zhuǎn)速度大于保持架公轉(zhuǎn)速度時(shí)，滾子推動(dòng)保持架向前運(yùn)動(dòng)；滾子公轉(zhuǎn)速度小于保持架公轉(zhuǎn)速度時(shí)，滾子阻礙保持架向前運(yùn)動(dòng)。滾動(dòng)體與保持架兜孔之間既存在法向接觸載荷，也存在著切向摩擦力，如圖4所示。滾動(dòng)體與保持架兜孔間的法向接觸載荷計(jì)算，可采用滾動(dòng)體與滾道間接觸載荷的“切片法”，滾子與保持架兜孔間的接觸載荷計(jì)算如下：

圖4 滾動(dòng)體與保持架兜孔間作用力

式中，Qcj1（2）為滾子與保持架兜孔間的法向接觸載荷；A為彈性變形量與外部載荷之間的系數(shù)，A＝1.36η0．9，η為兩接觸物體的綜合彈性常數(shù)；Ls為滾子有效接觸長度。

滾子與保持架兜孔間的摩擦力和力矩分別為：

式中，μcj為滾子與保持架兜孔間的摩擦因數(shù)［10］為潤滑劑動(dòng)力黏度，nrol為滾子自轉(zhuǎn)角速度；Qcj1（2）為滾子與保持架兜孔間的法向接觸載荷。

1.5 軸承動(dòng)力學(xué)微分方程

根據(jù)軸承內(nèi)部間的相互作用，得出軸承各個(gè)部件在平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)方向上的動(dòng)力學(xué)微分方程，本文以軸承動(dòng)圈（外圈）為例，列出雙列圓錐滾子軸承的外圈動(dòng)力學(xué)微分方程：

軸承外圈質(zhì)心在平動(dòng)方向上的動(dòng)力學(xué)微分方程，

軸承外圈圍繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)微分方程，

式中，列1取上面的符號(hào)，列2取下面的符號(hào)；Ge為外圈質(zhì)量為外圈質(zhì)心沿著慣性坐標(biāo)系（X，Y， Z）的位移加速度分別為外圈繞慣性坐標(biāo)系（X，Y，Z）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；φj為雙列圓錐滾子軸承第j個(gè)滾動(dòng)體在慣性坐標(biāo)系下的方位角；αi、αe為內(nèi)外滾道接觸角，γ為平均接觸角，γ＝（αe＋αi）／2。

2 軸承動(dòng)態(tài)性能分析

本文以某型號(hào)雙列圓錐滾子軸承為例，軸承主參數(shù)見表1。結(jié)合雙列圓錐滾子軸承動(dòng)力學(xué)模型，采用精細(xì)積分法和預(yù)估－校正Adams-Bashforth-Mouhon多步法相結(jié)合的算法，對雙列圓錐滾子軸承動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行積分求解，在此基礎(chǔ)上，開發(fā)了雙列圓錐滾子軸承動(dòng)力學(xué)分析軟件DTRB／HKD。

分析軟件DTRB／HKD是以多體動(dòng)力學(xué)軟件ADAMS為平臺(tái)，利用其自身宏命令對軸承建模進(jìn)行的二次開發(fā)，并采用計(jì)算機(jī)編程語言編寫軸承內(nèi)部元件間的相互作用力子程序，實(shí)現(xiàn)程序與軸承實(shí)體模型的動(dòng)態(tài)鏈接，進(jìn)而對軸承進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。圖5是DTRB／HKD分析軟件的軸承實(shí)體建模的部分界面。

假設(shè)軸承運(yùn)行溫度為 80℃，處于完全彈流油潤滑狀態(tài)。本文采用所開發(fā)的動(dòng)力學(xué)分析軟件DTRB／HKD，在轉(zhuǎn)速為1 000 r／min，不同軸向預(yù)緊量△0，不同徑向載荷Fr下，對雙列圓錐滾子軸承進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，可得到軸承內(nèi)滾動(dòng)體與內(nèi)外滾道及大擋邊間的最大接觸壓力、滾子打滑率、滾子歪斜角和軸承疲勞壽命等力學(xué)性能。

表1 軸承主參數(shù)

圖5 軟件DTRB／HKD的軸承實(shí)體建模界面

2.1 最大接觸壓力

圖6和圖7為滾子與滾道間的最大接觸壓力。從圖6和圖7中可以看出：隨著軸向預(yù)緊量的增加，滾子與滾道間的最大接觸壓力呈先減小后增大的趨勢；隨著徑向載荷的增加，最大接觸壓力隨之增加，但是小軸向預(yù)緊量時(shí)，最大接觸壓力增大的幅度較大，大軸向預(yù)緊量時(shí)，最大接觸壓力增大幅度較??；最大接觸壓力取得最小值時(shí)，軸向預(yù)緊量隨著徑向載荷的增加而增大。這是由于隨著軸向預(yù)緊量的增加，軸承受載區(qū)的滾子數(shù)不斷增加，最大接觸壓力減小，軸承承載能力增大；當(dāng)軸向預(yù)緊量增加到一定程度時(shí)，軸承的所有滾子受載，此時(shí)最大接觸壓力隨軸向預(yù)緊量的增加就會(huì)不斷增加。當(dāng)軸向預(yù)緊量較小時(shí)，徑向載荷的增加對軸承載荷分布影響較大，最大接觸壓力的增大幅度較大，而在大軸向預(yù)緊量時(shí)，結(jié)果反之。

圖7 滾子與內(nèi)滾道間的最大接觸壓力

圖6 滾子與外滾道間的最大接觸壓力

圖8為滾子與大擋邊間的最大接觸壓力。從圖8中可以得到：隨著軸向預(yù)緊量的增加，滾子與大擋邊間的最大接觸壓力先減小后增大；在小軸向預(yù)緊量時(shí)，隨徑向載荷的增加最大接觸壓力不斷增加，且增加幅度較大；大軸向預(yù)緊量時(shí)，隨徑向載荷的增加，最大接觸壓力增加不明顯。這是由于軸向預(yù)緊量的增加，使?jié)L子與大擋邊接觸的受載區(qū)增加，承載的滾子個(gè)數(shù)增加，滾子與大擋邊間的最大接觸壓力減??；當(dāng)軸向預(yù)緊量增加到一定程度，所有滾子與大擋邊接觸，最大接觸壓力隨軸向預(yù)緊量的增加而增加。

2.2 滾子打滑率

圖9為滾子打滑率隨軸向預(yù)緊量及徑向載荷的變化曲線。從圖9中可以看出：雙列圓錐滾子軸承滾子打滑率很小，基本在0.05%左右。在小軸向預(yù)緊量時(shí)，隨著徑向載荷的增加，滾子打滑率降低。這是由于滾子在滾道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滾子的線速度與滾道的線速度基本一致，使?jié)L子在滾道上進(jìn)行純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)。這也符合圓錐滾子軸承設(shè)計(jì)時(shí)，內(nèi)外滾道延長線與滾子軸線相交于軸承軸線上點(diǎn)A（如圖1所示），以實(shí)現(xiàn)純滾動(dòng)的目的。徑向載荷的增加使?jié)L子與滾道間的接觸壓力增加，滾子與滾道的摩擦增大，滾子打滑率降低。

圖8 滾子與大擋邊間的最大接觸壓力

圖9 滾子打滑率

2.3 滾子歪斜角

圖10為軸承滾子歪斜角隨徑向載荷的變化規(guī)律。軸承運(yùn)行過程中，會(huì)受到聯(lián)合載荷的作用以及應(yīng)用過程中內(nèi)外圈軸線發(fā)生傾斜，這些都會(huì)導(dǎo)致摩擦力沿滾子長度分布不均勻，從而產(chǎn)生一個(gè)力矩使?jié)L子發(fā)生歪斜，而滾子的歪斜角可以從所開發(fā)的仿真軟件中測量得到。

從圖10中可以看出：滾子歪斜角隨著徑向載荷的增加而增加，列1滾子的歪斜角略微大于列2滾子的歪斜角。這是由于徑向載荷的增加，加劇了滾子所受的歪斜力矩，使?jié)L子歪斜角增加。此分析中，軸承外圈承受一軸向載荷Fa＝1 kN，沿X軸負(fù)方向，使列1滾子處于“壓緊”狀態(tài)，列2滾子相比列1滾子處于“放松”狀態(tài)，所以列1滾子上所受的歪斜力矩大于列2滾子，致使列1滾子歪斜角大于列2滾子歪斜角。

2.4 軸承疲勞壽命

圖11為雙列圓錐滾子軸承疲勞壽命曲線。軸承的疲勞壽命是軸承重要的性能，軸承的設(shè)計(jì)與應(yīng)用都需要分析計(jì)算軸承的疲勞壽命。根據(jù)Lundberg和Plamgren的壽命計(jì)算方法得到雙列圓錐滾子軸承的疲勞壽命計(jì)算公式：

式中，L10為軸承使用概率為90%時(shí)的疲勞壽命；a1為可靠性系數(shù)；a23為壽命修正系數(shù)；Qc為套圈額定滾動(dòng)體負(fù)荷；Qe為套圈當(dāng)量滾動(dòng)體負(fù)荷。各參數(shù)的具體計(jì)算過程見文獻(xiàn)［6］。

圖10 滾子歪斜角

從圖11可以看出：軸承疲勞壽命隨著軸向預(yù)緊量的增加而增加直至達(dá)到最大值，隨后迅速下降。軸承疲勞壽命取得最大值時(shí)最大接觸壓力取得最小值；軸向預(yù)緊量的最佳值隨著徑向載荷的增加而變大。當(dāng)軸向預(yù)緊量取得過大（如0.04 mm）時(shí)，不僅不能增加軸承的承載能力，反而嚴(yán)重降低了軸承疲勞壽命。這可以為雙列圓錐滾子軸承在實(shí)際使用過程中提供理論性指導(dǎo)，不同工況下雙列圓錐滾子軸承的初始軸向預(yù)緊量都有一個(gè)最佳預(yù)緊量。

3 結(jié)論

圖11 軸承疲勞壽命

本文在滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)上，建立了雙列圓錐滾子軸承動(dòng)力學(xué)分析模型，采用精細(xì)積分法和預(yù)估－校正Adams-Bashforth-Mouhon多步法相結(jié)合的算法，求解軸承非線性動(dòng)力學(xué)微分方程，針對雙列圓錐滾子軸承的最大接觸壓力、滾子打滑率、滾子歪斜角以及軸承疲勞壽命等動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了研究，得出以下結(jié)論：

（1）軸承所受的最大接觸壓力隨初始軸向預(yù)緊量的增加呈先減小后增大的趨勢，最佳預(yù)緊量隨外載荷的增加而變大。

（2）雙列圓錐滾子軸承滾子打滑率較小，滾子運(yùn)動(dòng)基本處于純滾動(dòng)狀態(tài)，這也符合圓錐滾子軸承設(shè)計(jì)的目的。

（3）滾子歪斜角隨著徑向載荷的增加而變大，并且“壓緊”側(cè)的滾子歪斜角略微大于“放松”側(cè)。

（4）軸承疲勞壽命隨軸向預(yù)緊量的增加先增大后減小。軸承疲勞壽命取得最大值時(shí)對應(yīng)初始軸向預(yù)緊量有一最佳值，此結(jié)果與軸承最大接觸壓力特性相符合。

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TH133.33

A

1672－6871（2014）06－0014－06

國家“十二五”科技攻關(guān)基金項(xiàng)目（JPPT-ZCGX1-1）；河南省科技創(chuàng)新杰出人才計(jì)劃基金項(xiàng)目

胡廣存（1989－），男，河南舞鋼人，碩士生；鄧四二（1963－），男，江蘇丹陽人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)闈L動(dòng)軸承設(shè)計(jì)及理論.

2014－01－23