劉波

摘 要： 本文歸納和總結(jié)了概率論課程中隨機事件和隨機變量的獨立性的概念和性質(zhì).

關(guān)鍵詞： 概率論 隨機變量 獨立性

在概率論課程中，獨立性是一個非常重要的概念，在教學(xué)過程中它既是重點又是難點.現(xiàn)對概率論中出現(xiàn)的獨立性問題做總結(jié)和歸納.

1.事件的獨立性

設(shè)A，B是兩個事件，一般而言P（A）≠P（A|B），這表示事件的發(fā)生對事件的發(fā)生的概率有影響，只有當(dāng)P（A）=P（A|B）時，才可以認為B的發(fā)生與否對A的發(fā)生毫無影響，這時就稱A，B兩個事件是獨立的.

定義1[1]：如果P（AB）=P（A）P（B）成立，則稱事件A與B相互獨立，簡稱A與B獨立.

在實際問題中，我們一般不用定義判斷兩個事件A，B是否相互獨立，而是相反，從試驗的具體條件及試驗的具體本質(zhì)分析判斷它們有無關(guān)聯(lián)，是否獨立.如果獨立，就可以用定義中的公式來計算積事件的概率.

定義2[1]：設(shè)有n個事件A，A，…，A，如果對任意k（1

P（AA…A）=P（A）P（A）…P（A） （1）

則稱此n個事件A，A，…，A相互獨立.

三個事件相互獨立不僅是兩兩獨立的，而且滿足三三獨立.

注：（1）A與B互不相容和相互獨立的關(guān)系.

若AB=？準，則稱A與B互不相容，互不相容是說明兩個事件沒有相同的樣本點.而獨立是說明兩個事件的發(fā)生互不影響.所以它們是兩個不同的概念，但它們之間也有一定的聯(lián)系，如例1.

例1：若P（A）>0，P（B）>0，則有：（1）當(dāng)A與B相互獨立時，則有A與B相容，即AB≠？準.（2）當(dāng)A與B互不相容時，有A與B不相互獨立.

解：（1）由A與B相互獨立和P（A）>0，P（B）>0，有P（AB）=P（A）P（B）>0，故AB≠？準，即A與B相容.

（2）由A與B互不相容和P（A）>0，P（B）>0，有P（AB）=0≠P（A）P（B），故P（AB）≠P（A）P（B），即A與B不獨立.

由上例得到，若P（A）>0，P（B）>0，則A與B相互獨立與A，B互不相容不能同時成立.但是若去掉P（A）>0，P（B）>0這個條件，則存在這樣的事件，它們互不相容而且相互獨立，如不可能事件與任何事件互不相容，而且與任何事件相互獨立.

（2）由定義可知必然事件和不可能事件與任何事件都是相互獨立的.

（3）判斷兩事件A，B 的獨立性通常是根據(jù)它們的實際意義看彼此是否有影響進行判斷的.但不能用經(jīng)驗判斷時，就必須用獨立的定義判斷.

（4）對于三個事件A，B，C兩兩獨立，但不一定三個事件相互獨立.

例2：隨機投擲編號為 1 與 2 的兩個骰子設(shè)A表示1號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)；A表示2號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)；A表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)，則有P（A）=P（A）=P（A）=1/2；對任意的1≤i

（5） 若四對事件 中有一對是相互獨立的，則另外三對也是相互獨立的.對于這條性質(zhì)的直觀理解也是容易的：如果A與B相互獨立，則A的發(fā)生不影響B(tài)的發(fā)生，那么A的發(fā)生也不會影響B(tài)的不發(fā)生，A的不發(fā)生也不會影響B(tài)的發(fā)生，A的不發(fā)生也不會影響B(tài)的不發(fā)生.

2.隨機變量的獨立性

在多維隨機變量中，各分量的取值有時會相互影響，但有時會毫無影響.譬如一個的身高X和體重Y就會相互影響，但與收入Z一般無影響.當(dāng)兩個隨機變量的取值互不影響時，就稱它們是相互獨立的.

定義3[1]：設(shè)n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為FF的邊際分布函數(shù)，如果對于任意n個實數(shù)x，有

則稱X相互獨立.

類似隨機事件的獨立性，隨機變量相互獨立說明，各個隨機變量的取值不會相互影響，或者說隨機變量之間沒有任何關(guān)系.

注：（1）不相關(guān)與相互獨立的關(guān)系.二維隨機變量（X，Y），當(dāng)Cov（X，Y）=0時，稱X與Y不相關(guān).這時可能由兩類情況導(dǎo)致：一類是X與Y的取值毫無關(guān)聯(lián)；一類是X與Y間存在某種非線性關(guān)系，譬如平方關(guān)系、對數(shù)關(guān)系等.而相互獨立說明兩個隨機變量沒有任何關(guān)系.因此若X與Y獨立，則X與Y不相關(guān)；若X與Y不相關(guān)，則不能得到X與Y相互獨立.這個性質(zhì)表明：“不相關(guān)”是比“獨立”更弱的一個概念.

例3：設(shè)隨機變量X服從區(qū)間（0.5，0.5）上的均勻分布，Y=cosX，試證X與Y不相關(guān).

證：由于隨機變量X，Y有函數(shù)關(guān)系Y=cosX，則顯然X與Y不獨立.因為E（X）=0，所以Cov（X，Y）=E（XY）=0，即X與Y不相關(guān)，而且X與Y不獨立.

這個例子表明，“獨立”必導(dǎo)致“不相關(guān)”，而“不相關(guān)”不一定導(dǎo)致“獨立”.獨立要求嚴，不相關(guān)要求寬.因為獨立性是用分布定義的，二不相關(guān)只是用矩定義的.另外可以看出，關(guān)于數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)中：若X與Y相互獨立，則有E（XY）=E（X）E（Y），可以將條件“相互獨立”降弱為“不相關(guān)”.

（2）對于二維正態(tài)分布N，不相關(guān)與相互獨立是等價.即對于二維正態(tài)分布（X，Y），若ρ=0，則隨機變量X，Y不相關(guān)，而且相互獨立；若ρ≠0，則隨機變量X，Y相關(guān)，不相互獨立.

（3）設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為p（x，y），X與Y相互獨立的充分必要條件是p（x，y）可分離變量，即p（x，y）=h（x）g（y），而且h（x）與邊際密度函數(shù)p（x）相差一個常數(shù)因子k，g（y）與邊際密度函數(shù)p（y）相差一個常數(shù)因子k，并且.應(yīng)用這條性質(zhì)可以更方便地判斷兩個隨機變量獨立性.

（4）利用獨立隨機變量的可加性，可以方便地計算隨機變量和的分布.如：二項分布，泊松分布，正態(tài)分布，伽馬分布，卡方分布.這些分布都具有可加性.

（5）注意利用獨立同分布隨機變量和的性質(zhì)，如獨立同分布的兩點分布的和為二項分布，n個相互獨立同分布的標(biāo)準正態(tài)變量的平方和是服從自由度為n的卡方分布，利用這樣的性質(zhì)可以更簡便地推導(dǎo)二項分布和卡方分布的一些性質(zhì)，如數(shù)學(xué)期望和方差等.

（6）獨立隨機變量和的特征函數(shù)為每個隨機變量的特征函數(shù)的乘積.特征函數(shù)是計算隨機變量函數(shù)的分布的有利工具，如果隨機變量還滿足相互獨立的條件，則更簡化了計算隨機變量函數(shù)分布的計算.

參考文獻：

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