徐君群，張建雄，龐明寶

(1. 天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072；2. 河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，天津 300401)

2個(gè)時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的廣義同步

徐君群1,2，張建雄1，龐明寶2

(1. 天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072；2. 河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，天津 300401)

針對(duì)2個(gè)不同節(jié)點(diǎn)和不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，研究2個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間的廣義同步問(wèn)題.基于驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步策略，對(duì)其中的一個(gè)網(wǎng)絡(luò)施加控制，運(yùn)用連續(xù)系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析方法，得到相應(yīng)的廣義同步判據(jù).以某產(chǎn)品的生產(chǎn)者和該產(chǎn)品的消費(fèi)者作為2個(gè)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)，驗(yàn)證方法有效性.結(jié)果表明，通過(guò)設(shè)計(jì)滿(mǎn)足廣義同步判據(jù)的控制器，可以實(shí)現(xiàn)2個(gè)不同網(wǎng)絡(luò)之間的廣義同步.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；時(shí)滯；廣義同步；驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步

現(xiàn)實(shí)世界中的許多系統(tǒng)可用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來(lái)描述，典型的例子如因特網(wǎng)、交通網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)以及細(xì)胞和新陳代謝網(wǎng)絡(luò)等．由此，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究逐漸吸引眾多學(xué)者的關(guān)注[1-3]．復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)理論，可以有助于解釋網(wǎng)絡(luò)行為之間的邏輯因果關(guān)系．而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步現(xiàn)象的相關(guān)研究，作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的關(guān)注熱點(diǎn)和前沿分支，可為解釋網(wǎng)絡(luò)中的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為奠定理論基礎(chǔ)．已有的關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的研究主要探討單個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題，即網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)行為趨于一致，其目的是研究單個(gè)網(wǎng)絡(luò)的整體行為表現(xiàn)[4-8]．然而，在現(xiàn)實(shí)生活中存在各種各樣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，它們彼此相互影響、相互制約．因此，研究不同網(wǎng)絡(luò)之間的動(dòng)力學(xué)行為特性(如同步現(xiàn)象)有重要的現(xiàn)實(shí)意義．例如，在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中，生產(chǎn)商、批發(fā)商和零售商之間相互影響，平衡生產(chǎn)商、批發(fā)商和零售商之間的利益關(guān)系對(duì)于維持整個(gè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的正常運(yùn)作十分重要．針對(duì)不同網(wǎng)絡(luò)之間的同步問(wèn)題的研究，以往的研究主要集中在探討其完全同步問(wèn)題．例如，Li等[9]對(duì)于2個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)，提出2個(gè)單向耦合的網(wǎng)絡(luò)同步判據(jù)；Tang等[10]利用自適應(yīng)控制方法，分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的完全同步問(wèn)題．事實(shí)上，盡管不同網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)通常有不同的動(dòng)力學(xué)行為(如參數(shù)不匹配或結(jié)構(gòu)性差異)，但是這2個(gè)網(wǎng)絡(luò)依然有可能表現(xiàn)出某種同步行為．這類(lèi)同步稱(chēng)為廣義同步[11]，它衡量了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)行為的一致性程度．以生態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的捕食者網(wǎng)絡(luò)和獵物網(wǎng)絡(luò)為例，即便捕食者和獵物擁有不同的行為特性(甚至在同一網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)個(gè)體行為都有很大差異)，兩者最終會(huì)達(dá)到某種相似的狀態(tài)．筆者針對(duì)2個(gè)不同耦合的時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，對(duì)不同網(wǎng)絡(luò)之間廣義同步問(wèn)題進(jìn)行論證．

1 模型描述

考慮一個(gè)由N個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的連續(xù)時(shí)間耗散耦合的時(shí)滯動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，它的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)方程為

式中：xi(t )為狀態(tài)向量，xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…, xin(t))T∈Rn；fi:Rn→Rn是一個(gè)光滑的向量值函數(shù)；Γ1為內(nèi)部耦合矩陣，Γ1∈Rn×n；τj為耦合時(shí)滯，表示從節(jié)點(diǎn)j將信息傳輸給其他節(jié)點(diǎn)的時(shí)間延遲；cij為耦合結(jié)構(gòu)矩陣C的元素，C=(cij)N×N∈RN×N，cij定義為若從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j( j≠i)有連接，則cij＞0，否則

考慮另一個(gè)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，其第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)方程為

式中：yi(t)為狀態(tài)向量，yi(t)=(yi1(t),yi2(t),…,是一個(gè)光滑的向量值函數(shù)；Γ為內(nèi)部耦合矩陣，Γ∈Rm×m；h(j=1,2,…,N)22j為耦合時(shí)滯；dij為耦合結(jié)構(gòu)矩陣D的元素，D= (dij)N×N∈RN×N，它和矩陣C有相同的定義．眾所周知，許多系統(tǒng)如Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、R?ssler系統(tǒng)、Chua電路、超混沌R?ssler系統(tǒng)、超混沌Chen和Lü系統(tǒng)等等，均可以表示成

式中：A為系統(tǒng)在原點(diǎn)處的雅可比矩陣，A∈Rm×m；g( y)為非線性部分．

通常而言，函數(shù)gi(·)是全局Lipschitz連續(xù)的，即對(duì)于函數(shù)gi(·)，存在常數(shù)li，使得對(duì)任意的

因此，不失一般性，可以將施加控制后的響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)式(2)表示為

式中ui(t)為控制輸入．

2 廣義同步

文中采用驅(qū)動(dòng)——響應(yīng)同步控制策略研究2個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間的廣義同步問(wèn)題．為此，分別將網(wǎng)絡(luò)式(1)和式(2)設(shè)定為驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，關(guān)于2個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間的廣義同步有如下定義．

定義1 設(shè)φi:Rn→Rm, i=1,2,…,N ，是連續(xù)可微的映射．若，則稱(chēng)網(wǎng)絡(luò)式(1)和式(2)實(shí)現(xiàn)了廣義同步．

定理1 設(shè)計(jì)如下的控制律，可以實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)式(1)和式(2)的廣義同步．

式中：Dφi(xi)為映射φi(xi)的雅可比矩陣；ei=yi-φi(xi)表示網(wǎng)絡(luò)式(1)和式(2)第i個(gè)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的廣義同步誤差；k為反饋增益．

證明 在控制器式(4)的作用下，網(wǎng)絡(luò)式(1)和式(2)之間的誤差系統(tǒng)可以描述為

2矩陣的Kronecker積．

將V( t)沿誤差方程(5)的狀態(tài)軌跡對(duì)t求全導(dǎo)數(shù)，可得

從而e(t)在[0,+∞]上平方可積．因此，根據(jù)Barbalat引理[12]可知，，即網(wǎng)絡(luò)式(1)和式(2)實(shí)現(xiàn)了廣義同步．

以上說(shuō)明在定理1中，并沒(méi)有假設(shè)耦合結(jié)構(gòu)矩陣C和D為對(duì)稱(chēng)的或不可約的．也就是說(shuō)，網(wǎng)絡(luò)式(1)和式(2)可以是有向網(wǎng)絡(luò)，也可以是無(wú)向網(wǎng)絡(luò)，甚至可以是包含孤立節(jié)點(diǎn)或聚類(lèi)的網(wǎng)絡(luò)．另外，對(duì)內(nèi)部耦合矩陣Γ1和Γ2也沒(méi)有強(qiáng)加任何約束．此外，每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以有不同的動(dòng)力學(xué)特性，上述模型代表了一類(lèi)廣泛的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)．

推論1如果網(wǎng)絡(luò)式(1)和式(2)具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及內(nèi)部耦合矩陣，那么設(shè)計(jì)如下的控制器，網(wǎng)絡(luò)式(1)和式(2)可以實(shí)現(xiàn)完全同步．

推論2如果網(wǎng)絡(luò)式(1)和式(2)的對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)有相同的動(dòng)力學(xué)特性，即fi=Gi, i=1,2,…,N ，那么設(shè)計(jì)如下的控制器，這2個(gè)網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)完全同步．

文獻(xiàn)[10]運(yùn)用了自適應(yīng)控制方法，在對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)有相同的動(dòng)力學(xué)特性的情況下，研究了2個(gè)時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的完全外同步．對(duì)于尺寸為M的2個(gè)網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)文獻(xiàn)[10]的方法，需要用M2+M個(gè)自適應(yīng)控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)同步，這極大地增加了控制成本．而根據(jù)推論2，只需要M個(gè)線性控制器就能實(shí)現(xiàn)同步，這在實(shí)際應(yīng)用中更容易實(shí)現(xiàn)．

特別地，如果網(wǎng)絡(luò)式(1)和式(2)有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和內(nèi)部耦合矩陣，則控制器(8)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為ui=-kei, i=1,2,…,N ，就能實(shí)現(xiàn)2個(gè)網(wǎng)絡(luò)的完全同步.針對(duì)同樣的問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]在fi=Gi=f, i =1, 2,…,N的假設(shè)條件下，僅得到了局部同步判據(jù)，這也說(shuō)明本文的方法有較小的保守性．

3 數(shù)值算例

由于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象，如庫(kù)存管理網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)或交通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象，已被許多模型證實(shí)，混沌系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，較好反映網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性．以供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)為例，為保證其穩(wěn)定發(fā)展，生產(chǎn)者和消費(fèi)者之間需要保持某種平衡．

假設(shè)生產(chǎn)商生產(chǎn)該產(chǎn)品的狀態(tài)方程為超混沌Lü系統(tǒng)[13]，其動(dòng)力學(xué)方程為

式中：x1表示該產(chǎn)品的產(chǎn)量；x2表示該產(chǎn)品的質(zhì)量；x3表示該產(chǎn)品的價(jià)格；x4表示該產(chǎn)品提供的服務(wù)．

消費(fèi)者關(guān)于該產(chǎn)品的狀態(tài)方程為統(tǒng)一混沌系統(tǒng)[14]，其動(dòng)力學(xué)方程為

式中：y1表示顧客對(duì)該產(chǎn)品的期望值；y2表示顧客對(duì)該產(chǎn)品的滿(mǎn)意度；y3表示顧客對(duì)該產(chǎn)品的需求量；θ∈[0,1]．

式(9)中給定a=36，b=3，c=20，當(dāng)-1.03≤d≤-0.46時(shí)，系統(tǒng)(10)存在一個(gè)周期軌道；當(dāng)-0.46＜d≤-0.35時(shí)，系統(tǒng)(10)存在一個(gè)混沌吸引子；當(dāng)-0.35＜d≤1.30時(shí)，系統(tǒng)(10)存在一個(gè)超混沌吸引子．

分別選取系統(tǒng)(9)和系統(tǒng)(10)作為驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，論證本文提及的廣義同步判據(jù)方法的有效性．此時(shí)，定理1的控制器就相當(dāng)于企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查的結(jié)果反饋制定生產(chǎn)決策，即通過(guò)調(diào)查得到的xi(i=1,2,3,4)來(lái)調(diào)整其狀態(tài)yj(j=1,2,3)．

假設(shè)消費(fèi)者對(duì)該產(chǎn)品的期望值、滿(mǎn)意度以及需求量和產(chǎn)品本身的產(chǎn)量、質(zhì)量、價(jià)格以及服務(wù)滿(mǎn)足關(guān)系(即廣義同步映射)

則

2個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有不同耦合結(jié)構(gòu)：驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)無(wú)向星形網(wǎng)絡(luò)，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)有向環(huán)形網(wǎng)絡(luò)，如圖1所示．

圖1 2個(gè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Topological structures of two networks

設(shè)定網(wǎng)絡(luò)的尺寸為M=50，Γ1和Γ2均取為具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣．設(shè)置驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的參數(shù)為θ=|sini2|，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的參數(shù)為．于是d的值從-1.0變化到1.3，即這些節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)分別從周期軌道變化到超混沌吸引子．

圖2 誤差e(t)的時(shí)間響應(yīng)Fig.2 Time response of the error e(t)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)不同動(dòng)力學(xué)節(jié)點(diǎn)和不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的情況，研究2個(gè)時(shí)滯動(dòng)態(tài)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣義同步問(wèn)題．基于驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步策略，對(duì)其中一個(gè)網(wǎng)絡(luò)施加控制，運(yùn)用連續(xù)系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性的分析方法，得到相應(yīng)的廣義同步判據(jù)．在此基礎(chǔ)上，以某產(chǎn)品的生產(chǎn)商和該產(chǎn)品的消費(fèi)者作為2個(gè)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)，驗(yàn)證了所提方法的有效性．結(jié)果顯示，通過(guò)設(shè)計(jì)有效控制器，可實(shí)現(xiàn)不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之間廣義同步．所得結(jié)果可用于指導(dǎo)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的平衡發(fā)展，如供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)、能源供求網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)等．對(duì)于多個(gè)網(wǎng)絡(luò)的廣義同步問(wèn)題以及應(yīng)用有待后續(xù)研究．

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(責(zé)任編輯：孫立華)

Generalized Synchronization Between Two Different Complex Delayed Networks

Xu Junqun1,2，Zhang Jianxiong1，Pang Mingbao2
(1. College of Management and Economics，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Civil Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China)

The problem of generalized synchronization between two different networks was investigated，and these two networks consist of different nodes and different topological structures. Based on the drive-response strategy，the corresponding synchronization criterion was given via the Lyapunov stability scheme. A numerical example was cited to show the effectiveness of the proposed method. In the numerical example，the producer and the consumer were adopted in the driven network and the response network，respectively. It is shown that these two networks can achieve the generalized synchronization when the designed controller satisf i es the proposed criterion.

complex network；time-delay；generalized synchronization；drive-response synchronization

N941.3

A

0493-2137(2014)01-0081-05

10.11784/tdxbz201207015

2012-07-04；

2012-09-12.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61004015)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(E2011202073).

徐君群（1983— ），男，博士研究生.

徐君群，xujunqun@tju.edu.cn.