肖理慶，王化祥

(1. 天津大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，天津 300072；2. 徐州工程學(xué)院信電工程學(xué)院，徐州 221111)

電阻層析成像有限元模型優(yōu)化

肖理慶1,2，王化祥1

(1. 天津大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，天津 300072；2. 徐州工程學(xué)院信電工程學(xué)院，徐州 221111)

為了提高電阻層析成像正問題計(jì)算精度，以有限元模型次最外層半徑為變量，以敏感場均勻分布時(shí)模型均方根值的倒數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)，利用求解低維多峰值函數(shù)優(yōu)化問題的改進(jìn)遺傳算法，優(yōu)化模擬敏感場內(nèi)電流線分布密度與分布形式的新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有限元模型，最后以各峰值點(diǎn)對應(yīng)的中心流模型均方根值為誤差函數(shù)，選擇新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有限元模型次最外層半徑的最優(yōu)值．仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相同實(shí)驗(yàn)條件下，相比優(yōu)化前新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有限元模型、傳統(tǒng)按等間隔原理剖分的有限元模型及其改進(jìn)模型，優(yōu)化后有限元模型在敏感場均勻分布時(shí)模型均方根值分別降低了32.002 5%、83.395 8%和44.760 5%，有效提高了電阻層析成像正問題計(jì)算精度與圖像重建質(zhì)量．

電阻層析成像；正問題；有限元模型；遺傳算法；圖像重建

電學(xué)層析成像技術(shù)是過程層析成像技術(shù)的重要分支，包括電容層析成像(electrical capacitance tomography，ECT)[1-4]、電阻層析成像(electrical resistance tomography，ERT)[5-10]、電阻抗層析成像(electrical impedance tomography，EIT)[11-12]以及電磁層析成像(electromagnetic tomography，EMT)[13-16].由于具有響應(yīng)速度快、非侵入、價(jià)格低廉等優(yōu)點(diǎn)，電學(xué)層析成像技術(shù)在醫(yī)學(xué)及工業(yè)測量等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景．

在電學(xué)層析成像技術(shù)中，有限元模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對正問題計(jì)算精度與圖像重建質(zhì)量具有重要影響．文獻(xiàn)[5]以模型每一層半徑為變量(最外層除外)，同時(shí)將中心區(qū)域第1層至第3層半徑變量所在區(qū)間剖分成多個(gè)子區(qū)間，分別以有限元平均質(zhì)量、敏感場均勻分布時(shí)模型均方根值的倒數(shù)以及兩者的乘積為適應(yīng)度函數(shù)，并引入三角形有限元最長邊與最短邊的比值作為懲罰函數(shù)，利用基于區(qū)間算法與粒子群算法的改進(jìn)遺傳算法，優(yōu)化有限元模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，提高了正問題計(jì)算精度．但當(dāng)有限元模型層數(shù)較多時(shí)，算法存在早熟收斂問題，且模型沒有考慮到敏感場內(nèi)電流線的分布形式；文獻(xiàn)[6]模擬敏感場均勻分布時(shí)電流線的分布密度與分布形式，設(shè)計(jì)了一種新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有限元模型，相比傳統(tǒng)按等間隔原理剖分的有限元模型及其改進(jìn)模型，有效提高了電阻層析成像正問題計(jì)算精度與圖像重建質(zhì)量，但次最外層半徑需人為設(shè)置，缺乏理論依據(jù)．筆者利用求解低維多峰值函數(shù)優(yōu)化問題的改進(jìn)遺傳算法，對新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行優(yōu)化，克服了次最外層半徑人為設(shè)置的主觀性與隨機(jī)性，提高了電阻層析成像正問題計(jì)算精度以及對不同流型的反演效果．

1 ERT數(shù)學(xué)描述

所謂ERT數(shù)學(xué)模型，即在電流激勵(lì)條件下，建立敏感場內(nèi)部區(qū)域電導(dǎo)率分布與邊界測量電壓之間的對應(yīng)關(guān)系．根據(jù)恒定電場理論的麥克斯韋方程，ERT傳感器敏感場數(shù)學(xué)模型[5-6]可以描述為

式中：·?與?分別為散度及梯度算子；σ為電導(dǎo)率分布；Φ為電勢分布函數(shù)．

ERT滿足第2類邊界條件，即

已知被測物場電導(dǎo)率分布σ以及敏感場的邊界條件，求取場域內(nèi)電勢分布函數(shù)Φ，進(jìn)而求得邊界上各測量電極的電壓值即ERT正問題；ERT逆問題是指根據(jù)電勢分布函數(shù)Φ與邊界電壓測量值，利用圖像重建算法求取場域電導(dǎo)率分布σ并以圖像的形式表示[6]．

2 基于改進(jìn)遺傳算法的ERT有限元模型優(yōu)化

以有限元模型次最外層半徑為變量，利用求解低維多峰值函數(shù)優(yōu)化問題的改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)ERT有限元模型的具體流程如下.

步驟1 設(shè)置改進(jìn)遺傳算法種群數(shù)目、最大迭代次數(shù)、交叉概率、變異概率、學(xué)習(xí)因子、最大慣性權(quán)重、最小慣性權(quán)重、萊布尼茨常數(shù)等參數(shù)．

步驟2 將搜索區(qū)間正交分解，利用區(qū)間算法將區(qū)間分成兩類，其中被區(qū)間算法排除的區(qū)域個(gè)體分布密度小，保留下來的區(qū)域個(gè)體分布密度大，其適應(yīng)度函數(shù)為

式中：x為有限元模型次最外層半徑；N為有效邊界電壓數(shù)目；ΦFEM為有限元仿真結(jié)果；ΦTheory1為敏感場均勻分布時(shí)邊界電壓理論值，其計(jì)算式為

式中：I為激勵(lì)電流強(qiáng)度；R為場域半徑；σ為均勻分布介質(zhì)的電導(dǎo)率；θ為極角；ρ為極徑；Δ為電極所對圓心角；2θ和1θ分別為注入與引出電流電極與坐標(biāo)軸正實(shí)軸所成夾角．

步驟3 按照區(qū)域分布密度生成初始種群，并為每個(gè)個(gè)體賦予表示其所在區(qū)域的屬性，該屬性在算法操作過程中不會發(fā)生改變，同時(shí)隨機(jī)產(chǎn)生粒子速度矢量．

步驟4 將種群中每個(gè)個(gè)體代入式(4)，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)值并作為評價(jià)每個(gè)個(gè)體優(yōu)劣程度標(biāo)準(zhǔn).

步驟5 以每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)值作為標(biāo)準(zhǔn)，對種群中的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行選擇．本文采取精英策略，即將適應(yīng)值最小的個(gè)體以適應(yīng)值最大的個(gè)體替代，但如果種群中不存在其他與適應(yīng)值最小的個(gè)體屬性所表示區(qū)域相同的個(gè)體，則該適應(yīng)值最小的個(gè)體不被替代，直接進(jìn)入步驟6．

步驟6 從種群中隨機(jī)取出個(gè)體，根據(jù)交叉概率實(shí)施交叉操作，形成新的個(gè)體．

步驟7 根據(jù)變異概率進(jìn)行變異操作，其計(jì)算式為

式中：ω稱為慣性權(quán)重；c1與c2為學(xué)習(xí)因子，一般取c1=c2=2；rand1與rand2為(0,1)范圍里均勻分布的隨機(jī)數(shù)；pbesti與gbesti分別為個(gè)體最優(yōu)值及全局最優(yōu)值；xi與vi分別為第i個(gè)個(gè)體的位置與速度矢量．

步驟8 判斷運(yùn)算后種群個(gè)體是否在各自屬性所表示的區(qū)域，若超出區(qū)域，則恢復(fù)為運(yùn)算前個(gè)體．

步驟9 判斷是否滿足算法收斂條件．若滿足，則將所有峰值點(diǎn)保存并進(jìn)入步驟10，否則跳轉(zhuǎn)至步驟4，對種群的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行重新評價(jià)并循環(huán)計(jì)算．

步驟10 以各峰值點(diǎn)對應(yīng)的中心流模型均方根值為誤差函數(shù)，選擇新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有限元模型次最外層半徑的最優(yōu)值．其函數(shù)形式為

式中ΦTheory2為各峰值點(diǎn)對應(yīng)的中心流邊界電壓理論值，其計(jì)算式為

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)條件與算法參數(shù)設(shè)置

本文仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Pentium M 1.60,GHz CPU、760,M RAM、MATLAB 7.0．改進(jìn)遺傳算法中種群數(shù)目為200，最大迭代次數(shù)為200，交叉概率為0.80，變異概率為0.01，最大慣性權(quán)重為0.9，最小慣性權(quán)重為0.01，萊布尼茨常數(shù)取1．

3.2 改進(jìn)遺傳算法測試結(jié)果

為了測試求解低維多峰值函數(shù)優(yōu)化問題的改進(jìn)遺傳算法性能，現(xiàn)將算法應(yīng)用于Branin RCOS函數(shù)優(yōu)化，其形式為

同時(shí)，為了獲取統(tǒng)計(jì)意義的結(jié)果，各種不同算法各運(yùn)行100次，算法測試結(jié)果如圖1和表1所示[17]．

其中y為算法輸出結(jié)果的平均值，算法1為本文采用的求解低維多峰值函數(shù)優(yōu)化問題的改進(jìn)遺傳算法，算法2～算法5分別為其他改進(jìn)遺傳算法和粒子群算法，算法6和算法7分別為基本遺傳算法與基本粒子群算法，p為概率，情況1與情況2分別表示算法至少收斂到一個(gè)最小值點(diǎn)以及收斂到全部最小值點(diǎn)的情況．

圖1 不同算法收斂曲線Fig.1 Convergence curves of different algorithms

表1 不同算法參數(shù)比較Tab.1 Parameter comparison of different algorithms

由圖1和表1可知，相同實(shí)驗(yàn)條件下，與其他6種算法相比，本文采用的求解低維多峰值函數(shù)優(yōu)化問題的改進(jìn)遺傳算法在不影響算法收斂精度的前提下，可有效提高算法搜索到全部最小值點(diǎn)的概率，具有更強(qiáng)的優(yōu)化能力．

3.3 ERT有限元模型優(yōu)化結(jié)果

利用求解低維多峰值函數(shù)優(yōu)化問題的改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化后有限元模型如圖2模型4所示．

圖2 各種有限元模型示意Fig.2 Model sketches of different finite element models

圖2中模型1為傳統(tǒng)按等間隔原理剖分的有限元模型，模型2為文獻(xiàn)[5]提出的改進(jìn)模型，模型3為文獻(xiàn)[6]提出的新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有限元模型．模型1～模型4均包含1,744個(gè)有限元、1,017個(gè)節(jié)點(diǎn)．4種模型在敏感場均勻分布時(shí)模型均方根值RMS(即式(4)中F( x)的倒數(shù))分別為6.667%、2.004%、1.628%、1.107%，優(yōu)化后有限元模型相比其他3種模型，RMS分別降低了83.395,8%、44.760,5%、32.002,5%，有效地提高了電阻層析成像正問題計(jì)算精度．

3.4 不同模型圖像重建結(jié)果

為了驗(yàn)證優(yōu)化后有限元模型對電阻層析成像重建圖像的影響，設(shè)置如圖3所示8種兩相流流型并利用細(xì)化后有限元模型(包含7,920個(gè)有限元、4,201個(gè)節(jié)點(diǎn))獲取對應(yīng)的邊界電壓，兩相流電阻率的比值設(shè)置為1∶100，圖像重建算法選用修正牛頓-拉夫遜算法，迭代次數(shù)設(shè)置為400，各種模型重建結(jié)果如圖4～圖7和表2所示．

圖3 兩相流流型Fig.3 Flow regimes of two-phase flow

其中圖像相對誤差e的表達(dá)式[18]為

式中：g為設(shè)置的流型分布；?g為重建結(jié)果．

圖4 模型1重建結(jié)果Fig.4 Image reconstruction results of model 1

圖5 模型2重建結(jié)果Fig.5 Image reconstruction results of model 2

圖6 模型3重建結(jié)果Fig.6 Image reconstruction results of model 3

圖7 模型4重建結(jié)果Fig.7 Image reconstruction results of model 4

由圖4～圖7和表2可知，相同實(shí)驗(yàn)條件下，優(yōu)化后有限元模型有效提高了圖像重建質(zhì)量．4種模型圖像相對誤差的平均值分別為44.354,0%、23.668,5%、23.237,7%、17.625,1%，優(yōu)化后有限元模型相比模型1、模型2和模型3分別降低了60.262,7%、25.533,5%、24.153,0%．

考慮到實(shí)際中存在不可避免的測量誤差，因此，將仿真實(shí)驗(yàn)中測量所得的邊界電壓值加入1.0%幅度噪聲，即

表2 不同模型圖像相對誤差e比較Tab.2 Comparison of image relative errors ebetweendifferent models %

式中：u為邊界電壓測量值；f為(1,1)-范圍內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)．

對應(yīng)的信噪比計(jì)算式[6]為

式中σ(l)與σ分別為測量電導(dǎo)率及電導(dǎo)率的平均值.各種模型重建結(jié)果如圖8～圖11和表3所示．

圖8 噪聲干擾下模型1重建結(jié)果Fig.8 Image reconstruction results of model 1 in thepresence of noise

圖9 噪聲干擾下模型2重建結(jié)果Fig.9 Image reconstruction results of model 2 in the presence of noise

圖10 噪聲干擾下模型3重建結(jié)果Fig.10 Image reconstruction results of model 3 in the presence of noise

圖11 噪聲干擾下模型4重建結(jié)果Fig.11 Image reconstruction results of model 4 in the presence of noise

表3 噪聲干擾下不同模型圖像相對誤差e比較Tab.3 Comparison of image relative errors ebetween different models in the presence of noise %

由表3可知，在1.0%幅度噪聲干擾下，4種模型圖像相對誤差的平均值分別為44.508,2%、24.443,2%、23.582,7%和18.688,9%，優(yōu)化后有限元模型相比模型1、模型2和模型3分別降低了58.010,2%、23.541,5%、20.751,6%．結(jié)合圖8～圖11可知，在1.0%幅度噪聲干擾下，優(yōu)化后有限元模型有效提高了圖像重建質(zhì)量.

4 結(jié) 論

為了提高電阻層析成像正問題計(jì)算精度與圖像重建質(zhì)量，本文利用求解低維多峰值函數(shù)優(yōu)化問題的改進(jìn)遺傳算法，優(yōu)化模擬敏感場內(nèi)電流線分布密度與分布形式的新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)ERT有限元模型，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下．

(1) 優(yōu)化后有限元模型有效提高了正問題計(jì)算精度．相比其他3種有限元模型，優(yōu)化后有限元模型在敏感場均勻分布時(shí)模型均方根值RMS分別降低了83.395,8%、44.760,5%、32.002,5%．

(2) 優(yōu)化后有限元模型有效提高了圖像重建質(zhì)量．相比其他3種有限元模型，理想情況下，圖像相對誤差的平均值分別降低了60.262,7%、25.533,5%和24.153,0%；在1.0%幅度噪聲干擾下，圖像相對誤差的平均值分別降低了58.010,2%、23.541,5%和20.751,6%．

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(責(zé)任編輯：孫立華)

Optimization of Finite Element Model for Electrical Resistance Tomography

Xiao Liqing1,2，Wang Huaxiang1
(1. School of Electrical Engineering and Automation，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Department of Information and Electrical Engineering，Xuzhou Institute of Technology，Xuzhou 221111，China)

Aiming to improve the accuracy of solving the forward problem in electrical resistance tomography (ERT)，the new topological finite element model was optimized in this paper. Using the radius of the second outermost layer of the model as a variable，and the reciprocal of the root mean square value of a homogeneous sensitive field distribution as a fitness function，the improved genetic algorithm for solving low-dimension multi-peak function optimization problem was adopted to optimize the new topological finite element model which simulated the current line density and distribution of the sensitive field. Finally，the root mean square value of the core flow model corresponding to each peak point was used as an error function to determine the optimal value of the radius of the second outermost layer of the model. Simulation results demonstrate that，compared to the unoptimized topological finite element model，the conventional finite element model based on uniformly-spaced dissection and its modified version，the optimized model reduce the root mean square value of a homogeneous sensitive field distribution by 32.002 5%，83.395 8% and 44.760 5%，effectively improves both the accuracy of solving the forward problem and the quality of image reconstruction under the same experimental conditions.

electrical resistance tomography；forward problem；finite element model；genetic algorithm；image reconstruction

TK39

A

0493-2137(2014)01-0054-07

10.11784/tdxbz201210020

2012-10-12；

2013-01-08.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50937005)；徐州市科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(XM12B078)；國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61201350，61302122)；江蘇省“青藍(lán)工程”資助項(xiàng)目；江蘇省高校自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目(12KJD120002，12KJD510013，13KJD510007).

肖理慶（1981— ），男，博士研究生，講師，lqx1981@tju.edu.cn.

王化祥，hxwang@tju.edu.cn.