王茂林，孫天仕，高爽

哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001

如今，跳躍機(jī)器人因優(yōu)秀的避障能力和非結(jié)構(gòu)性復(fù)雜環(huán)境的適應(yīng)能力，越來(lái)越吸引研究者的目光和研究興趣［1］。其中帶腳掌腿型跳躍機(jī)器人更是因既可動(dòng)態(tài)連續(xù)跳躍又可單次跳躍或間隔跳躍的特點(diǎn)，以及較高的仿人度發(fā)展尤其迅速。東京工業(yè)大學(xué)的Masaki Yamakita等研究了仿貓型的腿型機(jī)器人，能夠通過(guò)蹬墻壁實(shí)現(xiàn)較高的跳躍［2］。日本慶應(yīng)義塾大學(xué)的Eijiro Ohashi使用腿型跳躍機(jī)器人實(shí)現(xiàn)了跳躍高度的控制［3］。但是很多研究中都未考慮腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)跳躍的影響。例如楊煜普教授等研究的翻轉(zhuǎn)跳躍運(yùn)動(dòng)機(jī)器人，就是典型的帶腳掌的腿型跳躍機(jī)器人，但是該研究中沒(méi)有考慮腳掌圍繞腳尖的轉(zhuǎn)動(dòng)［4］。一些研究也考慮了腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，如日本東北大學(xué)的Sang?Ho Hyon等研制的四連桿平面體操機(jī)器人在動(dòng)力學(xué)建模時(shí)就考慮了腳掌的轉(zhuǎn)動(dòng)，但對(duì)腳掌的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)機(jī)器人的影響沒(méi)有闡述［5］。文中就帶腳掌腿型機(jī)器人在腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)與腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)兩種情況進(jìn)行對(duì)比研究，闡明腳掌欠驅(qū)動(dòng)即腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)起跳離地前這段跳躍過(guò)程的影響。

1 帶腳掌腿型機(jī)器人結(jié)構(gòu)

圖1中展示了帶腳掌腿型跳躍機(jī)器人的實(shí)物模型及其簡(jiǎn)化模型。機(jī)器人由腳掌、小腿和大腿組成。踝關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)分別由直流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)。連桿的質(zhì)量為mi（i＝0，1，2），圍繞質(zhì)心的慣量為Ii。 2 個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)分別對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo)θ2、θ1。起跳離地前，腳掌在兩電機(jī)動(dòng)作下若產(chǎn)生圍繞腳尖的欠驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)，則此轉(zhuǎn)動(dòng)的角度定義為θ0。所以定義機(jī)器人系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為θ2、θ1、θ0。 模型總質(zhì)心為（xc，yc）。

圖1 腿型機(jī)器人模型圖片和其簡(jiǎn)化模型

2 腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)起跳與腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)起跳

在腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)情況下，機(jī)器人從初始時(shí)刻t1開(kāi)始到t2時(shí)刻機(jī)器人關(guān)節(jié)彎曲實(shí)現(xiàn)下蹲，這一過(guò)程中腳掌與地面始終接觸且不滑動(dòng)，稱(chēng)為站立相。然后關(guān)節(jié)伸展達(dá)到t3時(shí)刻的起跳離地姿態(tài)。這一過(guò)程腳掌圍繞腳尖轉(zhuǎn)動(dòng)且腳尖不滑動(dòng)，稱(chēng)為欠驅(qū)動(dòng)相［6］，如圖2所示。

圖2 腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的起跳序列

圖3展示了在腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)情況下，機(jī)器人從靜止到起跳離地前的起跳序列。因?yàn)槲闹醒芯磕_掌轉(zhuǎn)動(dòng)與否對(duì)起跳離地前這段跳躍的影響，所以規(guī)定其從開(kāi)始到起跳離地與腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)耗時(shí)相同，均為t1到t3。此過(guò)程從初始時(shí)刻t1開(kāi)始，機(jī)器人關(guān)節(jié)彎曲實(shí)現(xiàn)下蹲動(dòng)作，然后關(guān)節(jié)伸展達(dá)到t3時(shí)刻的起跳離地姿態(tài)。起跳時(shí)腳掌水平地抬離地面，這一過(guò)程中腳掌始終與地面接觸，腳掌沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象。

圖3 腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的起跳序列

3 腿型機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析

腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)只有θ2、θ1這2個(gè)廣義坐標(biāo)，腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)有3個(gè)廣義坐標(biāo)θ0、θ1、θ2。 雖然兩種情況下廣義坐標(biāo)數(shù)目不同，但是腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)情況下令θ0＝0即可適用于腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)情況，因此選用廣義坐標(biāo)為q＝［θ0，θ1，θ2］T。 運(yùn)動(dòng)拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程得到機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程描述：

上述方程中τ＝［0，τ1，τ2］T。 踝關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)力矩分別為τ1和τ2。F＝［Fx，F(xiàn)y］T是表示機(jī)器人受到地面的水平摩擦力和垂直反力。方程中慣性矩陣D3×3與科氏矩陣C3×3均為對(duì)稱(chēng)矩陣。

4 起跳過(guò)程中的約束

4.1 腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)情況的起跳約束

（2）起跳時(shí)腳掌與地面之間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，所以有：

其中μs是靜摩擦力系數(shù)。

由ZMP穩(wěn)定性理論知機(jī)器人與地面的力必須作用于腳掌的支撐區(qū)域中。因而有約束：

水平方向ZMP的坐標(biāo)求解公式為

其中M為總質(zhì)量，xc為總質(zhì)心的x方向坐標(biāo)，ay為總質(zhì)心在鉛垂向的加速度，為圍繞腳掌處的角動(dòng)量的微分［7］。

（3）要求質(zhì)心CoM的起跳方向，即：

（4）受到電機(jī)機(jī)械特性約束為

其中ki是電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)，ke是速度常數(shù)，n為減速器減速比，R是電機(jī)線圈電阻，U是輸入的電壓。

4.2 腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)情況的起跳約束

前面講述了腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)起跳的約束條件。這里對(duì)腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)起跳與腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)起跳的異同做出說(shuō)明。

相同點(diǎn)：初始姿態(tài)的約束（1）、地面作用力約束（2）、起跳方向約束（3）以及電機(jī)機(jī)械特性的約束（4）對(duì)腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)方式起跳都適用。

不同點(diǎn)：因腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)，所以約束（2）、（3）和（4）計(jì)算時(shí)需要計(jì)入θ0（t）的影響。

用算符Γ代表θ0和θ1、θ2的函數(shù)關(guān)系，表示為

方程（8）可以由動(dòng)力學(xué)方程解耦獲得［8］。

5 關(guān)節(jié)的軌跡規(guī)劃

兩種起跳方式的軌跡規(guī)劃方式是相同的，均以電機(jī)能耗最小為優(yōu)化目標(biāo)，所以對(duì)腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)與不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)起跳的軌跡解算做統(tǒng)一闡述。因?yàn)殡姍C(jī)的能耗與電流平方成一定比例關(guān)系，而電流與電機(jī)力矩又成一定線性關(guān)系，所以能耗定義為：

關(guān)節(jié)軌跡θ1（t）、θ2（t） 用五階多項(xiàng)式來(lái)描述為：

其中（i，j）＝ （1，2），（2，3），h（t）＝ ［1t t2…t5］T。 由動(dòng)力學(xué)方程（1）可以解算

將式（11）帶入式（9）中即可得到優(yōu)化目標(biāo)［9］。

6 仿真和實(shí)驗(yàn)

機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖和部分參數(shù)如圖4和表1所示。

圖4 機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖

表1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)

6.1 腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

機(jī)器人在腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)情況下起跳的仿真時(shí)序圖如圖5（a）所示，質(zhì)心的時(shí)序圖如圖5（b）所示。根據(jù)圖5（a）得知，機(jī)器人先下蹲，然后快速站起，達(dá)到起跳效果。由圖5（b）得知確實(shí)沒(méi)有滿足起跳角45°的約束，優(yōu)化的最小起跳角度為56°左右。

圖5 腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)起跳仿真

將以上仿真結(jié)果應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)，腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)起跳時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果展示如圖6所示。

圖6 腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)起跳實(shí)驗(yàn)圖片

腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)情況下起跳的踝關(guān)節(jié)電機(jī)和膝關(guān)節(jié)電機(jī)的力矩曲線如圖7所示，從中可以看到電機(jī)不僅在質(zhì)心由低抬高時(shí)力矩較大，而且在機(jī)器人下蹲，質(zhì)心下降時(shí)也需要較大的力矩。根據(jù)式（9）可知，在整個(gè)起跳過(guò)程中對(duì)圖7中兩個(gè)關(guān)節(jié)的力矩進(jìn)行平方再積分，可以得到的能耗為W＝3.31（N2·m2·t）。

圖7 腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)起跳關(guān)節(jié)力矩曲線

6.2 腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

機(jī)器人在腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)情況下起跳的仿真時(shí)序圖如圖8（a）所示，質(zhì)心的時(shí)序圖如圖8（b）所示。根據(jù)圖8（a）得知機(jī)器人先下蹲，此時(shí)機(jī)器人開(kāi)始圍繞腳尖轉(zhuǎn)動(dòng)，然后快速站起，達(dá)到起跳效果。由圖8（b）知機(jī)器人起跳角度為45°。

圖8 腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)起跳仿真

將以上仿真結(jié)果應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)，腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)起跳時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9所示。

圖9 腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)起跳實(shí)驗(yàn)圖片

腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)情況下起跳的踝關(guān)節(jié)電機(jī)和膝關(guān)節(jié)電機(jī)的力矩曲線如圖10所示，從中可知在機(jī)器人下蹲時(shí)力矩曲線相對(duì)平緩，能耗較少。在質(zhì)心抬升，機(jī)器人向上起跳時(shí)，膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)電機(jī)快速動(dòng)作，此時(shí)消耗了機(jī)器人腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)起跳時(shí)的大部分能量。根據(jù)式（9）可知，在整個(gè)起跳過(guò)程中對(duì)圖10中兩個(gè)關(guān)節(jié)力矩進(jìn)行平方再積分，仿真得到整個(gè)起跳過(guò)程的能耗為W＝1.25（N2·m2·t）。

圖10 腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)起跳關(guān)節(jié)力矩曲線

腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)情況下起跳的踝關(guān)節(jié)電機(jī)和膝關(guān)節(jié)電機(jī)的力矩曲線如圖10所示，從中可知在機(jī)器人下蹲時(shí)力矩曲線相對(duì)平緩，能耗較少。在質(zhì)心抬升，機(jī)器人向上起跳時(shí)，膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)電機(jī)快速動(dòng)作，此時(shí)消耗了機(jī)器人腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)起跳時(shí)的大部分能量。根據(jù)式（9）可知，在整個(gè)起跳過(guò)程中對(duì)圖10中兩個(gè)關(guān)節(jié)力矩進(jìn)行平方再積分，仿真得到整個(gè)起跳過(guò)程的能耗為W＝1.25（N2·m2·t）。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中制作了一款帶腳掌的腿型機(jī)器人，建立了機(jī)器人在腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)與不轉(zhuǎn)動(dòng)兩種情況下起跳時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程，分析了兩種情況下的起跳約束。以電機(jī)能耗最小為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)兩種情況起跳進(jìn)行軌跡優(yōu)化。使用實(shí)際模型數(shù)據(jù)分析，仿真得到了兩種情況下在起跳時(shí)的時(shí)序圖、總質(zhì)心時(shí)序圖、力矩曲線以及能耗值。仿真結(jié)果表明：帶腳掌的腿型機(jī)器人起跳時(shí)腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)比腳掌不轉(zhuǎn)動(dòng)消耗的能量少，而且起跳角度范圍也更寬。

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