黃本華

[摘要]通過實(shí)際生活中問題解決策略和數(shù)學(xué)解題策略的相互關(guān)系，探討了五種解題策略。即建模策略、特殊化策略、整體策略、中介點(diǎn)策略、分解與重新組合策略。這五種策略相互獨(dú)立又相互聯(lián)系，在解決問題的時候，要靈活地運(yùn)用。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué) 問題解決策略 數(shù)學(xué)解題策略

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是什么？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)究竟有什么作用？當(dāng)學(xué)生在日后走向社會，能真正研究數(shù)學(xué)或成為數(shù)學(xué)家的，那是極少數(shù)。而運(yùn)用學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的，其實(shí)也不多。但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對大多數(shù)學(xué)生就沒有用了嗎？事實(shí)并非如此，一個明顯的事實(shí)就是，學(xué)生期間數(shù)學(xué)成績好的孩子，走向?qū)嶋H生活后，解決實(shí)際生活中的問題更容易。因?yàn)樗麄儠恢挥X地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等這些數(shù)學(xué)解題策略去解決實(shí)際生活中的問題。因此，當(dāng)學(xué)生們走向社會的時候，對絕大多數(shù)學(xué)生來說，數(shù)學(xué)知識也許并不起多大作用，而解決數(shù)學(xué)問題的策略則是很重要的。對絕大多數(shù)學(xué)生來說，這就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最大的作用。

數(shù)學(xué)從實(shí)際來，又作用于實(shí)際。數(shù)學(xué)中的解題策略與實(shí)際生活中的問題解決策略是相輔相成密切相關(guān)的。單純的給學(xué)生講解數(shù)學(xué)解題策略，學(xué)生往往會覺得抽象難懂，而如果我們反過來用實(shí)際生活中的例子，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，學(xué)生就會興趣盎然，在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，就會主動類比，這樣更容易理解和接受。因此，讓學(xué)生切實(shí)掌握數(shù)學(xué)解題策略，不僅對學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)成績有著直接的意義，而且學(xué)生走上社會以后，更能隨心所欲地用數(shù)學(xué)解題策略解決實(shí)際問題。

一、建模策略

在實(shí)際生活中，我們遇到一些問題的時候，總是先制定一些方案，然后遇到同類問題，就直接用這個方案去解決。這個方案就是一個模型。

數(shù)學(xué)中，我們也會建立一些模型。然后按照這個模型去解題。比如，我們會總結(jié)出一元一次方程的解法步驟。然后遇到解一元一次方程，我們就會按照這個解題模型去做。我們常常把應(yīng)用題分類為行程問題，工程問題，數(shù)字問題，利潤問題，等等，而后總結(jié)出這一類問題的解法，以便我們在解題時套用這個方法。我們常常說這個學(xué)生的接受能力強(qiáng)，講過的題目都會，其實(shí)就是這個學(xué)生對常用的數(shù)學(xué)模型掌握得很好。

建模策略，其實(shí)是一種求同思維，是解決問題的一般方法。一般的數(shù)學(xué)問題，絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)題目都是通過這種方法解決的。從廣義的角度說，數(shù)學(xué)模型的建立，其實(shí)是數(shù)學(xué)家們已經(jīng)幫我們建立好了。那些公式，定理，法則就是數(shù)學(xué)們?yōu)槲覀冎贫ê昧四Ｐ?。我們需要的是就是認(rèn)真學(xué)好這些模型，探究并理解這些模型的形成過程，并利用這些模型去解決數(shù)學(xué)題目。要具有識別模型的能力，區(qū)別具體題目與一般方法的異同點(diǎn)，找到解決這個題目的具體方法。同時，我們還要在解決每一道數(shù)學(xué)題目的時候，反思這道題目的個性，找出這道題目與其他題目的不同特點(diǎn)，總結(jié)出解這類題目的模型，從而為以后遇到同類題目提供解決方法，或?yàn)榻鉀Q類似題目提供啟發(fā)。真正起到舉一反三的目的。在強(qiáng)調(diào)求異創(chuàng)新的現(xiàn)在，這種思維，不幸被忽視了。為了一棵棟梁，而忽視一片森林的做法，其實(shí)是不可取的。但這是基礎(chǔ)，其實(shí)只有把各種數(shù)學(xué)模型掌握好了，也才可以去求異，去創(chuàng)新，如果舍本逐末，就得不償失了。

二、中介策略

現(xiàn)實(shí)生活中，買房的往往遇不到賣房的，于是出現(xiàn)了房產(chǎn)中介。我們這里有句俗話，叫著買雞的遇不到賣雞的。為了解決買家與賣家的聯(lián)系，出現(xiàn)了市場、商城、淘寶。這樣即使買家與賣家毫不相識，相隔千山萬水，都能夠聯(lián)系在一起。

有些數(shù)學(xué)題目條件和結(jié)論之間相距很遠(yuǎn)，看不到聯(lián)系。我們就通過條件由因得果，看由這些條件能得到哪些結(jié)論，同時由結(jié)果出發(fā)，執(zhí)果索因，看看還需要什么條件。由因得果，所得結(jié)論和執(zhí)果索因所需要的條件形成一個交集，其公共部分就是我們所需要的中介點(diǎn)，得到這個中介點(diǎn)后問題解決就豁然開朗。中介點(diǎn)就是聯(lián)系條件和結(jié)論的紐帶。有時，一條輔助線就是連接條件結(jié)論的橋梁。中介策略，就是由兩邊向中間緊逼，從而找到聯(lián)系條件和結(jié)論的中介點(diǎn)，這樣就找到了問題的解決方法。中介策略是解決絕大多數(shù)數(shù)學(xué)題目的策略，也是解決實(shí)際生活中大多數(shù)問題的策略。

三、整體策略

家里的電腦一個配件壞了，送到維修部的時候，維修人員并沒有檢測哪里壞了，而是直接把整個配件換了。他解釋說，也許壞的只是一個二極管或三極管，但現(xiàn)在根本就沒有這個小零件換，要修就是換一個整體，這樣非常方便。

在解決數(shù)學(xué)題目的時候，如果觀察到數(shù)學(xué)題目中有相同的部分，就可以把這一部分看著是一個整體，這樣就起到化繁為簡，化難為易的目的。我們也可以把這個整體設(shè)為一個字母代替，這就是換元法。研究一些基本圖形，并得出一些結(jié)論，把這些基本圖形和結(jié)論作為整體，然后在遇到復(fù)雜圖形的時候，抽象出這些基本圖形，直接用基本圖形所得到的結(jié)論，可以更接近要求證的結(jié)論。可以這樣認(rèn)為，代數(shù)公式和幾何定理就是這樣的整體。我們在用公式或者定理時，就是用的整體思想，而不需要一步一步的再把公式推導(dǎo)或證明。因此我們自己在解題之后，總結(jié)出一些解題規(guī)律，理解并掌握這個問題的結(jié)論。到下次遇到類似的題目時，或者包含了這個題目的內(nèi)容時，就把這個題目的結(jié)論作為一個整體，能更接近目標(biāo)，更利于問題的解決。象棋和五子棋的那些定式，其實(shí)就是一個整體。學(xué)好了這些定式，當(dāng)對手按照定式下的時候，我們是不是就很容易擊敗他！

四、特殊化策略

當(dāng)字母代表數(shù)的時候，字母具有一般性，把字母換成數(shù)就具有特殊性。

在實(shí)際生活中，我們遇到問題無法解決的時候，往往想如果是誰，他會怎么做。或者說，如果事情不是這樣子，而是那個樣子，我就知道怎么做了。這種思維方式就是特殊化策略。

特殊值法，應(yīng)該從廣義的角度去理解，用特殊值代替式子中的字母是特殊話策略，用圖形的極端位置或特殊位置如中點(diǎn)、角平分線等去探究一般圖形的結(jié)論，也是特殊化策略。

特殊化策略是非常有效的方法，它甚至可以解決學(xué)生想不出的問題。一次測驗(yàn)時，有這么一道填空題。直角三角形兩銳角的平分線所成的鈍角度數(shù)是多少？結(jié)果只有四分之一的同學(xué)作對。這不奇怪，在僅僅學(xué)了三角形內(nèi)角和定理后，學(xué)生的認(rèn)知就是要求一個角，就要渠道另外兩個角的度數(shù)，而這是不能做到的。這道題確實(shí)很難，如果不具備整體思想解題策略，學(xué)生做不出來也就不奇怪了。在評講試卷的時候，我問學(xué)生如果是等腰直角三角形，你會做嗎？如果已知一個銳角，如一個銳角為30度，你會求嗎？結(jié)果幾乎所有的同學(xué)都做出了正確結(jié)果。我反問學(xué)生：那你問什么不在解題時這樣思考呢？由于問題特殊化了，條件就增強(qiáng)了，因此更容易得出結(jié)論。雖然特殊情形成立的結(jié)論，一般情形未必成立，但是對特殊情形下的研究探索，會為解決一般性問題提供思路，或者為我們解決新問題提供新的方向。

比如，上面這個問題，如果我們把銳角30度，換成設(shè)這個銳角為x度，就由特殊到了一般，這道題目也就迎刃而解。特殊化策略就是在遇到一些問題時，可用特定的具體的問題代替，原來可變的問題，用簡單的原始的特例推斷一般問題的正確性。在解題過程中雖然是將復(fù)雜的問題變得簡單，但是也必須思考從特殊到一般該迎著一個怎樣的方向探索，這樣才能正真將原來問題解決。因此，特殊化策略同樣要求解題者具有創(chuàng)造性。

五、分解與重新組合策略

公安人員在破案的時候，對一個復(fù)雜的案件進(jìn)行剖析，往往會將它分解成幾個小的案件，然后各個擊破，再重新組合，從而將復(fù)雜的案件偵破。

一個數(shù)學(xué)題目就是一個沒有細(xì)節(jié)的整體，要解決它，首先就是要將這個題目進(jìn)行剖析，再重新組合，從而有著相互聯(lián)系的小的問題，在解決這些小的問題后，再重新組合，達(dá)到解決原來問題的目的。這就是分解與重新組合策略。有相當(dāng)一些綜合性的題都是由一些較簡單的但擁有很多知識點(diǎn)的小題目構(gòu)成，但這些小題目卻因?yàn)橹苯右褑栴}形式出現(xiàn)，就給問題的解決帶來了困難。因此，我們應(yīng)該把這樣的題目分解成若干小題目，并提出相應(yīng)的輔助問題，我們把一個問題從周圍的其它問題中隔離出來，認(rèn)真研究它。隔離開來，就會減少其他問題的干擾，更能方便地得到問題的答案。得到答案后，再把目光轉(zhuǎn)向另一個問題，就這樣把所有小的問題都解決后，然后再把這些問題及結(jié)論聯(lián)系成一個整體去看，頭腦中就會形成一個嶄新的面貌，再經(jīng)過重新組合，就可以把題目解決了。因此，分解與重新組合策略，不僅要求會分解出各個小的問題，會提出相應(yīng)的輔助問題也很重要。

需要指出的是，數(shù)學(xué)解題策略并不限于以上幾種，如還有正難則反策略，等等。在解題過程中上述解題策略也并不是相互獨(dú)立毫不相干的。事實(shí)上，一次解題可能是運(yùn)用一個策略，也可以是不知不覺地應(yīng)用到幾個策略?？赡苁菨撘颇倪\(yùn)用，也可以是有意識地靈活運(yùn)用，這都全都依賴于對題目類型的識別，對問題條件和結(jié)論的積極溝通，對解決問題思路的積極探索。這對提高學(xué)生分析問題解決問題的能力有著深遠(yuǎn)的影響。這對以后學(xué)生走向社會，能夠靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)解題策略去解決實(shí)際問題，無疑起著非常重要的作用。