許萬成

所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，當(dāng)問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論思想”.

分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用.因此，有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位.

分類討論思想在哪些題型中能夠得到運用呢？筆者根據(jù)平時的教學(xué)，現(xiàn)將歸納出來的幾種題型利用例題形式展現(xiàn)出來，希望能夠給同學(xué)們提供一些幫助.

題型一、問題中含有變量或者參數(shù)的往往要進行分類討論

數(shù)學(xué)問題中含有變量或者參數(shù)，這些變量或者參數(shù)取不同的值時會導(dǎo)致不同的結(jié)果，因而需要對參數(shù)進行分類討論.

例1若是對任意x∈，不等式|x|≥ax，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：若x>0，則有a≤1，恒成立，

若x=0，則有a∈，

若x<0，則有a≥-1.

綜上所述-1≤a≤1時，不等式|x|≥ax恒成立.

評注：在解含有參數(shù)的一元一次不等式，二次不等式時，要注意弄清引起分類討論的主要原因，分類時要做到不漏、不重.

例2若不等式mx2+mx+2>0，對一切實數(shù)x恒成立，試確定實數(shù)m的取值范圍.

分析：解此題時，需要注意到m=0的情形.

當(dāng)m≠0時，易知f（x）=mx2+mx+2是關(guān)于x的二次函數(shù)，要使其恒大于0，需要使其圖象開口向上，且與x軸沒有交點，即需要m>0且Δ<0.

當(dāng)m=0時，顯然不是二次函數(shù)，需要另行處理.

解：（1）當(dāng)m≠0時，mx2+mx+2>0，對于一切x恒成立時有，

〖JB（{〗m>0Δ=m2-8m<0解得：0

（2）當(dāng)m=0時，原不等式化為2>0，顯然成立.

綜合（1）、（2）可得m∈[0，8）.

評注：關(guān)于x的不等式：ax2+bx+c>0恒成立的充要條件為〖JB（{〗a>0Δ<0或〖JB（{〗a=b=0c>0.

題型二、問題給出的條件具有不同的情形，要分類討論

有些概念、定理、公式及運算法則本身就包含了多種情況，所以碰到這類問題時一般需要進行分類討論.

例3已知函數(shù)f（x）=〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗-x+1，x<0x，x≥0〖HL）〗，求解不等式x+（x+1）f（x+1）≤1.

解析：（1）當(dāng)x+1<0時，f（x+1）=-（x+1）+1=-x，

原不等式可化為x+（x+1）×（-x）≤1，

解得x<-1.

（2）當(dāng)x+1≥0時，f（x+1）=x+1，

原不等式可化為x+（x+1）2≤1，

解得-3≤x≤0.故-1≤x≤0.

綜上所述x∈（-∞，0].

評注：本題考查了不等式的解法以及對分段函數(shù)概念的理解，由于所給不等式中含有f（x+1），因此需要利用分段函數(shù)的定義域?qū)（x+1）化為有x的式子，最后才能解不等式.

題型三、解題過程不能統(tǒng)一表述，必須進行分類討論

例4設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q<1，前n項和為Sn，已知a3=2，S4=5S2，求an的通項公式.

解：由題意可知：a1≠0，Sn=〖SX（〗a1（1-qn）1-q，則

〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗a1q2=2（1）〖SX（〗a1（1-q4）1-q=5×〖SX（〗a1（1-q2）1-q（2）〖HL）〗

由（2）得1-q4=5（1-q2），即（q2-4）（q2-1）=0，

得（q-1）（q+1）（q-2）（q+2）=0，

因為q<1，解得q=-1或q=-2.

當(dāng)q=-1時，代入（1）得a1=2，

即an=2（-1）n-1，

當(dāng)q=-2時，代入（1）得a1=〖SX（〗12，

即an=〖SX（〗12（-2）n-1.

評注：本題中由于公比的取值不同，通項公式也不一樣，需要分類寫出.

題型四、有關(guān)幾何問題中，元素的形狀位置不確定的需要進行分類討論

例5已知雙曲線的中心在坐標原點，一條漸近線方程是x-2y=0，求它的離心率.

分析：雙曲線的漸近線方程已知，因此可設(shè)出共漸近線的雙曲線系方程，由于雙曲線焦點不確定，需要進行分類討論.

解：因為雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0，因此雙曲線方程可設(shè)為x2-4y2=λ（λ≠0）.

所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，當(dāng)問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論思想”.

分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用.因此，有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位.

分類討論思想在哪些題型中能夠得到運用呢？筆者根據(jù)平時的教學(xué)，現(xiàn)將歸納出來的幾種題型利用例題形式展現(xiàn)出來，希望能夠給同學(xué)們提供一些幫助.

題型一、問題中含有變量或者參數(shù)的往往要進行分類討論

數(shù)學(xué)問題中含有變量或者參數(shù)，這些變量或者參數(shù)取不同的值時會導(dǎo)致不同的結(jié)果，因而需要對參數(shù)進行分類討論.

例1若是對任意x∈，不等式|x|≥ax，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：若x>0，則有a≤1，恒成立，

若x=0，則有a∈，

若x<0，則有a≥-1.

綜上所述-1≤a≤1時，不等式|x|≥ax恒成立.

評注：在解含有參數(shù)的一元一次不等式，二次不等式時，要注意弄清引起分類討論的主要原因，分類時要做到不漏、不重.

例2若不等式mx2+mx+2>0，對一切實數(shù)x恒成立，試確定實數(shù)m的取值范圍.

分析：解此題時，需要注意到m=0的情形.

當(dāng)m≠0時，易知f（x）=mx2+mx+2是關(guān)于x的二次函數(shù)，要使其恒大于0，需要使其圖象開口向上，且與x軸沒有交點，即需要m>0且Δ<0.

當(dāng)m=0時，顯然不是二次函數(shù)，需要另行處理.

解：（1）當(dāng)m≠0時，mx2+mx+2>0，對于一切x恒成立時有，

〖JB（{〗m>0Δ=m2-8m<0解得：0

（2）當(dāng)m=0時，原不等式化為2>0，顯然成立.

綜合（1）、（2）可得m∈[0，8）.

評注：關(guān)于x的不等式：ax2+bx+c>0恒成立的充要條件為〖JB（{〗a>0Δ<0或〖JB（{〗a=b=0c>0.

題型二、問題給出的條件具有不同的情形，要分類討論

有些概念、定理、公式及運算法則本身就包含了多種情況，所以碰到這類問題時一般需要進行分類討論.

例3已知函數(shù)f（x）=〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗-x+1，x<0x，x≥0〖HL）〗，求解不等式x+（x+1）f（x+1）≤1.

解析：（1）當(dāng)x+1<0時，f（x+1）=-（x+1）+1=-x，

原不等式可化為x+（x+1）×（-x）≤1，

解得x<-1.

（2）當(dāng)x+1≥0時，f（x+1）=x+1，

原不等式可化為x+（x+1）2≤1，

解得-3≤x≤0.故-1≤x≤0.

綜上所述x∈（-∞，0].

評注：本題考查了不等式的解法以及對分段函數(shù)概念的理解，由于所給不等式中含有f（x+1），因此需要利用分段函數(shù)的定義域?qū)（x+1）化為有x的式子，最后才能解不等式.

題型三、解題過程不能統(tǒng)一表述，必須進行分類討論

例4設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q<1，前n項和為Sn，已知a3=2，S4=5S2，求an的通項公式.

解：由題意可知：a1≠0，Sn=〖SX（〗a1（1-qn）1-q，則

〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗a1q2=2（1）〖SX（〗a1（1-q4）1-q=5×〖SX（〗a1（1-q2）1-q（2）〖HL）〗

由（2）得1-q4=5（1-q2），即（q2-4）（q2-1）=0，

得（q-1）（q+1）（q-2）（q+2）=0，

因為q<1，解得q=-1或q=-2.

當(dāng)q=-1時，代入（1）得a1=2，

即an=2（-1）n-1，

當(dāng)q=-2時，代入（1）得a1=〖SX（〗12，

即an=〖SX（〗12（-2）n-1.

評注：本題中由于公比的取值不同，通項公式也不一樣，需要分類寫出.

題型四、有關(guān)幾何問題中，元素的形狀位置不確定的需要進行分類討論

例5已知雙曲線的中心在坐標原點，一條漸近線方程是x-2y=0，求它的離心率.

分析：雙曲線的漸近線方程已知，因此可設(shè)出共漸近線的雙曲線系方程，由于雙曲線焦點不確定，需要進行分類討論.

解：因為雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0，因此雙曲線方程可設(shè)為x2-4y2=λ（λ≠0）.

所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，當(dāng)問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論思想”.

分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用.因此，有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位.

分類討論思想在哪些題型中能夠得到運用呢？筆者根據(jù)平時的教學(xué)，現(xiàn)將歸納出來的幾種題型利用例題形式展現(xiàn)出來，希望能夠給同學(xué)們提供一些幫助.

題型一、問題中含有變量或者參數(shù)的往往要進行分類討論

數(shù)學(xué)問題中含有變量或者參數(shù)，這些變量或者參數(shù)取不同的值時會導(dǎo)致不同的結(jié)果，因而需要對參數(shù)進行分類討論.

例1若是對任意x∈，不等式|x|≥ax，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：若x>0，則有a≤1，恒成立，

若x=0，則有a∈，

若x<0，則有a≥-1.

綜上所述-1≤a≤1時，不等式|x|≥ax恒成立.

評注：在解含有參數(shù)的一元一次不等式，二次不等式時，要注意弄清引起分類討論的主要原因，分類時要做到不漏、不重.

例2若不等式mx2+mx+2>0，對一切實數(shù)x恒成立，試確定實數(shù)m的取值范圍.

分析：解此題時，需要注意到m=0的情形.

當(dāng)m≠0時，易知f（x）=mx2+mx+2是關(guān)于x的二次函數(shù)，要使其恒大于0，需要使其圖象開口向上，且與x軸沒有交點，即需要m>0且Δ<0.

當(dāng)m=0時，顯然不是二次函數(shù)，需要另行處理.

解：（1）當(dāng)m≠0時，mx2+mx+2>0，對于一切x恒成立時有，

〖JB（{〗m>0Δ=m2-8m<0解得：0

（2）當(dāng)m=0時，原不等式化為2>0，顯然成立.

綜合（1）、（2）可得m∈[0，8）.

評注：關(guān)于x的不等式：ax2+bx+c>0恒成立的充要條件為〖JB（{〗a>0Δ<0或〖JB（{〗a=b=0c>0.

題型二、問題給出的條件具有不同的情形，要分類討論

有些概念、定理、公式及運算法則本身就包含了多種情況，所以碰到這類問題時一般需要進行分類討論.

例3已知函數(shù)f（x）=〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗-x+1，x<0x，x≥0〖HL）〗，求解不等式x+（x+1）f（x+1）≤1.

解析：（1）當(dāng)x+1<0時，f（x+1）=-（x+1）+1=-x，

原不等式可化為x+（x+1）×（-x）≤1，

解得x<-1.

（2）當(dāng)x+1≥0時，f（x+1）=x+1，

原不等式可化為x+（x+1）2≤1，

解得-3≤x≤0.故-1≤x≤0.

綜上所述x∈（-∞，0].

評注：本題考查了不等式的解法以及對分段函數(shù)概念的理解，由于所給不等式中含有f（x+1），因此需要利用分段函數(shù)的定義域?qū)（x+1）化為有x的式子，最后才能解不等式.

題型三、解題過程不能統(tǒng)一表述，必須進行分類討論

例4設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q<1，前n項和為Sn，已知a3=2，S4=5S2，求an的通項公式.

解：由題意可知：a1≠0，Sn=〖SX（〗a1（1-qn）1-q，則

〖JB（{〗〖HL（2：1，Z；2，Z〗a1q2=2（1）〖SX（〗a1（1-q4）1-q=5×〖SX（〗a1（1-q2）1-q（2）〖HL）〗

由（2）得1-q4=5（1-q2），即（q2-4）（q2-1）=0，

得（q-1）（q+1）（q-2）（q+2）=0，

因為q<1，解得q=-1或q=-2.

當(dāng)q=-1時，代入（1）得a1=2，

即an=2（-1）n-1，

當(dāng)q=-2時，代入（1）得a1=〖SX（〗12，

即an=〖SX（〗12（-2）n-1.

評注：本題中由于公比的取值不同，通項公式也不一樣，需要分類寫出.

題型四、有關(guān)幾何問題中，元素的形狀位置不確定的需要進行分類討論

例5已知雙曲線的中心在坐標原點，一條漸近線方程是x-2y=0，求它的離心率.

分析：雙曲線的漸近線方程已知，因此可設(shè)出共漸近線的雙曲線系方程，由于雙曲線焦點不確定，需要進行分類討論.

解：因為雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0，因此雙曲線方程可設(shè)為x2-4y2=λ（λ≠0）.