周 萬，張 瑩

(武漢理工大學(xué) 物流工程學(xué)院，湖北 武漢430063)

在實際生產(chǎn)活動中，最常用的控制圖是產(chǎn)品計量特性服從正態(tài)分布的固定抽樣區(qū)間(fixed sampling intervals，F(xiàn)SI)均值控制圖。可變抽樣區(qū)間(variable sampling intervals，VSI)均值控制圖是對FSI 均值圖的一種改進(jìn)，它試圖采用可變的抽樣區(qū)間來減少控制圖報警所需要的時間，通過理論計算可以證明VSI 均值圖的工作性能優(yōu)于FSI 均值圖［1-2］。

FSI 均值圖將μ -3σ 設(shè)置為控制下限(lower control line，LCL)、μ+3σ 設(shè)置為控制上限(upper control line，UCL)、μ 設(shè)置為中心線(center line，CL)。VSI 均值控制圖除了具有LCL、CL、UCL 3條線之外，還增加了下警戒線(lower warning line，LWL)和上警戒線(upper warning lin，UWL)。LWL=μ0-k'σ0，UWL=μ0+k'σ0，如圖1 所示，d1對應(yīng)的區(qū)域為警戒域，樣本均值落在該區(qū)域時，使用短抽樣區(qū)間d1抽取下一個樣本，d2對應(yīng)的區(qū)域為中心域，樣本均值落在該區(qū)域時，使用長抽樣區(qū)間d2抽取下一個樣本，樣本均值落在最上和最下兩塊區(qū)域時，控制圖報警，停止生產(chǎn)過程。

圖1 VSI 均值控制圖

在VSI 均值圖的研究方面，郭寶才等［3-4］對FSI 及VSI 均值圖的性能進(jìn)行了研究，指出VSI 均值圖比FSI 均值圖具有更好的工作性能;張斌等［5］研究了VSI 均值圖的優(yōu)化設(shè)計問題;ZHANG等［6］研究了參數(shù)未知的正態(tài)分布VSI 均值圖，得到了不同參數(shù)條件下VSI 均值圖的工作性能指標(biāo);MAHADIK［7］研究了具有可變樣本容量、可變抽樣區(qū)間，以及警戒線(variable sample size，sampling interval，and warning limits，VSSIWL)的均值圖，并將其與VSSI(variable sample size，sampling interval)均值圖，以及VSSI(1，3)均值圖的工作性能進(jìn)行比較，計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，合適的參數(shù)選擇對于VSSIWL 均值圖的工作性能非常重要，在多數(shù)情況下，VSSIWL 的工作性能介于VSSI 與VSSI(1，3)之間。上述研究主要通過理論計算對VSI 均值圖進(jìn)行研究，采用理論推導(dǎo)的方式對控制圖工作性能進(jìn)行改進(jìn)。相對于FSI 均值圖，通過上述研究方法得到的VSI 均值圖在工作性能方面的優(yōu)勢不夠明顯，控制圖工作性能的改進(jìn)程度較小。因此，通過采用理論推導(dǎo)與仿真實驗相結(jié)合的方法，對VSI 均值圖的抽樣過程進(jìn)行模擬和改進(jìn)，得到了改進(jìn)的VSI 均值圖，仿真實驗表明，該方法能夠有效改進(jìn)VSI 均值圖的工作性能。

1 FSI 和VSI 均值圖性能指標(biāo)的計算

設(shè)生產(chǎn)過程處于受控狀態(tài)時產(chǎn)品總體的計量特性服從正態(tài)分布N(μ0，σ)，在抽取第一個樣本時生產(chǎn)過程已經(jīng)發(fā)生異常，總體均值μ0發(fā)生了偏移，偏移量為δ = |μ0-μ1|/σ0，δ 在0 ～2 之間取值，以0.1 為步長逐漸增長。當(dāng)生產(chǎn)過程異常時，計量特性服從正態(tài)分布N(μ0+δσ0，σ)。假設(shè)每個樣本的樣本容量為m，則樣本均值服從正態(tài)分布N(μ0+δσ0，σ20/m)。產(chǎn)品總體均值發(fā)生偏移使得被抽取的樣本落在上下控制限之外的概率變大，并且均值偏移量δ 越大，樣本落在控制限之外的概率越大。

在比較各種控制圖的好壞時，平均鏈長(average run length，ARL)和平均報警時間(average time to signal，ATS)是很重要的指標(biāo)，通常的做法是固定二者的可控ARL 或ATS，之后比較失控ARL 或ATS，失控ARL 或ATS 越小的控制圖的檢測能力越好［8］。由于FSI 均值圖的ARL 與ATS相等，VSI 均值圖的ARL 與ATS 不相等，通過控制FSI 與VSI 均值圖在受控狀態(tài)時擁有相同的報警所需平均樣本數(shù)［9］(average number of sample to signal，ANSS)，比較二者失控狀態(tài)下的ARL 或ATS，ARL 或ATS 越小，則控制圖工作性能越好。

設(shè)p為樣本均值落在控制限之外的概率，則：

其中，0 ＜k'＜k。當(dāng)樣本均值落在警戒域時，使用較小的抽樣區(qū)間d1作為抽取下一個樣本的抽樣間隔;當(dāng)樣本均值落在中心域時，使用較大的抽樣區(qū)間d2作為下一個樣本的抽樣間隔。由圖1 可知，警戒域和中心域的范圍主要由k'決定，而控制限的大小則由k決定。在比較FSI 和VSI 均值圖的工作性能時，需要使二者的ANSS 相一致。ATS 及報警時間標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation of time to signal，SDTS)的計算公式如下［10］：

其中，p1為使用短抽樣區(qū)間的概率，p2為使用長抽樣區(qū)間的概率。由以上公式可以計算出VSI 均值控制圖的ATS 和SDTS 的理論值，如表1所示。為了使VSI 均值圖在μ =μ0時具有與FSI均值圖相同的ANSS 和ATS，對于選定的d1和d2，可以利用下式計算k'的值，從而確定中心域和警戒域范圍。

FSI 均值圖的ARL、SDRL 以及VSI 均值圖的ATS、SDTS 的理論值如表1 所示，VSI 均值圖所采用控制圖參數(shù)為d1=0.1、d2=1.9、m=5。

2 ExtendSim 仿真實驗結(jié)果

ExtendSim 仿真軟件由美國Imagine That 公司采用C 語言開發(fā)，可以對離散事件系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，具有較高的靈活性和可擴展性［11］。利用ExtendSim 可以對FSI 均值圖和VSI均值圖的抽樣過程進(jìn)行仿真。仿真模型通過5 個Random 模塊隨機生成一次取樣中5 個產(chǎn)品的不同觀測值，這5 個產(chǎn)品的計量特性服從相同參數(shù)的正態(tài)分布。通過Equation 模塊求5 個觀測值的均值，并將該值賦給Resource Item 的一個資源，設(shè)定Resource Item 有且僅有一個資源。Create 模塊每隔1 個時間單位生成一個Item，表示抽取一個樣本。設(shè)定每次試驗的運行時間為2 000 個時間單位，運行次數(shù)為400 次，利用Set，Get 以及Decision 等模塊實現(xiàn)重復(fù)抽樣與結(jié)束抽樣等過程。最后利用與Exit 相連的Mean＆Variance 模塊對輸出的結(jié)果進(jìn)行跨輪次統(tǒng)計分析，實驗結(jié)果中的“均值”為ARL 實驗值，“標(biāo)準(zhǔn)差”為SDRL 實驗值。Mean＆Variance 模塊選擇“重復(fù)到相對誤差小于0.05 為止”來實現(xiàn)統(tǒng)計的精度要求，這種情況下模型的運行次數(shù)通常會大于400 次。VSI 均值圖的仿真模型如圖2 所示，模型利用4 個Decision 模塊判別樣本均值落在警戒域還是中心域。FSI 均值圖和VSI 均值圖相關(guān)性能指標(biāo)的仿真結(jié)果如表1 中的實驗值所示。

通過計算理論值與實驗值的相對誤差發(fā)現(xiàn)，在所有均值偏移量下，F(xiàn)SI 均值圖的理論值和實驗值一致性良好，ARL 的相對誤差均在0. 03 以下，SDRL 的相對誤差均在0.05 以下。當(dāng)均值偏移量在0.5 以下時，VSI 均值圖的ATS 理論值和實際值的一致性良好，相對誤差率很小，分別為0.004、0.007、0.001、0.009、0.021 和0.021，隨著均值偏移量逐漸增大，相對誤差率逐漸變大，一致性逐漸變差。當(dāng)均值偏移量較大時，實驗值比理論值少了0.1 個時間單位。通過分析，發(fā)現(xiàn)誤差產(chǎn)生的原因在于第一個樣本應(yīng)該在何時抽取，仿真實驗所模擬的抽樣過程是在生產(chǎn)過程剛開始時就抽取第一個樣本，當(dāng)樣本值超出控制限時，立即停止生產(chǎn)過程。而理論計算基于的抽樣過程是第一個樣本必須在第一個抽樣區(qū)間之后抽取，且第一個抽樣區(qū)間是在長短抽樣區(qū)間之中隨機抽取的。由于仿真實驗所模擬的VSI 抽樣過程更符合生產(chǎn)實際的操作習(xí)慣，因此其結(jié)果更具有指導(dǎo)意義。

表1 兩種均值控制圖性能指標(biāo)的理論值和實驗值

圖2 VSI 均值圖的仿真模型

3 IVSI 均值控制圖的ExtendSim 仿真實驗

相對于FSI 均值圖而言，VSI 均值圖在ATS和SDTS 指標(biāo)上有所改進(jìn)，但改進(jìn)程度不明顯，并且相對于ATS，SDTS 的值過大，在數(shù)值上基本與ATS 相等，這說明在不同的抽樣試驗中，報警時間的波動非常大。為了使VSI 均值圖對于小的均值偏移反應(yīng)更加靈敏，需要對VSI 均值圖加以改進(jìn)，筆者將討論一種基于ExtendSim 的改進(jìn)VSI(improved variable sampling intervals，IVSI)均值圖，該IVSI 均值圖對于較小的均值偏移擁有明顯減小的ATS 和SDTS，因而具有更好的工作性能。

產(chǎn)品計量特性服從正態(tài)分布，通過簡單變換可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。設(shè)計量特性服從正態(tài)分布，x～N(μ0，σ20)，則(x-μ0)/σ0～N(0，1)。對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，樣本均值的期望為0，利用ExtendSim 考察標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本均值累積求和的特性，比較當(dāng)δ 分別為0 和0.1 時的樣本均值累積和隨抽樣過程的變化情況，當(dāng)δ =0 時，樣本均值的累積和趨向于圍繞y=0 上下波動，而當(dāng)δ =0.1 時，樣本均值的累積和趨向于圍繞某條直線y=kx上下波動，如圖3 所示。利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本均值累積和這一特性，可以對VSI 均值圖加以改進(jìn)，從而使得新的IVSI 均值圖對于較小的均值偏移量反應(yīng)更為靈敏。新的IVSI仿真模型應(yīng)該滿足以下兩個條件：①當(dāng)均值偏移量δ =0時，IVSI 均值圖的ATS 值應(yīng)該不小于VSI 均值圖的ATS，并且IVSI 均值圖的ANSS 值應(yīng)該小于或大致等于VSI 均值圖的ANSS。②當(dāng)均值偏移量δ≠0 時，IVSI 均值圖的ATS 值應(yīng)該小于VSI 均值圖的ATS，并且IVSI 均值圖的SDTS 值應(yīng)該小于VSI 均值圖的SDTS，此外IVSI 均值圖的ANSS 值應(yīng)該小于或大致等于VSI 均值圖的ANSS。

IVSI 的仿真模型如圖4 所示。

圖3 樣本均值累積和仿真結(jié)果界面圖

圖4 IVSI 均值控制圖抽樣過程仿真模型

為了使IVSI 均值圖滿足要求，在仿真模型中添加一個Holding Tank 模塊用于實現(xiàn)樣本均值的累積求和。通過比較當(dāng)前樣本均值的大小，選擇較大的作為決定下一個抽樣區(qū)間取值的判別值。在IVSI 仿真模型中，長短抽樣區(qū)間分別選取0.1 和1.9。為了使IVSI 滿足條件①，必須適當(dāng)弱化樣本均值累積和在IVSI 均值控制圖中的作用，這是因為當(dāng)δ=0 時，樣本均值累積和很有可能超出控制限，使控制圖過早報警，將樣本均值累積和除以一個合適的整數(shù)可以達(dá)到這個目的。利用Equation 模塊比較的大小，選擇較大的用于Decision 模塊的判別是為了保證IVSI 均值圖的ANSS 與VSI 均值圖的ANSS 相匹配，因為ANSS 代表了抽樣代價。

對比表1 中的IVSI 實驗值與VSI 實驗值，可以發(fā)現(xiàn)：

(1)當(dāng)均值偏移量δ =0 時，IVSI 均值圖的ATS 和ANSS 值與VSI 均值圖的相應(yīng)指標(biāo)吻合，說明筆者的IVSI 仿真模型符合條件①的要求。

(2)當(dāng)均值偏移量δ≠0 時，對于較小的均值偏移，IVSI 均值圖的ATS 和SDTS 值明顯低于VSI 均值圖，說明對于較小的均值偏移量IVSI 模型比VSI 模型具有更高的靈敏性，并且報警時間的標(biāo)準(zhǔn)差更小。當(dāng)均值偏移量較大時，IVSI 均值控制圖的ATS 值比VSI 均值控制圖的稍大，但由于δ 較大時的ATS 本身已經(jīng)很小，加上兩者的差距不明顯，因而對控制圖的工作性能影響不大。此外，在ANSS 性能指標(biāo)上，由于IVSI 均值圖比VSI 均值圖使用了更少的樣本，因此IVSI 均值圖基本上滿足了條件②的所有要求。圖5 分析了IVSI 與VSI 均值圖在0 ≤δ ≤1.0 時 的ATS 及SDTS。當(dāng)均值偏移量δ 較小時，IVSI 均值圖的ATS 值大約為VSI 均值圖的1/2;IVSI 均值圖的SDTS 比ATS 明顯小，而VSI 均值圖的SDTS 與ATS 基本一致，這說明IVSI 均值圖相對于VSI 均值圖有了很大改進(jìn)。

圖5 IVSI 及VSI 均值圖的性能指標(biāo)對比

對比文獻(xiàn)［6］關(guān)于VSI 均值圖ATS 及SDTS的理論計算值，發(fā)現(xiàn)筆者的理論計算值與文獻(xiàn)［6］的計算結(jié)果(d1=0.1、d2=1.9、m=5 時)一致。將文獻(xiàn)［6］中相關(guān)的理論計算值(偏移量δ=0.2)與筆者提出的IVSI 均值圖的實驗值進(jìn)行比較，如圖6 和圖7 所示。圖6 為ATS 指標(biāo)的比較，圖7 為SDTS 指標(biāo)的比較，從左至右7 個組別采用的長短抽樣區(qū)間依次為(0. 5，1. 5)、(0. 3，1.7)、(0.1，1.9)、(0.1，1.1)、(0.1，1.3)、(0.1，1.5)、(0.1，4.0)，圖中任意一個點代表一組特定的控制圖參數(shù)。最下方直線代表IVSI 均值圖的仿真實驗值，其工作比所有參數(shù)下的VSI 均值圖好(所有的點均落在直線上方)，因此筆者提出的IVSI 均值圖比一般VSI 均值圖更加有效。

圖6 ATS 指標(biāo)對照

4 結(jié)論

筆者利用ExtendSim 仿真軟件建立了FSI、VSI 均值圖抽樣過程的仿真模型，并將仿真模型的運行結(jié)果與理論計算值進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)FSI 仿真模型的運行結(jié)果與理論計算值具有較高的一致性，VSI 仿真模型的運行結(jié)果在均值偏移量較小時與計算值具有較高的一致性，當(dāng)均值偏移量較大時一致性較差。通過對VSI 仿真模型實驗結(jié)果與理論計算值之間的誤差進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)VSI 仿真模型模擬的抽樣過程更加符合實際生產(chǎn)的操作習(xí)慣，因而其實驗結(jié)果對于實際生產(chǎn)更加具有指導(dǎo)意義。通過對VSI 均值圖抽樣過程的分析，建立了一種基于ExtendSim 的IVSI 均值圖抽樣模型。仿真實驗結(jié)果表明，該IVSI 均值圖相對于一般VSI 均值圖具有更好的工作性能，這種基于仿真實驗的優(yōu)化方法為VSI 均值圖的參數(shù)設(shè)計提供了一種新思路。

圖7 SDTS 指標(biāo)對照

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