何旋等
摘 要:應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)復(fù)合材料層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),以提高層合板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,并通過剛度等效的思想,結(jié)合鋪層順序代理模型實(shí)現(xiàn)優(yōu)化目的。利用單層正交各向異性板的彈性模量、泊松比、剪切模量等屬性模擬不同鋪層順序的層合板剛度,在此基礎(chǔ)上,提出鋪層順序代理模型,并推導(dǎo)鋪層順序代理模型與剛度等效模型間的數(shù)學(xué)關(guān)系,將對(duì)離散的鋪層順序變量的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為對(duì)連續(xù)變量的優(yōu)化。算例中利用該優(yōu)化方法求解層合板的具有最優(yōu)抗失穩(wěn)特性的鋪層順序,通過優(yōu)化設(shè)計(jì)顯著提高了層合板的穩(wěn)定性。
關(guān)鍵詞:復(fù)合材料 鋪層順序 穩(wěn)定性 剛度等效 代理模型
中圖分類號(hào):TB33 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1674-098X(2014)01(c)-0075-02
復(fù)合材料因具有較高的比強(qiáng)度、比剛度和較強(qiáng)的可設(shè)計(jì)性,在航空領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。復(fù)合材料層合板的鋪層順序?qū)ζ涫Х€(wěn)特性有較大影響,是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵技術(shù)?,F(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)規(guī)劃法在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的的應(yīng)用提供了高效、準(zhǔn)確的計(jì)算工具,從而使數(shù)學(xué)規(guī)劃法得以在優(yōu)化設(shè)計(jì)中推廣應(yīng)用。層合板鋪層順序的設(shè)計(jì)是離散的優(yōu)化問題,利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)其進(jìn)行求解具有一定的難度。理論上求解鋪層順序組合的優(yōu)化方法是基于離散變量的組合優(yōu)化方法,但是對(duì)于飛機(jī)結(jié)構(gòu)中存在的上百層鋪層的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,組合優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算效率是一個(gè)難以克服的困難。本文考慮對(duì)層合板的剛度進(jìn)行等效,利用各向異性板的彈性模量等參數(shù)模擬不同鋪層順序的層合板的剛度,再根據(jù)層合板的鋪層規(guī)律,提出鋪層順序代理模型,在鋪層順序代理模型與層合板剛度等效模型二者之間建立數(shù)學(xué)關(guān)系,將離散的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)的優(yōu)化問題,進(jìn)而采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法進(jìn)行求解。
1 復(fù)合材料剛度計(jì)算模型
1.3 層合板剛度等效模型的提出
由于復(fù)合材料層合板的鋪層順序表達(dá)的非連續(xù)性,目前很難采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)層合板結(jié)構(gòu)的鋪層順序直接進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文將復(fù)合材料層合板的剛度等效成單層正交各向異性材料,通過調(diào)整材料的彈性模量、剪切模量和泊松比,可以使剛度等效模型反映出不同鋪層順序的層合板結(jié)構(gòu)的剛度,這樣就把原來的離散變量問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量問題,進(jìn)而可以采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化。
在Nastran單元模型中,層合板單元的剛度矩陣包含面內(nèi)、彎曲以及拉彎耦合3方面的剛度系數(shù)。由于拉彎耦合剛度的存在,層合板會(huì)出現(xiàn)拉彎耦合變形,這種變形較難分析,本文對(duì)層合板穩(wěn)定性優(yōu)化的研究采用對(duì)稱的層合板鋪層,這種鋪層可以基本避免層合板出現(xiàn)拉彎耦合現(xiàn)象,在等效模型中可以只對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效。為了能模擬層合板結(jié)構(gòu)這2方面的剛度矩陣,本文將加筋板結(jié)構(gòu)等效成2種正交各向異性材料模型,一種等效面內(nèi)剛度,另一種等效彎曲剛度。
2 層合板鋪層順序代理模型
2.1 基本假設(shè)
為簡化優(yōu)化問題,提高優(yōu)化過程的收斂速度,提出以下假設(shè):(1)彎扭耦合變形比較復(fù)雜,會(huì)對(duì)層合板的穩(wěn)定性分析帶來一定的困難。本文為避免層合板產(chǎn)生彎扭耦合變形,采用對(duì)稱鋪層進(jìn)行研究,使=0。(2)層合板的鋪層設(shè)計(jì)中,應(yīng)首選和比中其余項(xiàng)小的鋪層形式,盡量避免彎扭耦合[3],一般在層合板中采用+θ和-θ鋪層集合在一起的鋪層形式可以減少彎扭耦合。由于和不是影響層合板穩(wěn)定性的主要因素,本文不考慮彎扭耦合對(duì)層合板穩(wěn)定性的影響,認(rèn)為==0。
2.2 剛度等效模型
對(duì)于復(fù)合材料的剛度等效,本文中分別構(gòu)造反映面內(nèi)剛度和彎曲剛度的2個(gè)等效模型,由此將得到兩組等效模量。3 基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法的優(yōu)化模型
3.1 設(shè)計(jì)變量
通過層合板剛度等效模型的建立,將層合板剛度等效為單層正交各向異性材料的材料屬性,實(shí)現(xiàn)了離散變量向連續(xù)變量的轉(zhuǎn)化,因此在本文的優(yōu)化過程中以層合板彎曲剛度等效模型的、、、四項(xiàng)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量。對(duì)于鋪層順序的反推,由于厚度和鋪層比例確定的層合板具有幾個(gè)極限鋪層,可以首先計(jì)算幾個(gè)極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù),再利用優(yōu)化結(jié)果計(jì)算鋪層順序代理模型參數(shù),與極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù)對(duì)比來實(shí)現(xiàn)。
3.2 目標(biāo)函數(shù)和約束條件
本文以層合板穩(wěn)定性最高為目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于約束條件的創(chuàng)建,可以將式(9)和式(10)聯(lián)立,得到關(guān)于、、、四個(gè)設(shè)計(jì)變量的一組不等式,做為優(yōu)化設(shè)計(jì)中的約束條件,、、和分別表示為一個(gè)包含、、、的多項(xiàng)式。采用Nastran軟件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),可以通過在.bdf文件中的DEQATN卡片欄下創(chuàng)建方程,并將方程與相應(yīng)的響應(yīng)關(guān)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。
4 算例
取一長1000 mm,寬500 mm,厚度2 mm的層合板,單層材料采用T300碳纖維材料,采用0°、90°和±45°四個(gè)方向的鋪層,鋪層比例為0°占37.5%,90°占12.5%,±45°各占25%,鋪層順序?yàn)閇45/02/-45/90/-45/0/45]s。邊界條件為簡支,在短邊上加載的軸向壓縮載荷。分析模型如圖1所示。
利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行分析,可得該層合板的平均應(yīng)變?yōu)?3,失穩(wěn)特征值為0.48449。
根據(jù)式(7),可得正軸剛度不變量為:,,,,。根據(jù)經(jīng)典層合板理論計(jì)算材料的剛度矩陣,可以得到層合板的剛度矩陣系數(shù):,,,,,,,。將以上剛度系數(shù)代入式(4)和式(5)中,得到面內(nèi)剛度和彎曲剛度等效模型中的各項(xiàng)參數(shù):
利用以上參數(shù),采用單層正交各向異性材料,分別對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效,并利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析,得到等效模型的平均應(yīng)變?yōu)?1,失穩(wěn)特征值為0.49451,其平均應(yīng)變與失穩(wěn)特征值與層合板的計(jì)算結(jié)果誤差分別為2.2%和2.1%??梢?,利用本文中的剛度等效模型對(duì)層合板的剛度進(jìn)行模擬具有較高的計(jì)算精度。以、、和四個(gè)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量,目標(biāo)函數(shù)為穩(wěn)定性最大,約束條件按照式(9)的方法計(jì)算,得到:
利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化,得到,,,,優(yōu)化后等效模型的失穩(wěn)特征值為0.5812。將優(yōu)化得出的四個(gè)參數(shù)的值代入式(10)、式(12),可得=0.121,=.0.745,,。
假設(shè)不考慮復(fù)合材料鋪層的工藝限制,在厚度與各鋪層的比例不變的前提下,該層合板可以得到6種極限鋪層方式,使得、、和四個(gè)參數(shù)分別取到最值,6種極限鋪層方式如表1所示。
對(duì)照表1中的6種極限鋪層,、、和的值與鋪層方案2基本相符,因此得出該層合板具有最優(yōu)穩(wěn)定性的鋪層順序?yàn)椋篬(±45)2/03/90]s。將該鋪層順序回代入層合板模型,利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析,得到對(duì)層合板鋪層順序優(yōu)化后該層合板的失穩(wěn)特征值為0.5762,與優(yōu)化前相比,失穩(wěn)特征值提高了9.1%。
5 結(jié)語
(1)通過調(diào)整單層正交各向異性材料的屬性參數(shù)可以對(duì)等厚度的、不同鋪層順序的復(fù)合材料層合板進(jìn)行剛度近似,將離散的鋪層順序變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)的材料屬性變量,使數(shù)學(xué)規(guī)劃法的應(yīng)用更加方便。
(2)通過構(gòu)建鋪層順序代理模型,可以準(zhǔn)確的對(duì)剛度等效模型的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行鋪層順序反推。
(3)利用方法對(duì)層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)可以有效提高層合板的穩(wěn)定性。
參考文獻(xiàn)
[1] 徐芝綸.彈性力學(xué)(上)[M].高等教育出版社,2011
[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill, Washington DC,1975.
[3] Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures
[4] 瓊斯.復(fù)合材料力學(xué)[M].上??茖W(xué)技術(shù)出版社,1981:20-30.endprint
摘 要:應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)復(fù)合材料層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),以提高層合板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,并通過剛度等效的思想,結(jié)合鋪層順序代理模型實(shí)現(xiàn)優(yōu)化目的。利用單層正交各向異性板的彈性模量、泊松比、剪切模量等屬性模擬不同鋪層順序的層合板剛度,在此基礎(chǔ)上,提出鋪層順序代理模型,并推導(dǎo)鋪層順序代理模型與剛度等效模型間的數(shù)學(xué)關(guān)系,將對(duì)離散的鋪層順序變量的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為對(duì)連續(xù)變量的優(yōu)化。算例中利用該優(yōu)化方法求解層合板的具有最優(yōu)抗失穩(wěn)特性的鋪層順序,通過優(yōu)化設(shè)計(jì)顯著提高了層合板的穩(wěn)定性。
關(guān)鍵詞:復(fù)合材料 鋪層順序 穩(wěn)定性 剛度等效 代理模型
中圖分類號(hào):TB33 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1674-098X(2014)01(c)-0075-02
復(fù)合材料因具有較高的比強(qiáng)度、比剛度和較強(qiáng)的可設(shè)計(jì)性,在航空領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。復(fù)合材料層合板的鋪層順序?qū)ζ涫Х€(wěn)特性有較大影響,是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵技術(shù)。現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)規(guī)劃法在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的的應(yīng)用提供了高效、準(zhǔn)確的計(jì)算工具,從而使數(shù)學(xué)規(guī)劃法得以在優(yōu)化設(shè)計(jì)中推廣應(yīng)用。層合板鋪層順序的設(shè)計(jì)是離散的優(yōu)化問題,利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)其進(jìn)行求解具有一定的難度。理論上求解鋪層順序組合的優(yōu)化方法是基于離散變量的組合優(yōu)化方法,但是對(duì)于飛機(jī)結(jié)構(gòu)中存在的上百層鋪層的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,組合優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算效率是一個(gè)難以克服的困難。本文考慮對(duì)層合板的剛度進(jìn)行等效,利用各向異性板的彈性模量等參數(shù)模擬不同鋪層順序的層合板的剛度,再根據(jù)層合板的鋪層規(guī)律,提出鋪層順序代理模型,在鋪層順序代理模型與層合板剛度等效模型二者之間建立數(shù)學(xué)關(guān)系,將離散的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)的優(yōu)化問題,進(jìn)而采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法進(jìn)行求解。
1 復(fù)合材料剛度計(jì)算模型
1.3 層合板剛度等效模型的提出
由于復(fù)合材料層合板的鋪層順序表達(dá)的非連續(xù)性,目前很難采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)層合板結(jié)構(gòu)的鋪層順序直接進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文將復(fù)合材料層合板的剛度等效成單層正交各向異性材料,通過調(diào)整材料的彈性模量、剪切模量和泊松比,可以使剛度等效模型反映出不同鋪層順序的層合板結(jié)構(gòu)的剛度,這樣就把原來的離散變量問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量問題,進(jìn)而可以采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化。
在Nastran單元模型中,層合板單元的剛度矩陣包含面內(nèi)、彎曲以及拉彎耦合3方面的剛度系數(shù)。由于拉彎耦合剛度的存在,層合板會(huì)出現(xiàn)拉彎耦合變形,這種變形較難分析,本文對(duì)層合板穩(wěn)定性優(yōu)化的研究采用對(duì)稱的層合板鋪層,這種鋪層可以基本避免層合板出現(xiàn)拉彎耦合現(xiàn)象,在等效模型中可以只對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效。為了能模擬層合板結(jié)構(gòu)這2方面的剛度矩陣,本文將加筋板結(jié)構(gòu)等效成2種正交各向異性材料模型,一種等效面內(nèi)剛度,另一種等效彎曲剛度。
2 層合板鋪層順序代理模型
2.1 基本假設(shè)
為簡化優(yōu)化問題,提高優(yōu)化過程的收斂速度,提出以下假設(shè):(1)彎扭耦合變形比較復(fù)雜,會(huì)對(duì)層合板的穩(wěn)定性分析帶來一定的困難。本文為避免層合板產(chǎn)生彎扭耦合變形,采用對(duì)稱鋪層進(jìn)行研究,使=0。(2)層合板的鋪層設(shè)計(jì)中,應(yīng)首選和比中其余項(xiàng)小的鋪層形式,盡量避免彎扭耦合[3],一般在層合板中采用+θ和-θ鋪層集合在一起的鋪層形式可以減少彎扭耦合。由于和不是影響層合板穩(wěn)定性的主要因素,本文不考慮彎扭耦合對(duì)層合板穩(wěn)定性的影響,認(rèn)為==0。
2.2 剛度等效模型
對(duì)于復(fù)合材料的剛度等效,本文中分別構(gòu)造反映面內(nèi)剛度和彎曲剛度的2個(gè)等效模型,由此將得到兩組等效模量。3 基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法的優(yōu)化模型
3.1 設(shè)計(jì)變量
通過層合板剛度等效模型的建立,將層合板剛度等效為單層正交各向異性材料的材料屬性,實(shí)現(xiàn)了離散變量向連續(xù)變量的轉(zhuǎn)化,因此在本文的優(yōu)化過程中以層合板彎曲剛度等效模型的、、、四項(xiàng)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量。對(duì)于鋪層順序的反推,由于厚度和鋪層比例確定的層合板具有幾個(gè)極限鋪層,可以首先計(jì)算幾個(gè)極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù),再利用優(yōu)化結(jié)果計(jì)算鋪層順序代理模型參數(shù),與極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù)對(duì)比來實(shí)現(xiàn)。
3.2 目標(biāo)函數(shù)和約束條件
本文以層合板穩(wěn)定性最高為目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于約束條件的創(chuàng)建,可以將式(9)和式(10)聯(lián)立,得到關(guān)于、、、四個(gè)設(shè)計(jì)變量的一組不等式,做為優(yōu)化設(shè)計(jì)中的約束條件,、、和分別表示為一個(gè)包含、、、的多項(xiàng)式。采用Nastran軟件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),可以通過在.bdf文件中的DEQATN卡片欄下創(chuàng)建方程,并將方程與相應(yīng)的響應(yīng)關(guān)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。
4 算例
取一長1000 mm,寬500 mm,厚度2 mm的層合板,單層材料采用T300碳纖維材料,采用0°、90°和±45°四個(gè)方向的鋪層,鋪層比例為0°占37.5%,90°占12.5%,±45°各占25%,鋪層順序?yàn)閇45/02/-45/90/-45/0/45]s。邊界條件為簡支,在短邊上加載的軸向壓縮載荷。分析模型如圖1所示。
利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行分析,可得該層合板的平均應(yīng)變?yōu)?3,失穩(wěn)特征值為0.48449。
根據(jù)式(7),可得正軸剛度不變量為:,,,,。根據(jù)經(jīng)典層合板理論計(jì)算材料的剛度矩陣,可以得到層合板的剛度矩陣系數(shù):,,,,,,,。將以上剛度系數(shù)代入式(4)和式(5)中,得到面內(nèi)剛度和彎曲剛度等效模型中的各項(xiàng)參數(shù):
利用以上參數(shù),采用單層正交各向異性材料,分別對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效,并利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析,得到等效模型的平均應(yīng)變?yōu)?1,失穩(wěn)特征值為0.49451,其平均應(yīng)變與失穩(wěn)特征值與層合板的計(jì)算結(jié)果誤差分別為2.2%和2.1%。可見,利用本文中的剛度等效模型對(duì)層合板的剛度進(jìn)行模擬具有較高的計(jì)算精度。以、、和四個(gè)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量,目標(biāo)函數(shù)為穩(wěn)定性最大,約束條件按照式(9)的方法計(jì)算,得到:
利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化,得到,,,,優(yōu)化后等效模型的失穩(wěn)特征值為0.5812。將優(yōu)化得出的四個(gè)參數(shù)的值代入式(10)、式(12),可得=0.121,=.0.745,,。
假設(shè)不考慮復(fù)合材料鋪層的工藝限制,在厚度與各鋪層的比例不變的前提下,該層合板可以得到6種極限鋪層方式,使得、、和四個(gè)參數(shù)分別取到最值,6種極限鋪層方式如表1所示。
對(duì)照表1中的6種極限鋪層,、、和的值與鋪層方案2基本相符,因此得出該層合板具有最優(yōu)穩(wěn)定性的鋪層順序?yàn)椋篬(±45)2/03/90]s。將該鋪層順序回代入層合板模型,利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析,得到對(duì)層合板鋪層順序優(yōu)化后該層合板的失穩(wěn)特征值為0.5762,與優(yōu)化前相比,失穩(wěn)特征值提高了9.1%。
5 結(jié)語
(1)通過調(diào)整單層正交各向異性材料的屬性參數(shù)可以對(duì)等厚度的、不同鋪層順序的復(fù)合材料層合板進(jìn)行剛度近似,將離散的鋪層順序變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)的材料屬性變量,使數(shù)學(xué)規(guī)劃法的應(yīng)用更加方便。
(2)通過構(gòu)建鋪層順序代理模型,可以準(zhǔn)確的對(duì)剛度等效模型的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行鋪層順序反推。
(3)利用方法對(duì)層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)可以有效提高層合板的穩(wěn)定性。
參考文獻(xiàn)
[1] 徐芝綸.彈性力學(xué)(上)[M].高等教育出版社,2011
[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill, Washington DC,1975.
[3] Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures
[4] 瓊斯.復(fù)合材料力學(xué)[M].上??茖W(xué)技術(shù)出版社,1981:20-30.endprint
摘 要:應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)復(fù)合材料層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),以提高層合板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,并通過剛度等效的思想,結(jié)合鋪層順序代理模型實(shí)現(xiàn)優(yōu)化目的。利用單層正交各向異性板的彈性模量、泊松比、剪切模量等屬性模擬不同鋪層順序的層合板剛度,在此基礎(chǔ)上,提出鋪層順序代理模型,并推導(dǎo)鋪層順序代理模型與剛度等效模型間的數(shù)學(xué)關(guān)系,將對(duì)離散的鋪層順序變量的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為對(duì)連續(xù)變量的優(yōu)化。算例中利用該優(yōu)化方法求解層合板的具有最優(yōu)抗失穩(wěn)特性的鋪層順序,通過優(yōu)化設(shè)計(jì)顯著提高了層合板的穩(wěn)定性。
關(guān)鍵詞:復(fù)合材料 鋪層順序 穩(wěn)定性 剛度等效 代理模型
中圖分類號(hào):TB33 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1674-098X(2014)01(c)-0075-02
復(fù)合材料因具有較高的比強(qiáng)度、比剛度和較強(qiáng)的可設(shè)計(jì)性,在航空領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。復(fù)合材料層合板的鋪層順序?qū)ζ涫Х€(wěn)特性有較大影響,是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵技術(shù)?,F(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)規(guī)劃法在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的的應(yīng)用提供了高效、準(zhǔn)確的計(jì)算工具,從而使數(shù)學(xué)規(guī)劃法得以在優(yōu)化設(shè)計(jì)中推廣應(yīng)用。層合板鋪層順序的設(shè)計(jì)是離散的優(yōu)化問題,利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)其進(jìn)行求解具有一定的難度。理論上求解鋪層順序組合的優(yōu)化方法是基于離散變量的組合優(yōu)化方法,但是對(duì)于飛機(jī)結(jié)構(gòu)中存在的上百層鋪層的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,組合優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算效率是一個(gè)難以克服的困難。本文考慮對(duì)層合板的剛度進(jìn)行等效,利用各向異性板的彈性模量等參數(shù)模擬不同鋪層順序的層合板的剛度,再根據(jù)層合板的鋪層規(guī)律,提出鋪層順序代理模型,在鋪層順序代理模型與層合板剛度等效模型二者之間建立數(shù)學(xué)關(guān)系,將離散的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)的優(yōu)化問題,進(jìn)而采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法進(jìn)行求解。
1 復(fù)合材料剛度計(jì)算模型
1.3 層合板剛度等效模型的提出
由于復(fù)合材料層合板的鋪層順序表達(dá)的非連續(xù)性,目前很難采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)層合板結(jié)構(gòu)的鋪層順序直接進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文將復(fù)合材料層合板的剛度等效成單層正交各向異性材料,通過調(diào)整材料的彈性模量、剪切模量和泊松比,可以使剛度等效模型反映出不同鋪層順序的層合板結(jié)構(gòu)的剛度,這樣就把原來的離散變量問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量問題,進(jìn)而可以采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃法對(duì)鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化。
在Nastran單元模型中,層合板單元的剛度矩陣包含面內(nèi)、彎曲以及拉彎耦合3方面的剛度系數(shù)。由于拉彎耦合剛度的存在,層合板會(huì)出現(xiàn)拉彎耦合變形,這種變形較難分析,本文對(duì)層合板穩(wěn)定性優(yōu)化的研究采用對(duì)稱的層合板鋪層,這種鋪層可以基本避免層合板出現(xiàn)拉彎耦合現(xiàn)象,在等效模型中可以只對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效。為了能模擬層合板結(jié)構(gòu)這2方面的剛度矩陣,本文將加筋板結(jié)構(gòu)等效成2種正交各向異性材料模型,一種等效面內(nèi)剛度,另一種等效彎曲剛度。
2 層合板鋪層順序代理模型
2.1 基本假設(shè)
為簡化優(yōu)化問題,提高優(yōu)化過程的收斂速度,提出以下假設(shè):(1)彎扭耦合變形比較復(fù)雜,會(huì)對(duì)層合板的穩(wěn)定性分析帶來一定的困難。本文為避免層合板產(chǎn)生彎扭耦合變形,采用對(duì)稱鋪層進(jìn)行研究,使=0。(2)層合板的鋪層設(shè)計(jì)中,應(yīng)首選和比中其余項(xiàng)小的鋪層形式,盡量避免彎扭耦合[3],一般在層合板中采用+θ和-θ鋪層集合在一起的鋪層形式可以減少彎扭耦合。由于和不是影響層合板穩(wěn)定性的主要因素,本文不考慮彎扭耦合對(duì)層合板穩(wěn)定性的影響,認(rèn)為==0。
2.2 剛度等效模型
對(duì)于復(fù)合材料的剛度等效,本文中分別構(gòu)造反映面內(nèi)剛度和彎曲剛度的2個(gè)等效模型,由此將得到兩組等效模量。3 基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法的優(yōu)化模型
3.1 設(shè)計(jì)變量
通過層合板剛度等效模型的建立,將層合板剛度等效為單層正交各向異性材料的材料屬性,實(shí)現(xiàn)了離散變量向連續(xù)變量的轉(zhuǎn)化,因此在本文的優(yōu)化過程中以層合板彎曲剛度等效模型的、、、四項(xiàng)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量。對(duì)于鋪層順序的反推,由于厚度和鋪層比例確定的層合板具有幾個(gè)極限鋪層,可以首先計(jì)算幾個(gè)極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù),再利用優(yōu)化結(jié)果計(jì)算鋪層順序代理模型參數(shù),與極限鋪層的鋪層順序代理模型參數(shù)對(duì)比來實(shí)現(xiàn)。
3.2 目標(biāo)函數(shù)和約束條件
本文以層合板穩(wěn)定性最高為目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于約束條件的創(chuàng)建,可以將式(9)和式(10)聯(lián)立,得到關(guān)于、、、四個(gè)設(shè)計(jì)變量的一組不等式,做為優(yōu)化設(shè)計(jì)中的約束條件,、、和分別表示為一個(gè)包含、、、的多項(xiàng)式。采用Nastran軟件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),可以通過在.bdf文件中的DEQATN卡片欄下創(chuàng)建方程,并將方程與相應(yīng)的響應(yīng)關(guān)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。
4 算例
取一長1000 mm,寬500 mm,厚度2 mm的層合板,單層材料采用T300碳纖維材料,采用0°、90°和±45°四個(gè)方向的鋪層,鋪層比例為0°占37.5%,90°占12.5%,±45°各占25%,鋪層順序?yàn)閇45/02/-45/90/-45/0/45]s。邊界條件為簡支,在短邊上加載的軸向壓縮載荷。分析模型如圖1所示。
利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行分析,可得該層合板的平均應(yīng)變?yōu)?3,失穩(wěn)特征值為0.48449。
根據(jù)式(7),可得正軸剛度不變量為:,,,,。根據(jù)經(jīng)典層合板理論計(jì)算材料的剛度矩陣,可以得到層合板的剛度矩陣系數(shù):,,,,,,,。將以上剛度系數(shù)代入式(4)和式(5)中,得到面內(nèi)剛度和彎曲剛度等效模型中的各項(xiàng)參數(shù):
利用以上參數(shù),采用單層正交各向異性材料,分別對(duì)層合板的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行等效,并利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析,得到等效模型的平均應(yīng)變?yōu)?1,失穩(wěn)特征值為0.49451,其平均應(yīng)變與失穩(wěn)特征值與層合板的計(jì)算結(jié)果誤差分別為2.2%和2.1%??梢?,利用本文中的剛度等效模型對(duì)層合板的剛度進(jìn)行模擬具有較高的計(jì)算精度。以、、和四個(gè)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量,目標(biāo)函數(shù)為穩(wěn)定性最大,約束條件按照式(9)的方法計(jì)算,得到:
利用Nastran軟件對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化,得到,,,,優(yōu)化后等效模型的失穩(wěn)特征值為0.5812。將優(yōu)化得出的四個(gè)參數(shù)的值代入式(10)、式(12),可得=0.121,=.0.745,,。
假設(shè)不考慮復(fù)合材料鋪層的工藝限制,在厚度與各鋪層的比例不變的前提下,該層合板可以得到6種極限鋪層方式,使得、、和四個(gè)參數(shù)分別取到最值,6種極限鋪層方式如表1所示。
對(duì)照表1中的6種極限鋪層,、、和的值與鋪層方案2基本相符,因此得出該層合板具有最優(yōu)穩(wěn)定性的鋪層順序?yàn)椋篬(±45)2/03/90]s。將該鋪層順序回代入層合板模型,利用Nastran軟件對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析,得到對(duì)層合板鋪層順序優(yōu)化后該層合板的失穩(wěn)特征值為0.5762,與優(yōu)化前相比,失穩(wěn)特征值提高了9.1%。
5 結(jié)語
(1)通過調(diào)整單層正交各向異性材料的屬性參數(shù)可以對(duì)等厚度的、不同鋪層順序的復(fù)合材料層合板進(jìn)行剛度近似,將離散的鋪層順序變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)的材料屬性變量,使數(shù)學(xué)規(guī)劃法的應(yīng)用更加方便。
(2)通過構(gòu)建鋪層順序代理模型,可以準(zhǔn)確的對(duì)剛度等效模型的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行鋪層順序反推。
(3)利用方法對(duì)層合板的鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)可以有效提高層合板的穩(wěn)定性。
參考文獻(xiàn)
[1] 徐芝綸.彈性力學(xué)(上)[M].高等教育出版社,2011
[2] Jones R M.Mechanics of Composite Materials[M].McGraw-Hill, Washington DC,1975.
[3] Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures
[4] 瓊斯.復(fù)合材料力學(xué)[M].上海科學(xué)技術(shù)出版社,1981:20-30.endprint