◆侯小華 宮凡玉

作者：侯小華，魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院講師，研究方向為數(shù)學(xué)教育信息技術(shù)與教師教育；宮凡玉，魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院全日制教育碩士（264025）。

數(shù)學(xué)具有的抽象性特點決定了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要面對更多的理解和認知困難。將信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)則有可能在一定程度上降低這種困難。這種可能性的實現(xiàn)取決于教師所選擇的信息技術(shù)種類。雖然美國2005—2007年的一項調(diào)查研究得出“信息技術(shù)無助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績”的結(jié)論[1]，但是之所以會有這種結(jié)論，很有可能是在信息技術(shù)工具的選擇和應(yīng)用上出現(xiàn)偏差，尤其是沒有深入考慮數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性。超級畫板作為一款我國自主開發(fā)設(shè)計的動態(tài)幾何軟件，具有許多“各行各業(yè)都能用的普適信息技術(shù)”和“各學(xué)科都能用的普適教育技術(shù)”所缺少的數(shù)學(xué)學(xué)科性。

本文以超級畫板為例，通過幾個例子，談一下服務(wù)學(xué)科教學(xué)的信息技術(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值。

1 提供直觀感知，優(yōu)化知識形成

要化解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)抽象性所造成的學(xué)習(xí)困難，將抽象內(nèi)容直觀化無疑是一個好的方法。數(shù)學(xué)的思想方法都是經(jīng)過數(shù)學(xué)家的歸納概括抽象而成，教材中呈現(xiàn)的都是最終的結(jié)果，體現(xiàn)的是一種“冰冷的美麗”。數(shù)學(xué)教師的教學(xué)所要做的就應(yīng)該是創(chuàng)造條件，讓學(xué)生再次經(jīng)歷知識（包含數(shù)學(xué)的思想和方法）的形成，以此促成學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的“火熱的思考”。

如在教學(xué)全等三角形時，通常教師是首先給出一些圖片讓學(xué)生觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果將它們疊在一起它們就能重合，從而得出結(jié)論：兩個能夠完全重合的圖形稱為全等圖形。以上教學(xué)設(shè)計的實施并沒有對學(xué)生理解全等圖形的概念有不利的影響，但學(xué)生失去一個了解圖形能夠重合的變化過程，即缺少了過程性體驗，也不利于后續(xù)形成有效的“數(shù)學(xué)化”。

圖1

如圖1 所示，使用超級畫板軟件制作的課件可以“化靜為動”，通過對“平移”“旋轉(zhuǎn)”“折疊”等變換過程的觀察，學(xué)生“看”到兩個圖形能夠重合。這里通過讓圖形自己說話，讓學(xué)生通過自己的觀察、討論、總結(jié)來得到結(jié)論，往往要比觀察靜止圖片的效果更好。此外，通過超級畫板軟件的直觀演示，有利于學(xué)生深入理解全等圖形的本質(zhì)特征，并為今后學(xué)習(xí)全等圖形的證明打下良好基礎(chǔ)。

教師應(yīng)該在全等三角形的教學(xué)中有意識地滲透“對應(yīng)”的思想。而“對應(yīng)”是一個比較抽象的概念，學(xué)生往往難以一步到位地完全理解和掌握。這種情況下，教師就可以充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，制作課件幫助學(xué)生理解這一概念。圖2 是為介紹“對應(yīng)”而設(shè)計的一個課件片段。教師點擊動畫按鈕就可以使綠色的三角形慢慢移動到藍色三角形的位置，從而在動態(tài)演示中幫助學(xué)生認識什么是“對應(yīng)”。除了動畫演示外，還可以通過拖動變量尺的滑條慢慢呈現(xiàn)變化過程，有意識地提示學(xué)生分別從邊、角等方面進行觀察總結(jié)，進而思考得到結(jié)論。以此體現(xiàn)新課程所倡導(dǎo)的讓學(xué)生經(jīng)歷過程性體驗的理念和要求。

再比如，初一的學(xué)生在遇到判斷“前面帶負號的數(shù)一定是負數(shù)嗎”這個問題時，由于在小學(xué)階段遇到的主要是具體的數(shù)，而到了初中開始出現(xiàn)用字母表示數(shù)，過去的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和思維水平的局限導(dǎo)致部分學(xué)生在判斷時出錯。為了化解這個學(xué)習(xí)的難點，數(shù)學(xué)教師可以使用超級畫板制作“-a 一定是負數(shù)嗎”的課件，如圖3 所示。首先測量出數(shù)軸上的任意一點a 的橫坐標，修改測量文本的顯示為紅色的“a= ”，然后作出數(shù)軸上與這個點關(guān)于原點對稱的點-a并測量其橫坐標，再修改測量文本顯示綠色的為“-a= ”。當拖動紅色的點a 不斷改變其值時，會發(fā)現(xiàn)a 與-a 的關(guān)系，從而讓學(xué)生理解了“-”的意義，也讓他們了解到a 代表的數(shù)可能是正數(shù)、負數(shù)、零，應(yīng)該分類考慮[2]。

圖2

圖3

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要特別重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，而且數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)在每一堂課和每一個數(shù)學(xué)問題的研究解決中。在解決上面“前面帶負號的數(shù)是負數(shù)”問題時就體現(xiàn)了分類討論的思想。但是，學(xué)生對這一思想的認識可能需要不斷地深化。因此，課后還可將問題進行延伸，讓學(xué)生自主探索a 與1/a、a 與2a 之間的大小關(guān)系。這樣既鞏固了知識和思想方法的掌握，又培養(yǎng)了學(xué)生的問題探究意識和能力。

中學(xué)數(shù)學(xué)里有些內(nèi)容在過去是說不清的，如一張紙對折30 次后有多厚？這個問題很多時候被用來讓學(xué)生受到震撼，以此說明經(jīng)驗的局限性。但230具體有多大，許多人并不了解。實際上這個問題屬于數(shù)學(xué)的指數(shù)增長問題，它的很重要的一個意義在于幫助學(xué)生理解指數(shù)的爆炸性增長。沒有計算機工具，人們可以用估算的方式得到近似數(shù)，但是使用超級畫板，中學(xué)數(shù)學(xué)中面對的一切計算問題就都不再是問題了。與此問題相關(guān)的是比較31000和10003的大小。圖4 所示是在超級畫板中分別計算的31000和10003的結(jié)果。運算結(jié)果的呈現(xiàn)，學(xué)生可以立馬從觀察結(jié)果上領(lǐng)會“爆炸性”的意義，誰大誰小也顯而易見。

圖4

2 顯示變化，消除疑惑

現(xiàn)實中，不僅是學(xué)生，一些中學(xué)數(shù)學(xué)教師也對數(shù)學(xué)中的一些問題心存疑惑。這些問題的形成有的與教材的編寫有關(guān)，如中學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多規(guī)定，弄清這些規(guī)定的合理性并不是簡單的事情。另一方面，有些問題與數(shù)學(xué)教學(xué)的工具有關(guān)。

如初中學(xué)習(xí)繪制二次函數(shù)圖像時，為什么在描出五點后用“光滑的曲線”將這些點連接起來？如果利用直線段連接就無法做出二次函數(shù)的圖形嗎？由于二次函數(shù)圖像是由無窮多個點組成的，而這無窮多個點組成的圖像事實上是一條光滑的曲線拋物線，所以在五點作圖時要用光滑的曲線連接。這里應(yīng)該是先有“二次函數(shù)的圖像是光滑的拋物線”，然后才有“用光滑曲線連接五個點”。傳統(tǒng)教室里，教師用黑板、粉筆授課時用光滑曲線連接的合理性正在于此，而不是一個必須的規(guī)定。

圖5

其實只要描點足夠多，即使用直線段連接仍然可以做出二次函數(shù)的比較準確的圖像。圖5、圖6 所示課件可用來說明“用光滑曲線連接”的合理性和正確性。圖5 是在（-3，3）區(qū)間上描9 個點后用直線段連接這些點作出的y=x2圖像，圖6 則是（-3，3）區(qū)間上描100 個點后用直線段連接這些點作出的y=x2圖像。從兩個圖像中一方面可以看出描點數(shù)的多少對函數(shù)圖像準確性的影響，另一方面也可以看到哪怕是點之間用直線段連接，只要描點足夠多，一樣可以做出“準確”的二次函數(shù)圖像，從而幫助學(xué)生加深對“函數(shù)圖像實際上是點的集合”的認識。

圖6

3 模擬實驗，深化理解

概率是典型的源于生活和經(jīng)驗的科學(xué)，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的隨機意識，幫助學(xué)生理解偶然性和必然性的關(guān)系。中學(xué)數(shù)學(xué)教材中列舉了轉(zhuǎn)盤和蒲豐投針實驗。這些內(nèi)容緊密聯(lián)系生活情境，無論是對于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還是幫助他們加深對概率的認識，都有幫助。利用信息技術(shù)制作課件模擬這些實驗，不僅可以將需要反復(fù)操作的實驗簡單化，而且能夠多次重復(fù)。通過增加實驗重復(fù)次數(shù)還能使實驗結(jié)果更趨穩(wěn)定和準確。

利用超級畫板來模擬概率實驗具有方便靈活的優(yōu)點。比如在轉(zhuǎn)盤實驗的課件中（圖7），除了在實驗時可以讓指針隨機停止以外，還可以通過修改相關(guān)參數(shù)來調(diào)整指針轉(zhuǎn)動的速度，而常規(guī)情況下用硬紙板制成的教具很難實現(xiàn)這個效果。通過建立動畫和統(tǒng)計表格的關(guān)聯(lián)，超級畫板在實驗的過程中還能夠自動記錄下實驗的相關(guān)數(shù)據(jù)。如圖8 是超級畫板資源庫中的投針試驗課件，通過這個課件可以找到π 的近似值。

圖7

圖8

通過上面超級畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個應(yīng)用案例，不難發(fā)現(xiàn)合理使用信息技術(shù)可以有效地提高教學(xué)效率，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，化解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的疑惑，促進數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

信息技術(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)整合的途徑和方法是多樣的，其效果也是某些傳統(tǒng)教學(xué)手段難以比擬的。教師應(yīng)在發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)優(yōu)勢的前提下，積極探索信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的有效整合，以求提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率。

[1]張景中,彭翕成.數(shù)學(xué)教育技術(shù)[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2]李傳中,左傳波.超級畫板范例教程[M].北京:科學(xué)出版社,2004.