張宇功，范學良，王碧軒

(蘭州交通大學數(shù)理學院，甘肅蘭州 730070)

一類三維動力系統(tǒng)的分岔及混沌分析

張宇功，范學良，王碧軒

(蘭州交通大學數(shù)理學院，甘肅蘭州 730070)

對一類三維非線性混沌金融系統(tǒng)進行了動力學特征分析，得到了模型方程的三個平衡點，并對其穩(wěn)定性進行了討論．通過數(shù)值仿真得到了系統(tǒng)的分岔圖及Lyapunov指數(shù)圖，進而分析了參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性及分岔的影響．該研究對理解各種金融政策的杠桿原理有參考意義．

金融系統(tǒng)；穩(wěn)定性；分岔；混沌；Lyapunov指數(shù)；數(shù)值仿真

社會經(jīng)濟在運行過程中具有不穩(wěn)定性和復雜性，有時外界條件的微小變化都會引起整個經(jīng)濟系統(tǒng)的動蕩．在社會經(jīng)濟領(lǐng)域中，由于非線性因素的相互作用，各種問題日趨復雜化，系統(tǒng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)也呈現(xiàn)出多樣性和復雜性[1-2]．金融系統(tǒng)是一個復雜的非線性系統(tǒng)，金融危機是該系統(tǒng)產(chǎn)生的一種混沌現(xiàn)象．進入20世紀90年代以來，世界性金融危機不斷爆發(fā)，面對金融危機時, 各國政府都會采取諸如財經(jīng)政策或金融政策等宏觀調(diào)控手段來進行調(diào)控，以使其金融市場恢復正常的經(jīng)濟秩序，但干預的有效性十分有限[3-4]．金融系統(tǒng)的不穩(wěn)定性和復雜性使精確的經(jīng)濟預測受到很大限制，合理的預期行為也變得復雜起來[5-6]，因此，有必要對這類復雜的經(jīng)濟系統(tǒng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征進行系統(tǒng)的研究．通過研究系統(tǒng)周期解的失穩(wěn)、分岔、倍周期分岔、各分岔點值的位置及復雜系統(tǒng)進人混沌的道路等，可以揭示復雜現(xiàn)象發(fā)生的原因，對復雜連續(xù)經(jīng)濟系統(tǒng)的分析、預測與控制有指導意義。本文以一類三維非線性的混沌金融系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)模型方程得到了系統(tǒng)的三個平衡點，并對其穩(wěn)定性進行了分析；通過數(shù)值仿真得到了系統(tǒng)的分岔圖及Lyapunov指數(shù)圖，進而分析了參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性及分岔的影響，對理解各種金融政策的杠桿原理有參考作用．

1 系統(tǒng)模型

文獻[7]和文獻[8]中建立了一個由生產(chǎn)子塊、貨幣證券子塊和勞動力子塊所組成的三維混沌金融系統(tǒng)模型[9]：

式中，x表示利率，y表示投資需求，z表示價格指數(shù)，a為儲蓄量，b為投資成本，c為商品需求彈性．

通過穩(wěn)定性理論研究的方法，令系統(tǒng)（1）的左邊微分項為零，可得：

2 數(shù)值仿真

取參數(shù)a=0.9，b=0.2，c=1.2，初值分別取(3,1,5)和(3.1,1.1,5.1)，利用Matlab軟件進行仿真，可得金融動力系統(tǒng)（1）的時間響應圖，見圖1．

圖1 初值分別為 (3, 1, 5) 和 (3.1, 1.1, 5.1) 時系統(tǒng) (1) 的時間響應圖 (a = 0.9, b = 0.2, c = 1.2)

從圖1可以看出，若系統(tǒng)初始條件有微小差異，隨著時間的延長，圖中兩條重合的曲線會逐漸變成兩條分開的曲線，這說明三維動力系統(tǒng)的混沌行為越來越突出．通過系統(tǒng)的相圖（見圖2）也可以看出，隨著時間延長，系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象也越發(fā)明顯．通過系統(tǒng)在x-z平面的投影相圖及龐加萊截面圖（見圖3）也可以看出系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象．

圖2 初值為 (3, 1, 5) 時系統(tǒng) (1) 的相圖 (a = 0.9, b = 0.2, c = 1.2)

圖3 初值為 (3, 1, 5) 時系統(tǒng) (1 )的投影相圖及龐加萊截面圖 (a = 0.9, b = 0.2, c = 1.2)

下面將通過系統(tǒng)的相圖來研究系統(tǒng)中儲蓄量a對系統(tǒng)的影響．令b=0.2，c=1.2，初值取(3,1,5)，a取不同值時系統(tǒng)的相圖見圖4．

圖4 初值為 (3, 1, 5), a取不同值時系統(tǒng) (1) 的相圖

由圖4可知，a越小，系統(tǒng)的波動性越大，a過于小時還會導致系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的局面，但a也不能太大，否則，將會使經(jīng)濟缺乏活力．

Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動力學特性的一個重要定量指標，它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率．我們知道穩(wěn)定系統(tǒng)的相軌線相應于趨向某個平衡點，如果越來越遠離平衡點，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，就可能出現(xiàn)分岔及混沌現(xiàn)象．判斷一個非線性系統(tǒng)是否存在混沌運動，可以計算它的Lyapunov指數(shù)λ是否為正值，因為一個正的Lyapunov指數(shù)意味著在系統(tǒng)相空間中，無論初始兩條軌線的間距多么小，其差別都會隨著時間的演化而成指數(shù)率的增加以致達到無法預測，這就是混沌現(xiàn)象．

下面用Lyapunov指數(shù)圖譜及分岔圖來刻畫系統(tǒng)出現(xiàn)分岔及混沌現(xiàn)象的發(fā)生．當a=0.9，b=0.2，初值為(3,1,5)時，需求彈性即參數(shù)c對系統(tǒng)的影響見圖5和圖6．由圖5和圖6可知，系統(tǒng)在c=0.86時進入混沌現(xiàn)象，在c=1.313時由混沌現(xiàn)象進入三周期運動，在c=1.59時從三周期運動進入混沌狀態(tài)，在c=1.92時從混沌現(xiàn)象又進入一周期運動．

圖5 初值為(3, 1, 5)時系統(tǒng)(1)的分岔圖(a = 0.9, b = 0.2)

圖6 初值為(3, 1, 5)時系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)圖(a = 0.9, b = 0.2)

3 結(jié) 語

從上述理論分析及數(shù)值模擬結(jié)果可知，系統(tǒng)中各參數(shù)不合適的組合是引起經(jīng)濟系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的根源，它有可能使系統(tǒng)趨向混沌而失控，也有可能使系統(tǒng)陷于停滯僵化的狀態(tài)．因此，無論在嚴重的通貨膨脹時期，還是在經(jīng)濟蕭條時期，轉(zhuǎn)換機制、調(diào)整結(jié)構(gòu)，永遠是金融系統(tǒng)改革的首要任務．本文的理論分析及數(shù)值可為決策機構(gòu)提供調(diào)控的理論依據(jù)，具有一定的實際意義．

[1] Lerc M, Coullet P, Tirapegui E. Lorenz bifurcation: instabilities in quasireversible systems [J]. Physical Review Letters, 1999, 19(11): 3820-3823.

[2] Sengupta J K, Sfeir R E. Nonlinear dynamics in foreign exchange markets [J]. International Journal of Systems Science, 1998, 29(11): 1213-1224.

[3] Brunella M, Miari M. Topological equivalence of a place vector filed with its principal past defined through Newton polyhedral [J]. Journal of Differential Equations, 1990, 85(6): 338-366.

[4] China A, Llibre. Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector field in the place [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1990, 47(4): 420-448.

[5] ?mer Morgül. Necessary condition for observer-based chaos synchronization [J]. Physical Review Letters, 1999, 82(9): 77-80.

[6] 楊小京. 一類平面齊次多項式系統(tǒng)的局部相圖[J]. 系統(tǒng)科學與數(shù)學, 1999, 19(4): l50-156.

[7] 馬海軍, 陳予恕. 一類金融系統(tǒng)分岔混沌拓撲結(jié)構(gòu)與全局復雜性研究: I [J]. 應用數(shù)學與力學, 2001, 22(11): 1119-1128.

[8] 馬海軍, 陳予恕. 一類金融系統(tǒng)分岔混沌拓撲結(jié)構(gòu)與全局復雜性研: II [J]. 應用數(shù)學與力學, 2001, 22(11): 1236-1241.

[9] 黃登仕, 李后強. 非線性經(jīng)濟學的理論和方法[M]. 成都: 四川大學出版社, 1993: 55-60.

Analysis on Bifurcation and Chaos For A-Class Three-Dimensional Dynamical System

ZHANG Yugong, FAN Xueliang, WANG Bixuan
(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

The paper gives three equilibrium points of the model equation and probes into its stability through the analysis on the dynamical characteristics of a-class three-dimensional nonlinear chaotic financial systems. Meanwhile, the bifurcation diagrams and Lyapunov exponent graphs are simulated by Matlab and then the impact on stability and bifurcation of the system is analyzed based on different parameters. This research provides certain significance to understanding the lever principle of the various financial policies.

Financial System; Stability; Bifurcation; Chaos; Lyapunov Exponent; Numerical Simulation

O193

A

1674-3563(2014)04-0032-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.04.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-11-26

張宇功(1987- )，男，甘肅蘭州人，碩士研究生，研究方向：運籌學與控制論