李慧梅，安 鋼，黃 夢

（1.裝甲兵工程學(xué)院機(jī)械工程系，北京 100072；2.軍事交通學(xué)院汽車工程系，天津 300161）

基于局部均值分解的邊際譜在滾動(dòng)軸承故障診斷中的應(yīng)用

李慧梅1，2，安 鋼1，黃 夢1

（1.裝甲兵工程學(xué)院機(jī)械工程系，北京 100072；2.軍事交通學(xué)院汽車工程系，天津 300161）

局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）將復(fù)雜的多分量信號(hào)自適應(yīng)地分解為有限個(gè)乘積函數(shù)（PF）的和，在計(jì)算了各個(gè)分量的瞬時(shí)幅值（IA）和瞬時(shí)頻率（IF）后，可以計(jì)算出基于LMD的邊際譜。針對(duì)直接法求取瞬時(shí)頻率存在端點(diǎn)誤差大問題，提出一種改進(jìn)的直接求取瞬時(shí)頻率的方法；提出了基于LMD的邊際譜的滾動(dòng)軸承故障診斷方法，將該方法應(yīng)用于實(shí)際滾動(dòng)軸承故障診斷中，結(jié)果表明該方法能有效地提取出滾動(dòng)軸承的故障特征頻率，從而確定故障部位。

局部均值分解；邊際譜；滾動(dòng)軸承；故障診斷；瞬時(shí)頻率

滾動(dòng)軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中最常用、最易損壞的部件之一，其狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷一直是一個(gè)研究熱點(diǎn)。提取滾動(dòng)軸承的故障特征頻率來診斷滾動(dòng)軸承故障，是滾動(dòng)軸承故障診斷常用的方法之一［1］。但實(shí)際中，由于噪聲的干擾，滾動(dòng)軸承故障特征不明顯，這就需要合理的信號(hào)處理方法來處理信號(hào)，從而突出軸承元件的故障特征頻率來診斷故障所在部位。滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)是非平穩(wěn)信號(hào)［2］，為此，應(yīng)用現(xiàn)代非平穩(wěn)信號(hào)處理方法分析滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)，可更為有效地提取故障特征。小波變換和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）等是滾動(dòng)軸承常用的非平穩(wěn)信號(hào)處理方法［3－4］。但小波變換分析信號(hào)時(shí)缺乏自適應(yīng)性，EMD理論存在模式混疊、端點(diǎn)效應(yīng)、過包絡(luò)、欠包絡(luò)等問題。

2005年，Smith［5］提出了一種新的自適應(yīng)的時(shí)頻分析方法——局部均值分解（LMD）。與EMD相比，LMD在抑制端點(diǎn)效應(yīng)、避免過包絡(luò)、欠包絡(luò)、減少迭代次數(shù)等方面要優(yōu)于EMD方法［6］。鑒于這些優(yōu)點(diǎn)，LMD方法在機(jī)械故障診斷中得到了廣泛應(yīng)用，應(yīng)用最多的是利用它的解調(diào)能力來提取故障信息［7－8］，基于LMD的時(shí)頻譜［9］、能量譜［10］等概念陸續(xù)提出并得到應(yīng)用。但基于LMD的邊際譜的應(yīng)用研究還很少。本文借鑒Hilbert邊際譜的思想，給出了基于LMD的邊際譜的計(jì)算公式；在計(jì)算邊際譜時(shí)，針對(duì)直接法求取瞬時(shí)頻率存在端點(diǎn)誤差大的問題，提出了一種改進(jìn)的直接求取瞬時(shí)頻率的方法；將基于LMD的邊際譜應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障診斷中，結(jié)果表明該方法能有效地突顯出滾動(dòng)軸承的故障特征頻率，從而確定滾動(dòng)軸承故障部位。

1 局部均值分解方法簡介

LMD方法本質(zhì)上就是將一個(gè)信號(hào)分解成有限個(gè)瞬時(shí)頻率具有物理意義的乘積函數(shù)（PF）分量，其中每一個(gè)PF分量都是由一個(gè)包絡(luò)信號(hào)a（t）和一個(gè)純調(diào)頻信號(hào)si（t）相乘而得到的，包絡(luò)信號(hào)是該P(yáng)F分量的瞬時(shí)幅值（IA），對(duì)純調(diào)頻信號(hào)的相位展開后求導(dǎo)便可以得到該P(yáng)F分量的瞬時(shí)頻率（IF，也記作f（t）），對(duì)于一個(gè)給定的信號(hào)，局部均值分解的具體步驟可參見文獻(xiàn)［5］。

一個(gè)信號(hào)通過局部均值分解后，可獲得的主要信號(hào)特征如圖1所示。通過LMD，原始信號(hào)被分解成有限個(gè)單分量函數(shù)PF，對(duì)PF分量的IA和由純調(diào)頻信號(hào)的相位展開后求導(dǎo)得到的PF分量的IF進(jìn)行傅里葉變換，可分別得到信號(hào)的調(diào)幅特征和調(diào)頻特征。將IA和IF同時(shí)顯示，即可獲得信號(hào)完整的時(shí)頻分布。在此基礎(chǔ)上，借鑒Hilbert譜的思想，可獲得信號(hào)的邊際譜、能量譜等。

圖1 局部均值分解獲得的信號(hào)特征Fig.1 The signal characteristics obtained via LMD

2 基于LMD的邊際譜

程軍圣等［10］定義了基于LMD的時(shí)頻分布，記作：

式中：n為PF分量的個(gè)數(shù)；ai（t）為第i個(gè)分量的瞬時(shí)幅值；fi（t）為第i個(gè)分量的瞬時(shí)頻率。S（f，t）反映了信號(hào)幅值隨時(shí)間和頻率的變化關(guān)系。

在此基礎(chǔ)上，借鑒Hilbert邊際譜的思想，定義基于LMD的邊際譜為：

S（f）反映了信號(hào)的幅值在整個(gè)頻率段上隨頻率的變化情況，它的幅值表示信號(hào)中某一頻率成分在各個(gè)時(shí)刻的幅值之和。當(dāng)滾動(dòng)軸承發(fā)生局部損傷時(shí)，其故障特征頻率必然存在，通過分析邊際譜幅值可以找出故障特征頻率，從而確定故障部位。

3 一種改進(jìn)的直接求取瞬時(shí)頻率的方法

3.1 一種改進(jìn)的直接求取瞬時(shí)頻率的方法

為構(gòu)建基于LMD的時(shí)頻譜和邊際譜，需準(zhǔn)確計(jì)算各個(gè)PF的IA和IF。從局部均值分解的步驟可以看出：在完成分解的同時(shí)，就直接計(jì)算出了各個(gè)PF分量的IA，IF通過分解得到的純調(diào)頻信號(hào)的相位展開后求導(dǎo)獲得，該方法稱為“直接法”，這也是局部均值分解的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)：不需要進(jìn)行Hilbert變換就直接計(jì)算出了各分量的IA和IF，不會(huì)出現(xiàn)無法解釋的負(fù)頻率現(xiàn)象。直接法求取瞬時(shí)頻率的具體實(shí)現(xiàn)步驟可參見文獻(xiàn)［11］。但是，直接法在求取瞬時(shí)頻率時(shí)存在端點(diǎn)誤差大問題，本文針對(duì)該問題提出了一種改進(jìn)的直接求取瞬時(shí)頻率的方法。通過仿真信號(hào)說明，給定仿真信號(hào)：

式中：t∈［0，1］，采樣頻率為1 024 Hz。仿真信號(hào)的LMD分解結(jié)果如圖2所示。從圖2中可以看出，PF1對(duì)應(yīng)原信號(hào)中的x1（t），PF2對(duì)應(yīng)原信號(hào)中的x2（t）。PF3、PF4、PF5是由分解誤差產(chǎn)生的偽分量。分別對(duì)PF1和PF2利用直接求取瞬時(shí)頻率的方法計(jì)算二者的瞬時(shí)頻率，結(jié)果如圖3所示。從圖3中可以看出，在信號(hào)兩端瞬時(shí)頻率出現(xiàn)了較大誤差，見圖3中圓圈標(biāo)注部位，尤其是PF2分量的端點(diǎn)誤差較大。

圖2 仿真信號(hào)的LMD分解結(jié)果Fig.2 The LMD results of simulation signal

仿真信號(hào)x（t）在t＝0和t＝1時(shí)，正好是信號(hào)極值點(diǎn)，理論上不存在分解的端點(diǎn)效應(yīng)問題［11］，所以這里可以排除端點(diǎn)效應(yīng)帶來的原因。但通過分解后，各個(gè)分量很有可能在端點(diǎn)處不再是極值點(diǎn)，PF2尤其明顯，而與其對(duì)應(yīng)的si（t）在端點(diǎn)處都取值為1或－1，達(dá)到極值點(diǎn)。這樣的話，就使得si（t）在第一個(gè)極值點(diǎn)左邊的曲線斜率和最后一個(gè)極值點(diǎn)右邊的曲線斜率與信號(hào)本身不一致，曲線變陡了，見圖4中圓圈標(biāo)注部位，進(jìn)而造成求得的瞬時(shí)相位和瞬時(shí)頻率在第一個(gè)極值點(diǎn)左邊和最后一個(gè)極值點(diǎn)右邊的值與實(shí)際信號(hào)不符合，發(fā)生較大誤差。基于上述分析，本文提出一種基于瞬時(shí)相位邊界波形匹配的改進(jìn)的直接求取瞬時(shí)頻率的方法。其具體步驟如下：

（1）對(duì)于一個(gè)給定的純調(diào)頻信號(hào)si（t），直接法求取瞬時(shí)頻率，要求－1≤si（t）≤1，且極大值為1，極小值為－1。若不滿足，將所有極大值置1，大于1的值置1；將所有極小值置－1，小于－1的值置－1，使其滿足。

（2）求取調(diào)整后的純調(diào)頻信號(hào)的瞬時(shí)相位φ（t）＝arccos（si（t）），并對(duì)瞬時(shí)相位進(jìn)行邊界波形匹配；具體匹配方法見本文的3.2小節(jié)。

（3）對(duì)匹配后的相位按式（4）展開，并將相位極值點(diǎn)的值去除用臨近點(diǎn)的平均值代替，然后進(jìn)行相位平滑，本文采用Savitzky-Golay平滑濾波器進(jìn)行相位平滑。

式中：n＝1，2，…，m－1，m是相位極值點(diǎn)個(gè)數(shù)加2。

（4）對(duì)平滑后相位進(jìn)行求導(dǎo)，得到瞬時(shí)頻率IF。

為對(duì)比分析效果，對(duì)仿真信號(hào)的PF1、PF2采用改進(jìn)的直接法計(jì)算瞬時(shí)頻率，結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出，改進(jìn)后的瞬時(shí)頻率求取方法可以明顯改善原方法的端點(diǎn)誤差大問題。

圖3 直接法求取的PF分量的瞬時(shí)頻率Fig.3 PF'IF calculated by directmethod

圖4 LMD分解得到的純調(diào)頻信號(hào)Fig.4 The purely frequencymodulated signals

圖5 改進(jìn)的直接法求取的PF分量的瞬時(shí)頻率Fig.5 PF'IF obtained by the improved direct

3.2 瞬時(shí)相位邊界波形匹配方法

匹配包括相位的左右兩端，下面以左端匹配為例來說明具體匹配方法。具體步驟如下：

（1）計(jì)算瞬時(shí)相位第一個(gè)極值點(diǎn)左邊的點(diǎn)數(shù)，記為l；計(jì)算瞬時(shí)相位的極值點(diǎn)mi（i＝1，2，…，n），n為極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間坐標(biāo)記為tmi。

（2）以第一、二、三個(gè)極值點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)三角波形，作為特征波形。并計(jì)算：

（3）依次以極值點(diǎn)m2k－1、m2k、m2k＋1構(gòu)造三角波形，若n是偶數(shù)，k＝2，3，…，（n－2）／2，若n是奇數(shù)，k＝2，3，…，（n－1）／2，并對(duì)每個(gè)三角波形計(jì)算：

（4）計(jì)算各個(gè)三角波形與特征波形的匹配誤差，匹配誤差的計(jì)算公式為：δ＝｜Δ－Δ1｜。

（5）找出匹配誤差最小的三角波形作為匹配波形，用匹配波形左端的l個(gè)點(diǎn)替代第一個(gè)極值點(diǎn)左端的點(diǎn)；如有多個(gè)匹配波形，則將多個(gè)匹配波形左端的l個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)相加取平均值作為替代值。

（6）按同樣的方法匹配最后一個(gè)極值點(diǎn)右端的相位，得到匹配后的瞬時(shí)相位。區(qū)別主要有：特征波形為倒數(shù)第一、倒數(shù)第二、倒數(shù)第三個(gè)極值點(diǎn)構(gòu)造的三角波形；其余三角波形以極值點(diǎn)mn－2k、mn－（2k＋1）、mn－（2k＋2）構(gòu)造，若n是偶數(shù)，k＝1，2，…，（n－4）／2，若n是奇數(shù)，k＝1，2，…，（n－3）／2用匹配波形右端點(diǎn)替代最后一個(gè)極值點(diǎn)右端的點(diǎn)。

4 應(yīng)用實(shí)例

本文通過電火花電擊7216軸承滾動(dòng)體表面，使其產(chǎn)生長度為3mm，寬度為1mm，深為1mm的凹坑來模擬軸承滾動(dòng)體點(diǎn)蝕故障，并將該軸承安裝在某裝甲車輛變速箱主軸上，進(jìn)行實(shí)車行駛試驗(yàn)，采集實(shí)車行駛過程中變速箱的振動(dòng)加速度信號(hào)。

試驗(yàn)時(shí)，車輛掛三檔、發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為1 025 r／min，在平坦水泥路面上勻速行駛。圖6是試驗(yàn)時(shí)車輛動(dòng)力傳遞示意圖，其中2為故障軸承。根據(jù)變速箱結(jié)構(gòu)，計(jì)算出變速箱主動(dòng)軸轉(zhuǎn)頻為24.405 Hz，中間軸轉(zhuǎn)頻為12.202 5 Hz，主軸轉(zhuǎn)頻為12.202 5 Hz。

圖6 某裝甲車輛變速箱3檔動(dòng)力傳遞示意圖Fig.6 The 3rd gear power transmission diagram of gearbox

根據(jù)7216軸承的幾何參數(shù)和主軸的轉(zhuǎn)頻，由式（7）計(jì)算出軸承滾動(dòng)體故障特征頻率為44.91 Hz。

式中：fr為滾動(dòng)軸承內(nèi)圈（即主軸）的旋轉(zhuǎn)頻率，單位為Hz；d為滾動(dòng)體直徑，單位為mm；D為軸承節(jié)徑，單位為mm；α為壓力角，單位為rad。

圖7為采樣頻率25 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為4 096點(diǎn)的7216軸承滾動(dòng)體點(diǎn)蝕故障振動(dòng)加速度信號(hào)的時(shí)域波形圖。

為了對(duì)比，首先采用常用的Hilbert變換包絡(luò)解調(diào)故障診斷方法進(jìn)行該軸承故障診斷。圖8為該軸承故障信號(hào)的Hilbert包絡(luò)譜。為對(duì)比清楚，也只畫出了0～700 Hz的頻率成分。圖8中，理論計(jì)算特征頻率44.91 Hz附近并未出現(xiàn)明顯的峰值，反映不出軸承滾動(dòng)體故障特征頻率，這可能是由于信號(hào)受到路面隨機(jī)激勵(lì)、發(fā)動(dòng)機(jī)等部件振動(dòng)、環(huán)境噪聲等干擾成分的影響較大，調(diào)制信息不明顯。解調(diào)診斷方法效果不理想，需要考慮新的方法。

采用LMD方法對(duì)該振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分解，其結(jié)果如圖9所示，其中省略了殘余分量。在完成LMD分解的同時(shí)，計(jì)算出了各個(gè)分量的IA和si（t），隨后利用改進(jìn)的瞬時(shí)頻率求取方法求取各分量的瞬時(shí)頻率，在此基礎(chǔ)上通過式（1）計(jì)算出基于LMD的時(shí)頻分布S（f，t），再通過式（2）計(jì)算得到基于LMD的邊際譜S（f），如圖

圖7 軸承滾動(dòng)體故障信號(hào)Fig.7 The bearing fault signal

圖8 軸承信號(hào)的Hilbert包絡(luò)譜Fig.8 The Hilbert envelope spectrum of bearing signal

圖9 軸承信號(hào)的LMD分解結(jié)果Fig.9 The LMD results of bearing signal

圖10 軸承信號(hào)的邊際譜Fig.10 Themarginal spectrum of bearing signal

10所示。為顯示清楚，只畫出了0～700 Hz的頻率成分。圖10清晰地反映了軸承滾動(dòng)體故障特征頻率（45.78 Hz），與理論計(jì)算特征頻率44.91 Hz基本吻合，從而可以確定該軸承滾動(dòng)體存在故障。與預(yù)先設(shè)置的故障一致，說明了方法的有效性。

5 結(jié) 論

（1）提出的基于瞬時(shí)相位邊界波形匹配的改進(jìn)的直接求取瞬時(shí)頻率的方法能夠有效改善原方法的端點(diǎn)誤差大現(xiàn)象，從而提高瞬時(shí)頻率的計(jì)算精度；

（2）基于LMD的邊際譜反映了信號(hào)的幅值在整個(gè)頻率段上隨頻率的變化情況。當(dāng)滾動(dòng)軸承發(fā)生局部損傷時(shí)，其故障特征頻率必然存在，通過分析邊際譜幅值可以找出故障特征頻率，從而確定故障部位及類型；

（3）通過對(duì)實(shí)際滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)的分析，表明基于LMD的邊際譜能有效地應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障診斷。

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App lication ofmarginal spectrum based on local mean decom position in rolling bearing fault diagnosis

LIHui-mei1，2，AN Gang1，HUANGMeng1
（1.Departmentof Mechanical Engineering，Academy of Armored Force Engineering，Beijing100072，China；2.Department of Automobile Engineering，Academy of Military Transportation，Tianjin 300161，China）

Localmean decomposition（LMD）can be used to decompose a complex multi-component signal into a linear combination of several product functions（PFs）.After obtaining the instantaneous amplitudes and instantaneous frequencies of all PF components，the marginal spectrum based on LMD can be calculated.Aiming at the big error problem of the instantaneous frequency atend-points extracted with the directmethod，an improved directmethod was put forward.Themarginal spectrum method based on LMD for rolling bearing fault diagnosiswas proposed，and itwas applied in actual rolling bearing fault diagnosis.The analysis resultsshowed that the fault characteristic frequency can be extracted effectively，and the fault position can be determined.

localmean decomposition；marginal spectrum；rolling bearing；fault diagnosis；instantaneous frequency

TN911.7；TH165.3

A

軍隊(duì)科研計(jì)劃項(xiàng)目

2013－01－30 修改稿收到日期：2013－03－11

李慧梅女，博士生，講師，1978年生