田金榮，宋晏蓉，王 麗

(北京工業(yè)大學應用數理學院，北京100124)

1 引言

在脈沖激光與超快物理現(xiàn)象的研究中，激光的峰值功率是一個非常重要的參量。例如飛秒激光作用下的高次諧波產生［1-2］、超快激光產生THz輻射［3-4］、超快激光產生等離子體通道［5-8］等過程中，激光的峰值功率直接決定了非線性效應的強弱。這是由于脈沖激光峰值功率的平方根與產生的最強電場成正比，甚至直接決定了峰值光強。因此峰值功率是激光技術與激光工程中最重要的技術指標之一，它的提高對激光技術和光與物質相互作用的研究進展至關重要［9-10］。

在目前的專業(yè)文獻中，計算脈沖激光的峰值功率公式是［11］:式中，Pp代表峰值功率，E為脈沖能量，τ為脈沖寬度(峰值半寬)。這個公式邏輯清楚，計算簡單，成為計算峰值功率使用范圍最廣的公式。但式(1)計算的峰值功率和實際峰值功率之間的誤差有多大呢?為了弄清楚這個問題，我們對常見規(guī)則脈沖和非規(guī)則脈沖的實際峰值功率進行了計算。為了區(qū)分式(1)計算的峰值功率和實際峰值功率，把式(1)計算的功率Pp稱為標稱峰值功率，把實際的峰值功率記為Ppp。

2 常規(guī)脈沖中常用峰值功率公式的誤差

常見的規(guī)則脈沖包括高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖及非對稱雙曲正割脈沖［12］。下面分別計算它們的標稱峰值功率和峰值功率之間的差別。

(1)高斯脈沖

圖1為脈沖寬度為τ的高斯脈沖的強度包絡波形，其時域電場強度可寫為:

式中，E0為電場振幅，ω0為載波的角頻率。

由于光的功率與電場的平方成正比，由式

圖1 脈沖寬度為τ的高斯脈沖的強度波形Fig.1 Intensity waveform of a Gaussian pulse with pulse duration of τ

(2)可得激光脈沖的功率為:

式中，Ppp為實際峰值功率。

脈沖能量為功率對時間的積分，而式(3)為偶函數，因此脈沖能量可以寫為:

將式(3)代入式(4)再積分可得:

所以實際峰值功率與標稱峰值功率的關系為:

由式(6)可以看出，對高斯脈沖來說，標稱峰值功率比實際峰值功率大6.3%左右，誤差較小。因此對于高斯脈沖或接近高斯脈沖的脈沖激光來說，采用式(1)計算峰值功率不失為一個簡單精確的好辦法。

(2)雙曲正割型脈沖

圖2為脈沖寬度為τ的雙曲正割脈沖的強度波形(為了對比，用虛線同時畫出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的強度波形)，其時域電場強度可寫為:

圖2 脈沖寬度為τ的sech2脈沖的強度波形Fig.2 Intensity waveform of a sech2pulse with pulseduration of τ

由式(7)可得，雙曲正割脈沖的功率可寫為:

將式(8)對時間積分，可以得到雙曲正割脈沖的能量為:∞

所以雙曲正割脈沖的實際峰值功率和標稱峰值功率的關系為:

由式(10)式可以看出，雙曲正割脈沖的標稱峰值功率比實際峰值功率大13.6%左右，誤差有些大，但如果只考慮數量級的話，該誤差也可以接受。

(3)洛侖茲脈沖

圖3為脈沖寬度為τ的洛侖茲脈沖的強度波形(為了對比，用虛線同時畫出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的強度波形)，其時域電場強度可寫為:

圖3 脈沖寬度為τ的洛侖茲脈沖的強度波形Fig.3 Intensity waveform of a Lorentzian pulse withpulse duration of τ

由式(11)可得，洛侖茲脈沖的功率可寫為:

將式(12)對時間積分，可以得到洛侖茲脈沖的能量為:

所以洛侖茲脈沖的實際峰值功率和標稱峰值功率的關系為:

由式(14)可見，洛侖茲脈沖的標稱峰值功率比實際峰值功率大22.1%左右。

(4)非對稱雙曲正割脈沖

圖4為脈沖寬度為τ的非對稱雙曲正割脈沖的強度波形(為了對比，用虛線同時畫出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的強度波形)，其時域電場強度可寫為:

圖4 脈沖寬度為τ的非對稱雙曲正割脈沖的強度波形Fig.4 Intensity waveform of an asymmetric pulse with pulse duration of τ

由式(15)可得，非對稱雙曲正割脈沖的功率可寫為:

將式(16)對時間積分，可以得到非對稱雙曲正割脈沖的能量為:

所以非對稱雙曲正割脈沖的實際峰值功率和標稱峰值功率的關系為:

由式(18)可見，非對稱雙曲正割脈沖的標稱峰值功率比實際峰值功率大20.9%左右。

3 非常規(guī)脈沖中常用峰值功率公式的誤差

對規(guī)則的高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖和非對稱雙曲正割脈沖來說，由于具有解析的電場表達式，其標稱峰值功率與實際峰值功率的關系是確定的。但對于不規(guī)則的脈沖來說，則標稱峰值功率和實際峰值功率的關系要視具體的脈沖波形而定，兩者的數量和大小關系并不確定。這種情形往往出現(xiàn)在激光脈沖的光譜較寬且調制比較劇烈的情形，如文獻［13-15］。在我們的實驗中也遇到了此種情形。

圖5 實驗光譜及其對應的傅里葉變換極限脈沖Fig.5 Experimental spectrum and its corresponding Fourier-transformation-limit pulse

圖5(a)為超短脈沖光參量振蕩器中測得的激光光譜，圖5(b)中實線為此光譜對應的傅里葉變換極限脈沖的強度波形。為方便比較，還在圖5(b)中用虛線畫出了相同脈沖寬度的高斯脈沖的曲線。由圖5(b)可以看出，脈沖的包絡線不規(guī)則，這是由于光譜具有不規(guī)則的調制造成的。與脈沖寬度相同的高斯脈沖比較，兩者在時間為0左右的部分比較吻合，但不規(guī)則脈沖的兩翼有明顯的臺階，造成脈沖的對比度不高。通過計算兩條曲線下的面積，計算了脈沖能量與高斯脈沖能量的比值。不規(guī)則脈沖的能量是同等脈沖寬度高斯脈沖能量的2.5倍。因此盡管按照圖中所示高斯脈沖和不規(guī)則脈沖的脈沖寬度相等，峰值功率也相等，但如果按照式(1)計算則相差較大，實際峰值功率僅有標稱峰值功率的40%左右，這是因為實際上脈沖的能量一部分留在兩翼，從而削弱了峰值功率。因此對于脈沖時間曲線不規(guī)則的超短脈沖，采用公式Pp=E/τ計算峰值功率會具有較大的誤差。

4 分析與討論

由計算結果可見，對于常見的4種規(guī)則脈沖，Pp=E/τ的計算結果都大于實際峰值功率。按照誤差的比例大小順序分別為:高斯脈沖(6.3%)＜雙曲正割脈沖(13.6%)＜非對稱雙曲正割脈沖(20.9%)＜洛侖茲脈沖(22.1%)。高斯脈沖的誤差最小，因此對于與高斯脈沖比較接近的脈沖來說，公式Pp=E/τ具有較高的精度。雙曲正割脈沖的也可利用此公式進行計算，但誤差較大。

對于脈沖不規(guī)則的情況，誤差可能很大，不能簡單用Pp=E/τ來估算其峰值功率。如果脈沖的強度波形與規(guī)則脈沖相比差距較大，可以考慮如下方法精確計算峰值功率，其具體的步驟是:(1)首先采用功率計或能量計測得脈沖的能量E;(2)對于皮秒或飛秒量級的脈沖，用自相關儀測量脈沖的自相關曲線，對于調Q脈沖用示波器測量其脈沖包絡。求出自相關曲線或包絡下面包圍的面積S，此面積實際與脈沖能量E成正比;(3)用自相關曲線上的最大值乘以E/S即可得到脈沖的實際峰值功率。對于與標準脈沖偏離較大的不規(guī)則的脈沖來說，這樣計算的結果將比直接用Pp=E/τ計算的結果更為精確。但是這樣計算工作量較大。一個折衷的辦法是觀察脈沖的自相關曲線與哪種標準脈沖相似(在數據處理中可以通過曲線擬合實現(xiàn))，然后直接通過根據脈沖類型估算實際的峰值功率即可。而在實驗中，脈沖通常接近標準的高斯脈沖或者雙曲正割脈沖，因此其誤差最大不超過13.6%。

對于脈沖寬度小于10 fs的情形，脈沖的自相關曲線并不準確。因此如果采用上述方法計算峰值功率就不夠準確了。此時應該首先測量得到脈沖的光譜，然后利用頻率分辨光學開關法(FROG)［16］或者自參考光譜相干電場重建法(SPIDER)［17］測得脈沖的相位，之后利用光譜強度和相位進行傅里葉變換合成脈沖的時域波形得到其峰值功率即可。

5 結論

本文針對高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖、非對稱雙曲正割脈沖及非常規(guī)激光脈沖，對常用峰值功率公式的誤差進行了計算，給出了精確計算峰值功率的方法。對常規(guī)的高斯脈沖、雙曲正割脈沖、洛侖茲脈沖、非對稱雙曲正割脈沖，常用峰值功率公式的結果比實際峰值功率都要大，其誤差分別為 6.3%，13.6%，22.1%，20.9%。對非常規(guī)的脈沖激光來說，常用的峰值功率公式的結果與實際峰值功率不能確定。在實際操作中，可以根據自相關軌跡與4種脈沖的近似程度估計激光的實際峰值功率。對于近似程度較遠的無規(guī)則脈沖，需要采用我們提出的方法進行數值計算。

［1］ 張杰.強場物理—門嶄新的學科［J］.物理，1997，26(11):643-649.

ZHANG J.High field physics—a brand-new subject［J.］Physics，1997，26(11):643-649.(in Chinese)

［2］ 范麗仙，羅曉華，吳木營，等.非相對論粒子高次諧波輻射作為短波長激光的可能性［J］.發(fā)光學報，2010，31(5):691-696.

FAN L X，LUO X H，WU M Y，et al..Possibility of higher hamornics radiation of nonrelativistic particles as short wavelength laser［J］.Chinese J.Luminescence，2010，31(5):691-696.(in Chinese)

［3］ 蔡禾，郭雪嬌，和挺，等.太赫茲技術及其應用研究進展［J］.中國光學與應用光學，2010，3(3):210-222.

CAI H，GUO X J，HE T，et al..Terahertz wave and its new appllications［J］.Chinese J.Opt.and Appl.Opt.，2010，3(3):210-222.(in Chinese)

［4］ 張會，張衛(wèi)宇，徐旺，等.THz波段光子晶體帶隙影響因素研究［J］.發(fā)光學報，2012，33(8):883-887.

ZHANG H，ZHANG W Y，XU W，et al..Study on the influencing factors of photonic crystal's band gaps in THz waveband［J］.Chinese J.Luminescence，2012，33(8):883-887.(in Chinese)

［5］ 任玉，李付錦，董旭，等.飛秒激光等離子體通道傳導能量特性的研究進展［J］.中國光學，2012，5(2):133-142.

REN Y，LI F J，DONG X，et al..Research of guiding energy with plasma channel induced by femtosecond laser in air［J］.Chinese Opt.，2012，5(2):133-142.(in Chinese)

［6］ 高慧，趙佳宇，劉偉偉.超快激光成絲現(xiàn)象的多絲控制［J］.光學 精密工程，2013，21(3):598-607.

GAO H，ZHAO J Y，LIU W W.Control of multiple filamentation induced by ultrafast laser pulses［J］.Opt.Prec.Eng.，2013，21(3):598-607.(in Chinese)

［7］ 陳泳屹，秦莉，佟存柱，等.一種基于布拉格反射波導的表面等離子體激光光源［J］.發(fā)光學報，2013，34(10):1351-1357.

CHEN Y Y，QIN L，TONG C ZH，et al..A plasmonic laser source based on Bragg reflection waveguide［J］.Chinese J.Luminescence，2013，34(10):1351-1357.(in Chinese)

［8］ 李志全，孟靚，朱君，等.雙平行圓柱形MDM納米棒等離子體波導的傳輸特性分析［J］.發(fā)光學報，2013，34(8):1073-1078.

LI ZH Q，MENG L，ZHU J，et al..Propagation properties of a plasmonic waveguide with double parallel cylindrical MDM nanorods［J］.Chinese J.Luminescence，2013，34(8):1073-1078.(in Chinese)

［0］ MOUROU G.The ultrahigh-peak-power laser:present and future［J］.Appl.Phys.B，1997，65:205-211.

［10］ BACKUS S，DURFEE III C G，MURNANE M M，et al..High power ultrafast lasers［J］.Rev.Sci.Instrum.，1998，69(3):1207-1223.

［11］ 克希耐爾W.固體激光工程［M］.北京:科學出版社，2002:414.

KOECHNER W.Solid-State Laser Engineering［M］.Beijing:Science Press，2002:414.(in Chinese)

［12］ 張志剛.飛秒激光技術［M］.北京:科學出版社，2011:7.

ZHANG ZH G.Femtosecond Laser Technology［M］.Beijing:Science Press，2011:7.(in Chinese)

［13］ BALTU?KA A，WEI Z，PSHENICHNIKOV M S，et al..All-solid-state cavity-dumped sub-5-fs laser［J］.Appl.Phys.B，1997，65:175-188.

［14］ SCHENKEL B，BIEGERT J，KELLER U.Generation of 3.8-fs pulses from adaptive compression of a cascaded hollow fiber supercontinuum［J］.Opt.Lett.，2003，28(20):1987-1989.

［15］ YAMANE K，ZHANG Z G，OKA K，et al..Optical pulse compression to 3.4 fs in the monocycle region by feedback phase compensation［J］.Opt.Lett.，2003，28(22):2258-2260.

［16］ TREBINO R，DELONG K W，F(xiàn)ITTINGHOFF D N，et al..Measuring ultrashort laser pulses in the time-frequency domain using frequency-resolved optical gating［J］.Rev.Sci.Instrum.，1997，68(9):3277-3295.

［17］ IACONIS C，WALMSLEY I A.Self-Referencing spectral interferometry for measuring ultrashort optical pulses［J］.IEEEJ.Quantum Electron.，1999，35(4):501-509.