杜正穗

摘 要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓和重要內(nèi)容，是指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識和方法的靈魂，歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，其形成廣泛的遷移效果對學(xué)生影響深遠(yuǎn)?！笆谌艘贼~不如授人以漁”。對幾種常用的數(shù)學(xué)思想展開探討，以期對切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力有所裨益。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容廣泛，且具有綜合性、抽象性、新穎性的特點(diǎn)，對大部分學(xué)生來說，解題中容易出現(xiàn)思維障礙，解題效率低，從而影響學(xué)習(xí)興趣、潛能和能動性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，單純靠題海戰(zhàn)術(shù)盲目操練是很難獲得理想成績的，學(xué)生必須將自己置于解題的更高境界，所謂更高境界是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想武裝自己，并有效地加強(qiáng)攻擊題型能力，以下重點(diǎn)介紹三種常用的數(shù)學(xué)思想。

一、函數(shù)與方程思想

1.函數(shù)思想：解決問題時(shí)在變量之間建立相應(yīng)關(guān)系。高度抽象，離不開觀察、概括、比較、分類，而逐步培養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，并應(yīng)注意從變化中尋找不變量，這正是數(shù)學(xué)研究的魅力所在。對課本要做到：梳理教材知識結(jié)構(gòu)，提煉結(jié)構(gòu)組塊，立足教材基本例題、習(xí)題，搞好變式研究。對教輔要做到：精心選擇相應(yīng)題型，加強(qiáng)對該思想合理性的使用。

2.方程思想：將待求量通過等量關(guān)系列出方程并解方程求值。具體而言是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)立建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式。用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程（組），這種思想在代數(shù)、幾何及生活實(shí)際中（如，最佳經(jīng)濟(jì)批量模型、一元線性回歸法）有著廣泛的應(yīng)用。

3.函數(shù)與方程思想：數(shù)學(xué)問題簡單歸納是由等式或不等式構(gòu)成，所以將兩者有機(jī)的結(jié)合有利于培養(yǎng)學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)和嚴(yán)密的邏輯思維能力，并通過適量題型（實(shí)際應(yīng)用可舉量本利分析）真正領(lǐng)悟其真諦。

例1.已知圓（x-2）2+y2=0，滿足該圓上一點(diǎn)，使 x+y最大值為p，最小值為q，求p-q的值。提出問題后，可通過學(xué)生解題狀況來進(jìn)行講解、分析，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己存在的問題，以及對知識點(diǎn)掌握的牢固情況與運(yùn)用水平的高低。分析問題時(shí)，可把直線與圓的相關(guān)知識點(diǎn)作詳盡地描述。攻擊點(diǎn)是直線，主看其斜率、截距是否變化，是否有通過一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行控制的方法。圓寫成標(biāo)準(zhǔn)圓結(jié)構(gòu)，相當(dāng)于控制住圓心與半徑，這種形式對于攻擊相關(guān)題型具有致命功效。解決問題可設(shè)：b= x+y，并將其寫成直線l：y=- x+b，就是一個(gè)斜率不變，縱截距為b，只能平行移動的直線。當(dāng)直線l與圓相切時(shí)獲得該題最值，利用圓心（2，0）到直線l： x+y-b=0的距離等于半徑，獲得方程，解出b的兩個(gè)值，從而得出結(jié)論。

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想

1.所謂化歸思想是把分散知識相對集中到同一高度、類別、圖形，從把握基礎(chǔ)知識和教材題目抓實(shí)，才能解決新定義、新概念的創(chuàng)新問題，才能夠站在一定高度解決問題。

2.所謂轉(zhuǎn)化思想是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，把新穎問題轉(zhuǎn)化為原始問題，把未解決的問題轉(zhuǎn)化到已解決問題的思想。同樣上面這道例題就可用化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行演繹：由已知條件可設(shè)x-2=cosθ，y=sinθ，將 x+y轉(zhuǎn)化成 （cosθ+2）+sinθ，復(fù)合成一個(gè)三角函數(shù)同樣也能得出結(jié)論?？梢詮拇鷶?shù)推理寫成b= （cosθ+2）+sinθ構(gòu)建函數(shù)思想，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)不僅僅是一種重要的工具或方法，更重要的是一種思維模式，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想及能力的有機(jī)結(jié)合，其培養(yǎng)要分層次進(jìn)行，先由基礎(chǔ)開始，逐步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)與運(yùn)算求解能力，進(jìn)而掌握好化歸與轉(zhuǎn)化思想。

三、數(shù)形結(jié)合思想

解決問題時(shí)，代數(shù)問題中的“數(shù)”與幾何問題中的“形”有機(jī)地結(jié)合起來，借助于數(shù)的精確性來闡明“形”或利用“形”的幾何直觀性表示數(shù)，總而言之“數(shù)可入微，形很直觀”，這就是數(shù)形結(jié)合思想。從圖象特征出發(fā)可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，也正是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種非常重要的思想方法（如實(shí)際應(yīng)用中的盈虧平衡點(diǎn)）。以下側(cè)重從解析幾何、代數(shù)函數(shù)這兩方面淺談數(shù)形結(jié)合思想。

1.解析幾何：緊扣其（直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線）定義，以線段為主攻的知識體系，繼續(xù)用上面例題，由直線y=-x+b獲取其傾斜角為120°。如圖所示，快速獲取結(jié)論p-q=4，從知識角度而言，這種功效就需要對平時(shí)知識點(diǎn)的累積和充分理解，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性、主動性、能動性最有力的數(shù)學(xué)工具之一。

2.代數(shù)函數(shù)：控制其范圍，利用其性質(zhì)破解出圖象（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的組合函數(shù)），范圍、性質(zhì)、圖象三者要有機(jī)結(jié)合，有多少范圍就有多少圖象，就反映多少性質(zhì)，三者兼顧將代數(shù)函數(shù)高度抽象性破擊得體無完膚。

例2.已知f（x）=x+，求f（x）單調(diào)區(qū)間，提出問題可培養(yǎng)學(xué)生動腦、動手、動口，大膽嘗試開發(fā)探索新方法、新思想，從而發(fā)現(xiàn)問題，分析問題。此題f（x）范圍為x

對于三角函數(shù)、平面向量、不等式等問題，數(shù)形結(jié)合依然有高屋建瓴之態(tài)勢。古人云“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識的獲取、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)意識的中流砥柱，只能領(lǐng)會、運(yùn)用，屬于思維的范疇。

數(shù)學(xué)知識，源于課本，高于課本，要狠抓“知識、能力、訓(xùn)練、提高”四大環(huán)節(jié)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想才會在真正意義上有所獲取。創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂，學(xué)生可以通過新穎題型（圖表分析型、條件開放型、定義新知型、學(xué)科綜合型、代數(shù)推理型等）逐步體會，解決新穎題型關(guān)鍵在于“飲水思源”，即通過定性分析、列舉嘗試、歸納猜想、類比轉(zhuǎn)化、檢驗(yàn)探索、構(gòu)造模型等策略探尋新問題的原始模型，進(jìn)而使數(shù)學(xué)思想發(fā)揮得淋漓盡致，更上一層樓。

數(shù)學(xué)思想還有分類討論、特殊與一般、反面入手等。建議：要注重學(xué)科知識交匯與綜合、強(qiáng)調(diào)運(yùn)算能力、深入挖掘教材，充分發(fā)揮課本典型問題的輻射作用，多對例題進(jìn)行拓展和引申，最后就是要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，鍛煉學(xué)生思維的廣度和深度、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，提高對知識的整合能力。

（作者單位 廣東省廣州市商貿(mào)職業(yè)學(xué)校）

編輯 郭曉云

摘 要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓和重要內(nèi)容，是指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識和方法的靈魂，歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，其形成廣泛的遷移效果對學(xué)生影響深遠(yuǎn)。“授人以魚不如授人以漁”。對幾種常用的數(shù)學(xué)思想展開探討，以期對切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力有所裨益。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容廣泛，且具有綜合性、抽象性、新穎性的特點(diǎn)，對大部分學(xué)生來說，解題中容易出現(xiàn)思維障礙，解題效率低，從而影響學(xué)習(xí)興趣、潛能和能動性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，單純靠題海戰(zhàn)術(shù)盲目操練是很難獲得理想成績的，學(xué)生必須將自己置于解題的更高境界，所謂更高境界是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想武裝自己，并有效地加強(qiáng)攻擊題型能力，以下重點(diǎn)介紹三種常用的數(shù)學(xué)思想。

一、函數(shù)與方程思想

1.函數(shù)思想：解決問題時(shí)在變量之間建立相應(yīng)關(guān)系。高度抽象，離不開觀察、概括、比較、分類，而逐步培養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，并應(yīng)注意從變化中尋找不變量，這正是數(shù)學(xué)研究的魅力所在。對課本要做到：梳理教材知識結(jié)構(gòu)，提煉結(jié)構(gòu)組塊，立足教材基本例題、習(xí)題，搞好變式研究。對教輔要做到：精心選擇相應(yīng)題型，加強(qiáng)對該思想合理性的使用。

2.方程思想：將待求量通過等量關(guān)系列出方程并解方程求值。具體而言是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)立建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式。用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程（組），這種思想在代數(shù)、幾何及生活實(shí)際中（如，最佳經(jīng)濟(jì)批量模型、一元線性回歸法）有著廣泛的應(yīng)用。

3.函數(shù)與方程思想：數(shù)學(xué)問題簡單歸納是由等式或不等式構(gòu)成，所以將兩者有機(jī)的結(jié)合有利于培養(yǎng)學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)和嚴(yán)密的邏輯思維能力，并通過適量題型（實(shí)際應(yīng)用可舉量本利分析）真正領(lǐng)悟其真諦。

例1.已知圓（x-2）2+y2=0，滿足該圓上一點(diǎn)，使 x+y最大值為p，最小值為q，求p-q的值。提出問題后，可通過學(xué)生解題狀況來進(jìn)行講解、分析，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己存在的問題，以及對知識點(diǎn)掌握的牢固情況與運(yùn)用水平的高低。分析問題時(shí)，可把直線與圓的相關(guān)知識點(diǎn)作詳盡地描述。攻擊點(diǎn)是直線，主看其斜率、截距是否變化，是否有通過一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行控制的方法。圓寫成標(biāo)準(zhǔn)圓結(jié)構(gòu)，相當(dāng)于控制住圓心與半徑，這種形式對于攻擊相關(guān)題型具有致命功效。解決問題可設(shè)：b= x+y，并將其寫成直線l：y=- x+b，就是一個(gè)斜率不變，縱截距為b，只能平行移動的直線。當(dāng)直線l與圓相切時(shí)獲得該題最值，利用圓心（2，0）到直線l： x+y-b=0的距離等于半徑，獲得方程，解出b的兩個(gè)值，從而得出結(jié)論。

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想

1.所謂化歸思想是把分散知識相對集中到同一高度、類別、圖形，從把握基礎(chǔ)知識和教材題目抓實(shí)，才能解決新定義、新概念的創(chuàng)新問題，才能夠站在一定高度解決問題。

2.所謂轉(zhuǎn)化思想是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，把新穎問題轉(zhuǎn)化為原始問題，把未解決的問題轉(zhuǎn)化到已解決問題的思想。同樣上面這道例題就可用化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行演繹：由已知條件可設(shè)x-2=cosθ，y=sinθ，將 x+y轉(zhuǎn)化成 （cosθ+2）+sinθ，復(fù)合成一個(gè)三角函數(shù)同樣也能得出結(jié)論?？梢詮拇鷶?shù)推理寫成b= （cosθ+2）+sinθ構(gòu)建函數(shù)思想，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)不僅僅是一種重要的工具或方法，更重要的是一種思維模式，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想及能力的有機(jī)結(jié)合，其培養(yǎng)要分層次進(jìn)行，先由基礎(chǔ)開始，逐步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)與運(yùn)算求解能力，進(jìn)而掌握好化歸與轉(zhuǎn)化思想。

三、數(shù)形結(jié)合思想

解決問題時(shí)，代數(shù)問題中的“數(shù)”與幾何問題中的“形”有機(jī)地結(jié)合起來，借助于數(shù)的精確性來闡明“形”或利用“形”的幾何直觀性表示數(shù)，總而言之“數(shù)可入微，形很直觀”，這就是數(shù)形結(jié)合思想。從圖象特征出發(fā)可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，也正是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種非常重要的思想方法（如實(shí)際應(yīng)用中的盈虧平衡點(diǎn)）。以下側(cè)重從解析幾何、代數(shù)函數(shù)這兩方面淺談數(shù)形結(jié)合思想。

1.解析幾何：緊扣其（直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線）定義，以線段為主攻的知識體系，繼續(xù)用上面例題，由直線y=-x+b獲取其傾斜角為120°。如圖所示，快速獲取結(jié)論p-q=4，從知識角度而言，這種功效就需要對平時(shí)知識點(diǎn)的累積和充分理解，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性、主動性、能動性最有力的數(shù)學(xué)工具之一。

2.代數(shù)函數(shù)：控制其范圍，利用其性質(zhì)破解出圖象（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的組合函數(shù)），范圍、性質(zhì)、圖象三者要有機(jī)結(jié)合，有多少范圍就有多少圖象，就反映多少性質(zhì)，三者兼顧將代數(shù)函數(shù)高度抽象性破擊得體無完膚。

例2.已知f（x）=x+，求f（x）單調(diào)區(qū)間，提出問題可培養(yǎng)學(xué)生動腦、動手、動口，大膽嘗試開發(fā)探索新方法、新思想，從而發(fā)現(xiàn)問題，分析問題。此題f（x）范圍為x

對于三角函數(shù)、平面向量、不等式等問題，數(shù)形結(jié)合依然有高屋建瓴之態(tài)勢。古人云“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識的獲取、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)意識的中流砥柱，只能領(lǐng)會、運(yùn)用，屬于思維的范疇。

數(shù)學(xué)知識，源于課本，高于課本，要狠抓“知識、能力、訓(xùn)練、提高”四大環(huán)節(jié)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想才會在真正意義上有所獲取。創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂，學(xué)生可以通過新穎題型（圖表分析型、條件開放型、定義新知型、學(xué)科綜合型、代數(shù)推理型等）逐步體會，解決新穎題型關(guān)鍵在于“飲水思源”，即通過定性分析、列舉嘗試、歸納猜想、類比轉(zhuǎn)化、檢驗(yàn)探索、構(gòu)造模型等策略探尋新問題的原始模型，進(jìn)而使數(shù)學(xué)思想發(fā)揮得淋漓盡致，更上一層樓。

數(shù)學(xué)思想還有分類討論、特殊與一般、反面入手等。建議：要注重學(xué)科知識交匯與綜合、強(qiáng)調(diào)運(yùn)算能力、深入挖掘教材，充分發(fā)揮課本典型問題的輻射作用，多對例題進(jìn)行拓展和引申，最后就是要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，鍛煉學(xué)生思維的廣度和深度、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，提高對知識的整合能力。

（作者單位 廣東省廣州市商貿(mào)職業(yè)學(xué)校）

編輯 郭曉云

摘 要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓和重要內(nèi)容，是指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識和方法的靈魂，歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，其形成廣泛的遷移效果對學(xué)生影響深遠(yuǎn)。“授人以魚不如授人以漁”。對幾種常用的數(shù)學(xué)思想展開探討，以期對切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力有所裨益。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容廣泛，且具有綜合性、抽象性、新穎性的特點(diǎn)，對大部分學(xué)生來說，解題中容易出現(xiàn)思維障礙，解題效率低，從而影響學(xué)習(xí)興趣、潛能和能動性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，單純靠題海戰(zhàn)術(shù)盲目操練是很難獲得理想成績的，學(xué)生必須將自己置于解題的更高境界，所謂更高境界是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想武裝自己，并有效地加強(qiáng)攻擊題型能力，以下重點(diǎn)介紹三種常用的數(shù)學(xué)思想。

一、函數(shù)與方程思想

1.函數(shù)思想：解決問題時(shí)在變量之間建立相應(yīng)關(guān)系。高度抽象，離不開觀察、概括、比較、分類，而逐步培養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，并應(yīng)注意從變化中尋找不變量，這正是數(shù)學(xué)研究的魅力所在。對課本要做到：梳理教材知識結(jié)構(gòu)，提煉結(jié)構(gòu)組塊，立足教材基本例題、習(xí)題，搞好變式研究。對教輔要做到：精心選擇相應(yīng)題型，加強(qiáng)對該思想合理性的使用。

2.方程思想：將待求量通過等量關(guān)系列出方程并解方程求值。具體而言是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)立建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式。用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程（組），這種思想在代數(shù)、幾何及生活實(shí)際中（如，最佳經(jīng)濟(jì)批量模型、一元線性回歸法）有著廣泛的應(yīng)用。

3.函數(shù)與方程思想：數(shù)學(xué)問題簡單歸納是由等式或不等式構(gòu)成，所以將兩者有機(jī)的結(jié)合有利于培養(yǎng)學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)和嚴(yán)密的邏輯思維能力，并通過適量題型（實(shí)際應(yīng)用可舉量本利分析）真正領(lǐng)悟其真諦。

例1.已知圓（x-2）2+y2=0，滿足該圓上一點(diǎn)，使 x+y最大值為p，最小值為q，求p-q的值。提出問題后，可通過學(xué)生解題狀況來進(jìn)行講解、分析，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己存在的問題，以及對知識點(diǎn)掌握的牢固情況與運(yùn)用水平的高低。分析問題時(shí)，可把直線與圓的相關(guān)知識點(diǎn)作詳盡地描述。攻擊點(diǎn)是直線，主看其斜率、截距是否變化，是否有通過一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行控制的方法。圓寫成標(biāo)準(zhǔn)圓結(jié)構(gòu)，相當(dāng)于控制住圓心與半徑，這種形式對于攻擊相關(guān)題型具有致命功效。解決問題可設(shè)：b= x+y，并將其寫成直線l：y=- x+b，就是一個(gè)斜率不變，縱截距為b，只能平行移動的直線。當(dāng)直線l與圓相切時(shí)獲得該題最值，利用圓心（2，0）到直線l： x+y-b=0的距離等于半徑，獲得方程，解出b的兩個(gè)值，從而得出結(jié)論。

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想

1.所謂化歸思想是把分散知識相對集中到同一高度、類別、圖形，從把握基礎(chǔ)知識和教材題目抓實(shí)，才能解決新定義、新概念的創(chuàng)新問題，才能夠站在一定高度解決問題。

2.所謂轉(zhuǎn)化思想是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，把新穎問題轉(zhuǎn)化為原始問題，把未解決的問題轉(zhuǎn)化到已解決問題的思想。同樣上面這道例題就可用化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行演繹：由已知條件可設(shè)x-2=cosθ，y=sinθ，將 x+y轉(zhuǎn)化成 （cosθ+2）+sinθ，復(fù)合成一個(gè)三角函數(shù)同樣也能得出結(jié)論?？梢詮拇鷶?shù)推理寫成b= （cosθ+2）+sinθ構(gòu)建函數(shù)思想，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)不僅僅是一種重要的工具或方法，更重要的是一種思維模式，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想及能力的有機(jī)結(jié)合，其培養(yǎng)要分層次進(jìn)行，先由基礎(chǔ)開始，逐步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)與運(yùn)算求解能力，進(jìn)而掌握好化歸與轉(zhuǎn)化思想。

三、數(shù)形結(jié)合思想

解決問題時(shí)，代數(shù)問題中的“數(shù)”與幾何問題中的“形”有機(jī)地結(jié)合起來，借助于數(shù)的精確性來闡明“形”或利用“形”的幾何直觀性表示數(shù)，總而言之“數(shù)可入微，形很直觀”，這就是數(shù)形結(jié)合思想。從圖象特征出發(fā)可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，也正是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種非常重要的思想方法（如實(shí)際應(yīng)用中的盈虧平衡點(diǎn)）。以下側(cè)重從解析幾何、代數(shù)函數(shù)這兩方面淺談數(shù)形結(jié)合思想。

1.解析幾何：緊扣其（直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線）定義，以線段為主攻的知識體系，繼續(xù)用上面例題，由直線y=-x+b獲取其傾斜角為120°。如圖所示，快速獲取結(jié)論p-q=4，從知識角度而言，這種功效就需要對平時(shí)知識點(diǎn)的累積和充分理解，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性、主動性、能動性最有力的數(shù)學(xué)工具之一。

2.代數(shù)函數(shù)：控制其范圍，利用其性質(zhì)破解出圖象（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的組合函數(shù)），范圍、性質(zhì)、圖象三者要有機(jī)結(jié)合，有多少范圍就有多少圖象，就反映多少性質(zhì)，三者兼顧將代數(shù)函數(shù)高度抽象性破擊得體無完膚。

例2.已知f（x）=x+，求f（x）單調(diào)區(qū)間，提出問題可培養(yǎng)學(xué)生動腦、動手、動口，大膽嘗試開發(fā)探索新方法、新思想，從而發(fā)現(xiàn)問題，分析問題。此題f（x）范圍為x

對于三角函數(shù)、平面向量、不等式等問題，數(shù)形結(jié)合依然有高屋建瓴之態(tài)勢。古人云“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識的獲取、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)意識的中流砥柱，只能領(lǐng)會、運(yùn)用，屬于思維的范疇。

數(shù)學(xué)知識，源于課本，高于課本，要狠抓“知識、能力、訓(xùn)練、提高”四大環(huán)節(jié)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想才會在真正意義上有所獲取。創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂，學(xué)生可以通過新穎題型（圖表分析型、條件開放型、定義新知型、學(xué)科綜合型、代數(shù)推理型等）逐步體會，解決新穎題型關(guān)鍵在于“飲水思源”，即通過定性分析、列舉嘗試、歸納猜想、類比轉(zhuǎn)化、檢驗(yàn)探索、構(gòu)造模型等策略探尋新問題的原始模型，進(jìn)而使數(shù)學(xué)思想發(fā)揮得淋漓盡致，更上一層樓。

數(shù)學(xué)思想還有分類討論、特殊與一般、反面入手等。建議：要注重學(xué)科知識交匯與綜合、強(qiáng)調(diào)運(yùn)算能力、深入挖掘教材，充分發(fā)揮課本典型問題的輻射作用，多對例題進(jìn)行拓展和引申，最后就是要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，鍛煉學(xué)生思維的廣度和深度、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，提高對知識的整合能力。

（作者單位 廣東省廣州市商貿(mào)職業(yè)學(xué)校）

編輯 郭曉云