張瑜龍，張 芳

（天津工業(yè)大學理學院，天津 300160）

一致光滑Banach空間中m-增生算子零點的粘滯迭代逼近算法

張瑜龍，張 芳

（天津工業(yè)大學理學院，天津 300160）

研究了在一致光滑Banach空間中m-增生算子的零點粘滯迭代逼近問題，證明了修正的迭代序列強收斂到m-增生算子的一個零點，此結(jié)果推廣和改進了一些作者的相關(guān)結(jié)論.

m-增生算子；不動點；一致光滑Banach空間

增生算子是最重要的幾類非線性算子之一，關(guān)于增生算子的零點問題已經(jīng)獲得了豐富的結(jié)果[1-2].近幾十年來，國內(nèi)外數(shù)學家們一直致力于尋找迭代算法以逼近增生算子的零點，這類問題已經(jīng)成為非線性泛函分析研究中的熱點問題之一.1974年Bruch[3]使用正則化迭代算法證明了Hilbert空間中極大單調(diào)算子零點的強收斂性定理；1979年Reich[4]將Bruch的主要定理結(jié)果擴展到了一致光滑的Banach空間中的m-增生算子的零點問題；2006年Xu[5]用迭代序列xn+1=αnu+（1-αn）Jrnxn去逼近m-增生算子的零點，并證明了該序列強收斂到m-增生算子的一個零點.本文受Xu研究方法的啟發(fā)，在一致光滑的Banach空間中，修正了Xu的迭代序列，并證明了修正后的迭代算法的強收斂性，此結(jié)果推廣和改進了一些作者的相關(guān)結(jié)論[6].

1 預備知識

設(shè)（X，d）為度量空間，稱T：（X，d）→（X，d）是一個壓縮映射，如果存在0＜α＜1，使得：

設(shè)（X，d）為度量空間，稱T：（X，d）→（X，d）是非擴張的，如果?x，y∈X，則

設(shè)E是一個具有范數(shù)‖·‖的實Banach空間，其對偶空間為E*，C是E的一個非空閉凸子集，＜·，·＞表示E與E*間的配對，正規(guī)對偶映射J：E→2E，定義如下

眾所周知，E是光滑的當且僅當J是單值的.

設(shè)S={x∈E:‖x‖ =1}表示實Banach空間E的單位球，E是光滑的如果下面極限

對每一個x，y∈S存在，如果每一個y∈S對任何x∈S上面的極限一致被得到，則E是一致光滑的.眾所周知，如果E是一致光滑的，則正規(guī)對偶映象J是單值的，而且在E的任一有界子集上是一致連續(xù)的.

Banach空間E中具有定義域D（A）和值域R（A）的算子A:D（A）?E→E稱為增生的，如果對任意的x，y∈D（A），存在j（x，y）∈J（x，y），使

稱增生算子A為m-增生的，如果存在某個正數(shù)使得I+rA的值域是全空間，即

對于 m-增生算子A，r＞ 0，令Jr=（I+rA）-1，則Jr稱為A的預解算子.F（J）r是Jr的不動點集.以下用F表示算子A的零點集，即F=A-（10）={x∈D（A）:0∈Ax}.眾所周知，如果A是m-增生的，那么其預解算子Jr是非擴張的且對于所有的r＞0，有F（J）r=F.在本文中總假定A是m-增生的且零點集非空.

引理1[7-8]（預解等式）設(shè)E是Banach空間，對任意的λ＞0，μ＞0有以下等式成立

引理2[9-10]設(shè){αn}是一個非負實數(shù)列滿足下面性質(zhì)：αn+1≤（1-λn）αn+λnμn，n≥0，其中λn｛?（0，1）并且μn｛｝使得

引理3[11]設(shè)C是一致光滑的Banach空間E的非空閉凸子集，設(shè)T:C→C是具有不動點的非擴張映象且F（T） ≠，并且f是C→C的一個具有常數(shù)α（0＜ α ＜1）的壓縮映射，定義zt=t（fz）t+（1-t）Tzt，t∈（0，1），序列{zt}強收斂到一個點p∈F（T）.

引理5[12]若E是Banach空間，對任意x，y∈E，那么以下式子成立

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)E是一致光滑Banach空間，A是E中的m-增生算子使得C=是凸的，f是C→C的一個具有常數(shù)α（0＜α＜1）的壓縮映射.給定序列，βn｛｝∈[0，1]及rn｛｝，序列xn｛｝定義如下

如果序列｛αn，｛βn和｛rn｝滿足如下條件=r，rn≥ε，其中 ε＞ 0.則由式（1）定義的迭代序列xn｛｝強收斂到A的一個零點.

證明首先證明序列xn｛｝是有界的.事實上，對任意的v∈F=A-1（0），有

（iii）由歸納法可知

即序列xn｛｝有界，那么序列yn｛｝也是有界的.

證明：由引理1知

如果rn-1≤rn則

同理可證

由定義并結(jié)合式（2），可得

再由定義并結(jié)合式（3）和式（4）可得

其中M2是某一常數(shù)，滿足

當rn-1≥rn，同樣可以證明上面的結(jié)論，由定理條件可得

成立.

由引理2得

從而有

又因為

對所有的t∈（0，1），有

由于E是一致光滑的Banach空間，J在C上的有界子集是范數(shù)對范數(shù)一致連續(xù)的，由同樣的討論證明[10]，可得到

最后證明xn→v，由引理2，有

設(shè)M=max｛‖xn-v‖2｝，則上式為

定理2 設(shè)E是一致光滑Banach空間，A是E中的m-增生算子使得C=是凸的.給定序列，βn｛｝∈[0，1]及rn｛｝，序列xn｛｝定義如下

如果序列｛αn，｛βn和｛rn｝滿足如下條件

則由式（5）定義的迭代序列xn｛｝強收斂到A的一個零點.

證明令定理1中的f（xn）=u，證明方法如上面所證，則迭代序列xn｛｝強收斂到增生算子A的一個零點.

3 結(jié)束語

本文主要在文獻[5]、[10]結(jié)論的基礎(chǔ)上采用新的方法由一步迭代推廣到兩步，并且使用粘滯迭代算法證明了迭代序列（1）式強收斂到增生算子的一個零點，此結(jié)果改進和擴展了文獻[5]、[10]的結(jié)果.

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Iterative method approximating zero points of m-accretive operators in uniformly smooth Banach spaces

ZHANG Yu-long，ZHANG Fang
（School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

The iterative method approximating zero points of m-accretive operators in uniformly smooth Banach spaces is studied.The strong convergence to a zero of the modified iterative sequence is proved.These results extend and improve corresponding results of others.

m-accretive operator；fixed points；uniformly smooth Banach space

O177.2

A

1671-024X（2014）02-0081-04

2013-10-22 基金項目：國家自然科學基金資助項目（11071279）

張瑜龍（1987—），男，碩士研究生.

張 芳（1974—），女，博士，副教授，碩士生導師.E-mail：zhangfangsx@163.com